苏州十六中数学高二下期中阶段测试(答案解析)

一、选择题
1．(0分)[ID ：13579]当04x π
<<时,函数22
cos ()cos sin sin x
f x x x x
=-的最小值是( ) A ．
1
4
B ．
12
C ．2
D ．4
2．(0分)[ID ：13576]若x 1=
4π
，x 2=34
π是函数f (x )=sin x ω(ω>0)两个相邻的极值点，则ω=
A ．2
B ．3
2
C ．1
D ．
12
3．(0分)[ID ：13621]已知4
sin cos 3
αα-=，则sin 2α=（ ）． A ．79
-
B ．29
-
C ．
29
D ．
79
4．(0分)[ID ：13615]已知向量(,2),(2,1)a m b ==-，且a b ⊥，则2()
a b a a b -⋅+等于
（ ） A ．53
-
B ．1
C ．2
D
．
54
5．(0分)[ID ：13614]已知函数()()2
cos 042x f x x πωωω⎛⎫=-->
⎪⎝
⎭在区间
0,2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上单调递减，则ω的最大值为（ ）. A ．1
B ．
6
5
C ．
43
D ．
32
6．(0分)[ID ：13591]在ABC ∆中，已知向量AB 与AC 满足(
)AB AC BC AB
AC
+
⊥且
1
•
2
AB AC AB
AC
=
，则ABC ∆是( ) A ．三边均不相同的三角形 B ．直角三角形 C ．等腰非等边三角形
D ．等边三角形
7．(0分)[ID ：13590]在ABC 中，点D 是线段BC 上任意一点，M 是线段AD 的中点，若存在实数λ和μ，使得BM AB AC λμ=+，则λμ+= A ．2
B ．2-
C ．
12
D ．12
-
8．(0分)[ID ：13589]已知AB AC ⊥，1AB t
=，AC t =，若P 点是ABC 所在平面内一点，且4AB AC AP AB
AC
=+
，则·PB PC 的最大值等于（ ）.
A ．13
B ．15
C ．19
D ．21
9．(0分)[ID ：13569]已知0w >,0φπ<<，直线4
x π
=
和54
=
x π
是函数()sin()f x wx φ=+图像的两条相邻的对称轴，则φ=（ ）
A ．
π4
B ．
π3
C ．
π2
D ．
3π4
10．(0分)[ID ：13564]已知函数()sin()(0),2
4
f x x+x π
π
ωϕωϕ=>≤=-
，
为()f x 的零
点，4
x π
=为()y f x =图象的对称轴，且()f x 在π5π
(
)1836
，单调，则ω的最大值为 A ．11 B ．9 C ．7
D ．5
11．(0分)[ID ：13562]函数()()2sin 3f x x ϕ=+的图象向右平移动12
π
个单位，得到的图
象关于y 轴对称，则ϕ的最小值为（ ） A ．
12
π
B ．
4
π C ．
3
π D ．
512
π
12．(0分)[ID ：13549]将函数sin ()y x x x R =
+∈的图象向左平移()0m m >个长
度单位后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是（ ） A ．
12
π B ．
6
π C ．
3
π D ．
56
π 13．(0分)[ID ：13545]下列函数中，在区间(1,1)-上为减函数的是 A ．11y x
=
- B ．cos y x =
C ．ln(1)y x =+
D ．2x y -=
14．(0分)[ID ：13540]已知ABC ∆中，tan tan tan A B A B ++=
且
sin cos 4
B B =
ABC ∆是（ ） A ．正三角形
B ．直角三角形
C ．正三角形或直角三角形
D ．直角三角形或等腰三角形
15．(0分)[ID ：13530]从集合{2,3,4,5}中随机抽取一个数m,从集合{1,3,5}中随机抽取一个数n,则向量a =(m,n)与向量b =(1,-1)垂直的概率为( )
A ．
16
B ．
13
C ．
14
D ．
12
二、填空题
16．(0分)[ID ：13727]已知函数()sin()(0,0,)2
f x A x A π
ωϕωϕ=+>><的部分图像
如图所示，则对应的函数解析式为_______.
17．(0分)[ID ：13706]若()2,2a =，1b =，则a b +的最大值为___________ 18．(0分)[ID ：13678]菱形ABCD 的边长为2，60A ∠=︒,M 为DC 的中点，若N 为菱形内任意一点（含边界），则AM AN ⋅的最大值为____________． 19．(0分)[ID ：13671]已知ABC ∆的外接圆的圆心为O ，半径为2，若
2AO AB AC =+，且AO AB =，则向量BA 在向量CB 上的投影为_____
20．(0分)[ID ：13664]已知向量a 、b ，满足1a =，()(2)0a b a b +⋅-=，则b 的最小值为_________．
21．(0分)[ID ：13658]ABC ∆的三个顶点坐标分别为()1,2A -，()3,1B -，()5,3C -，
D 是BC 上一点，若1
4
ABD ABC S S ∆∆=
，则D 的坐标为________. 22．(0分)[ID ：13652]在直角梯形ABCD 中，//AB DC ，AD AB ⊥，2AD DC ==，3AB =，点M 是线段CB 上（包括边界）的一个动点，则AD AM ⋅的取值范围是______.
23．(0分)[ID ：13645]如图，在平面四边形ABCD 中，AB BC ⊥，AD CD ⊥，
120BAD ∠=︒，1AB AD ==．若点E 为边CD 上的动点，当AE BE ⋅取到最小值时，DE 的长为______．
24．(0分)[ID ：13634]已知向量()2,4a =，向量a 在向量b 上的投影为3，且
33a b -=，则b =_____．
25．(0分)[ID ：13632]函数()2sin 26f x x ππ⎛⎫
=+ ⎪⎝
⎭
在区间0,1的单调增区间为__________．
三、解答题
26．(0分)[ID ：13761]已知向量()3,2a x x =+-，向量()1,4b x =-，其中05x ≤≤. （1）用x 表示a b ⋅；
（2）求a b ⋅的最值，并求此时,a b 夹角的大小. 27．(0分)[ID ：13759]如图，扇形OAB 的圆心角为3
π
，半径为1，圆心为原点O ，点A 在x 轴正半轴上.
（1）求点B 的坐标；
（2）已知1(0,)3M -，直线:3
k
l y kx =+
，点P 在直线l 上，点Q 在弧AB 上，且2+0MP MQ =，求k 的取值范围.
28．(0分)[ID ：13753]已知a 、b 都是单位向量，a 与b 满足||3||ka b a kb +=-，其中0k >. (1)用k 表示a b ⋅；
(2)求a b ⋅的最小值，并求此时a 、b 的夹角的大小.
29．(0分)[ID ：13738]已知向量a ＝(cosωx－sinωx，sinωx)，b ＝(－cosωx－sinωx,2
cosωx)．设函数f(x)＝a b ⋅＋λ(x∈R)的图象关于直线x ＝π对称，其中
ω，λ为常数，且ω∈1,12⎛⎫
⎪⎝⎭
.
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)若y ＝f(x)的图象经过点,04π⎛⎫
⎪⎝⎭，求函数f(x)在区间30,5π⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上的取值范围 30．(0分)[ID ：13827]在平面四边形ABCD 中，90ADC ∠=，45A ∠=，2AB =，
5BD =.
（1）求cos ADB ∠；
（2）若DC ，求BC.
【参考答案】
2016-2017年度第*次考试试卷参考答案
**科目模拟测试
一、选择题
1．D
2．A
3．A
4．B
5．C
6．D
7．D
8．A
9．A
10．B
11．B
12．B
13．D
14．A
15．A
二、填空题
16．【解析】分析：根据题中所给的函数的图像可以求得的值利用周期公式求出利用当时函数取得最大值1求出得到函数的解析式即可得结果详解：由题意可知所以当时取得最大值1所以结合解得所以函数的解析式是点睛：该题考
17．【解析】【分析】由设再由向量加法的坐标运算及向量模的运算可得再结合三角函数的最值的求法运算即可【详解】解：因为设则所以=当且仅当时取等号故答案为：【点睛】本题考查了向量加法的坐标运算及向量模的运算重
18．9【解析】【分析】【详解】由数量积的几何意义知当在上的投影最大时最大从图可以看出当N点在点C处在上的投影最大所以的最大值为：
19．－1【解析】【分析】因为可知为直角三角形又可知为等边三角形故所求投影为＝【详解】因为所以为的中点即为直角三角形又可知为边长为2的等边三角形故向量在向量上的投影为＝故答案为：-1【点睛】本题主要考查向
20．【解析】试题分析：由得所以解得所以的最小值为考点：向量的数量积运算及其性质【方法点晴】要求的最小值可以考虑建立关于的不等式或不等式组已知由结合向量数量积的运算律可得关于及的关系式根据向量数量积的定义
21．【解析】【分析】根据等高的两个三角形的面积之比等于底边长之比可得再得到设出的坐标代入可解得【详解】因为又因为所以所以所以所以设所以所以所以且解得且所以的坐标为故答案为:【点睛】本题考查了向量共线的坐
22．【解析】【分析】以点为坐标原点为轴的正方向建立平面直角坐标系得出的方程为可设点的坐标为然后利用坐标计算出关于实数的表达式然后结合的取值范围得出的取值范围【详解】以点为坐标原点为轴的正方向建立平面直角
23．【解析】【分析】设由已知结合余弦定理可求而展开结合向量的数量积的运算及二次函数的性质即可求出结果【详解】设中由余弦定理可得中此时故答案为：【点睛】本题以向量的基本运算为载体主要考查了向量的数量积的定
24．【解析】【分析】根据条件即可得出然后对两边平方可得出即可求解得到答案【详解】根据条件：且；则；整理得解得或（舍去）故答案为7【点睛】本题主要考查了向量数量积的运算及计算公式向量投影的计算公式向量坐标
25．（开闭都可以）【解析】【分析】由复合函数的单调性可得：解得函数的单调增区间为（）对的取值分类求得即可得解【详解】令（）解得：（）所以函数的单调增区间为（）当时=当时当取其它整数时所以函数在区间的单调
三、解答题
26．
27．
28．
29．
30．
2016-2017年度第*次考试试卷 参考解析
【参考解析】
**科目模拟测试
一、选择题 1．D 解析：D 【解析】 【分析】
分子与分母同除以2cos x ，得21
()tan tan f x x x =-利用二次函数求最值即可解答
【详解】
分子与分母同除以2cos x ，得21
()tan tan f x x x
=
-，
2
2110,0tan 1,tan tan tan 424x x x x x π
⎛
⎫<<∴<<∴-=--+
⎪⎝
⎭ 1
tan 2
x ∴=
时，2tan tan x x -的最大值为14
综上，22
cos ()cos sin sin x
f x x x x
=-的最小值为4 故选D 【点睛】
本题考查同角三角函数基本关系，考查二次函数求最值，注意公式的合理运用，是基础题
2．A
解析：A 【解析】 【分析】
从极值点可得函数的周期，结合周期公式可得ω. 【详解】
由题意知，()sin f x x ω=的周期232(
)44
T ω
π
ππ
==-=π，得2ω=．故选A ． 【点睛】
本题考查三角函数的极值、最值和周期，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养．采取公式法，利用方程思想解题．
3．A
解析：A 【解析】 【详解】
()2
sin cos 1
7
sin 22sin cos 1
9
ααααα--==
=--.
所以选A. 【点睛】
本题考查了二倍角及同角正余弦的差与积的关系，属于基础题.
4．B
解析：B 【解析】
因为a b ⊥，所以2m-2=0,解得m=1,所以()
2
a b
a a b
-⋅+5
15
=
=，选
B. 5．C
解析：C 【解析】 【分析】
首先化简函数()2cos 3f x x πω⎛⎫
=+ ⎪⎝
⎭，需满足22T π≥，根据函数在区间0,2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
单调递减，所以求3
x π
ω
+的范围，且是[]0,π的子集，最后求ω的范围.
【详解】
()cos 1cos 2f x x x πωω⎫
⎛
⎫=+-
⎪⎪⎝⎭⎭
cos x x ωω=
2cos 3x πω⎛
⎫=+- ⎪⎝
⎭
()f x 在区间0,2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上单调递减，
22T π∴
≥ ,即2
ππω≥
02ω∴<≤ ，
当[0,]2x π
∈时，
[,]3323x ππωπωπ+∈+，
∴ [,][0,]323πωπ
ππ+⊆
∴ 23
ωπ
ππ+≤， 4
03
ω∴<≤
， 综上可知403
ω<≤. 故选C 【点睛】
本题考查三角函数的恒等变形，以及根据区间的单调性求参数的取值范围，属于中档题型，利用三角函数的奇偶性，周期性，对称性求解参数的值或范围是一个重点题型，首先将三角函数写成形如()sin y A x b ωϕ=++，或()cos y A x b ωϕ=++，
()tan y A x b ωϕ=++的形式，然后利用三角函数的性质，借助公式，区间范围关系等将
参数表示出来，得到函数参数的等式或不等式，求解.
6．D
解析：D 【解析】 【分析】
AB AB
和
AC AC
是两个单位向量，设
AB AC AB
AC
+
＝AD ，则AD 是BAC ∠的平分线，由此
可得AD BC ⊥，从而确定三角形是等腰三角形，再由1
•
2
AB AC AB
AC
=
，求出BAC ∠即可判断． 【详解】 设
AB AC AB
AC
+
＝AD ，∵
AB AB
和
AC AC
是两个单位向量，∴AD 是BAC ∠的平分线，
由题意AD BC ⊥，∴ABC ∆是等腰三角形，
•
AB AC AB
AC
111cos 2BAC ⨯⨯∠=
，即1cos 2
BAC ∠=，∴3BAC π
∠=， ∴ABC ∆是等边三角形，
故选：D ． 【点睛】
本题考查向量的数量积，考查向量加法的平行四边形法则．解题关键是由向量垢平行四边形法则得出设
AB AC AB
AC
+
＝AD ，则AD 是BAC ∠的平分线．
7．D
解析：D 【解析】 【分析】
由题意结合中点的性质和平面向量基本定理首先表示出向量BD ，BM ，然后结合平面向量的运算法则即可求得最终结果. 【详解】
如图所示，因为点D 在线段BC 上，所以存在t R ∈，使得()
BD tBC t AC AB ==-， 因为M 是线段AD 的中点，所以：
()()
()1111
12222
BM BA BD AB t AC t AB t AB t AC =
+=-+-=-++， 又BM AB AC λμ=+，所以()112t λ=-+，1
2
t μ=， 所以1
2
λμ+=-
. 本题选择D 选项.
【点睛】
(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．
(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．
8．A
解析：A 【解析】
以A 为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示，则1(,0)B t
，(0,)C t ，
10)4(0,1)(1,4)AP =+=（，，即14)P （，，所以1
14)PB t
=--（，，14)PC t =--（，，因
此PB PC ⋅
11416t t =--+117(4)t t =-+，因为11
4244t t t t
+≥⋅=，所以PB PC ⋅的最大值等于
13，当1
4t t =，即12
t =时取等号．
考点：1、平面向量数量积；2、基本不等式．
9．A
解析：A 【解析】 因为直线4
x π
=和54
x π
=
是函数()()sin f x wx φ=+图像的两条相邻的对称轴， 所以T=522π44ππ⎛⎫
⨯-=
⎪⎝⎭
．所以ω=1，并且sin （4π+φ）与sin （54π+φ）分别是最
大值与最小值，0＜φ＜π，
所以φ=
4
π
． 故选：A ． 10．B 解析：B 【解析】 【分析】
根据已知可得ω为正奇数，且ω≤12，结合x 4
π
=-
为f （x ）的零点，x 4
π
=
为y ＝f （x ）
图象的对称轴，求出满足条件的解析式，并结合f （x ）在（18π，536
π）上单调，可得ω的最大值． 【详解】
∵x 4
π
=-为f （x ）的零点，x 4
π
=
为y ＝f （x ）图象的对称轴，
∴
2142n T π+⋅=，即21242n ππ
ω+⋅=，（n ∈N ） 即ω＝2n +1，（n ∈N ） 即ω为正奇数，
∵f （x ）在（18π，536π
）上单调，则
53618122
T πππ-=≤， 即T 26
π
π
ω
=
≥
，解得：ω≤12，
当ω＝11时，114
π
-+φ＝k π，k ∈Z ， ∵|φ|2
π
≤
， ∴φ4
π
=-
，
此时f （x ）在（
18π，536π）不单调，不满足题意； 当ω＝9时，94
π
-+φ＝k π，k ∈Z ， ∵|φ|2π≤，
∴φ4
π=，
此时f （x ）在（18π，536
π
）单调，满足题意；
故ω的最大值为9， 故选B ． 【点睛】
本题将三角函数的单调性与对称性结合在一起进行考查,题目新颖,是一道考查能力的好题.注意本题求解中用到的两个结论：①()()()sin 0,0f x A x A ωϕω=+≠≠的单调区间长度是最小正周期的一半;②若()()()sin 0,0f x A x A ωϕω=+≠≠的图像关于直线0x x =对称,则()0f x A =或()0f x A =-.
11．B
解析：B 【解析】
函数()()2sin 3f x x ϕ=+的图象向右平移动
12π个单位得到：()2sin(3)4
f x x πϕ=+-图
象关于y 轴对称，即函数为偶函数，故4
2
4
k k π
π
π
ϕπϕπ-
=-
⇒=-
，所以ϕ的最小值
为4π 12．B
解析：B 【解析】 【分析】 【详解】
试题分析：由题意得，3cos sin 2sin()3
y
x x x
，令,3
2
x k k Z π
π
π+
=
+∈，
可得函数的图象对称轴方程为,6
x k k Z π
π=
+∈，取0k =是y 轴右侧且距离y 轴最近的
对称轴，因为将函数的图象向左平移()0m m >个长度单位后得到的图象关于y 轴对称，
m 的最小值为6
π，故选B ．
考点：两角和与差的正弦函数及三角函数的图象与性质． 【方法点晴】
本题主要考查了两角和与差的正弦函数及三角函数的图象与性质，将三角函数图象向左平移m 个单位，所得图象关于y 轴对称，求m 的最小值，着重考查了三角函数的化简、三角函数图象的对称性等知识的灵活应用，本题的解答中利用辅助角公式，化简得到函数
2sin()3
y x π
=+,可取出函数的对称轴，确定距离y 最近的点，即可得到结论．
13．D
解析：D 【解析】 试题分析：1
1y x
=
-在区间()1,1-上为增函数；cos y x =在区间()1,1-上先增后减；()ln 1y x =+在区间()1,1-上为增函数；2x y -=在区间()1,1-上为减函数，选D.
考点：函数增减性
14．A
解析：A 【解析】 【分析】
由tan A +tan B =
tan A tan B ，推导出C ＝60°
，由sin cos B B =，推导出A ＝60°或90°，从而得到△ABC 的形状． 【详解】
∵tan A +tan B =tan A tan B ，
即tan A +tan B =1﹣tan A tan B ），
∴
1tanA tanB
tanAtanB +=-tan （A +B ）=A 与B 都为三角形的内角，
∴A +B ＝120°，即C ＝60°，
∵sin cos 4B B =
，∴sin22
B =, ∴2B ＝60°或120°，则A =90°或60°. 由题意知90A ≠︒ ∴△AB
C 等边三角形． 故选A ． 【点睛】
本题考查三角形形状的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意两角和与差的正切函数及二倍角正弦公式的合理运用．
15．A
解析：A 【解析】 【分析】
根据分步计数乘法原理求得所有的(),m n )共有12个，满足两个向量垂直的(),m n 共有2个，利用古典概型公式可得结果. 【详解】
集合{2,3,4,5}中随机抽取一个数m ,有4种方法； 从集合{1,3,5}中随机抽取一个数n ，有3种方法， 所以，所有的(),m n 共有4312⨯=个，
由向量(),a m n =与向量()11
b =-,垂直,可得0a b n m ⋅=-=，即m n =, 故满足向量(),a m n =与向量()11
b =-,垂直的(),m n 共有2个：()()3,3,5,5， 所以向量(),a m n =与向量()11
b =-,垂直的概率为21
126
=，故选A. 【点睛】
本题主要考查分步计数乘法原理的应用、向量垂直的性质以及古典概型概率公式的应用，属于中档题. 在解古典概型概率题时，首先求出样本空间中基本事件的总数n ，其次求出概率事件中含有多少个基本事件m ，然后根据公式m
P n
=求得概率.
二、填空题
16．【解析】分析：根据题中所给的函数的图像可以求得的值利用周期公式求出利用当时函数取得最大值1求出得到函数的解析式即可得结果详解：由题意可知所以当时取得最大值
1所以结合解得所以函数的解析式是点睛：该题考
解析：sin 26y x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭. 【解析】
分析：根据题中所给的函数的图像，可以求得,A T 的值，利用周期公式求出ω，利用当
6
x π
=
时函数取得最大值1，求出ϕ，得到函数的解析式，即可得结果.
详解：由题意可知，111261,34A T ππ
π-
==
=，所以2ω=， 当6x π
=时取得最大值1，所以sin(2)16πϕ⨯+=，
结合2πϕ<，解得6π=ϕ，所以函数()f x 的解析式是()sin(2)6
f x x π
=+.
点睛：该题考查的是有关利用图像求函数解析式的问题，在解题的过程中，需要明确解析式中的参数,A ω由最值和周期所决定，ϕ由特殊点所确定，最后求得结果.
17．【解析】【分析】由设再由向量加法的坐标运算及向量模的运算可得再结合三角函数的最值的求法运算即可【详解】解：因为设则所以=当且仅当时取等号故答案为：【点睛】本题考查了向量加法的坐标运算及向量模的运算重
解析：1
【解析】 【分析】
由1b =，设(cos ,sin )b θθ=
，再由向量加法的坐标运算及向量模的运算可得
(2a b +=+=求法运算即可. 【详解】
解：因为1b =，设(cos ,sin )b θθ=，
则()2cos ,2sin a b θ
θ+=++，
所以
(2
a b +=+==≤
1=，当且仅当sin()14
π
θ+=时取等号，
故答案为：1.
【点睛】
本题考查了向量加法的坐标运算及向量模的运算，重点考查了辅助角公式及三角函数最值的求法，属中档题.
18．9【解析】【分析】【详解】由数量积的几何意义知当在上的投影最大时最大从图可以看出当N 点在点C 处在上的投影最大所以的最大值为：
解析：9 【解析】 【分析】 【详解】
由数量积的几何意义知，当AN 在AM 上的投影最大时，AM AN 最大. 从图可以看出，当N 点在点C 处，AN 在AM 上的投影最大，
所以AM AN 的最大值为：1
·
()?()92
AM AC AD AB AB AD =++=. 19．－1【解析】【分析】因为可知为直角三角形又可知为等边三角形故所求投影为＝【详解】因为所以为的中点即为直角三角形又可知为边长为2的等边三角形故向量在向量上的投影为＝故答案为：-1【点睛】本题主要考查向
解析：－1 【解析】 【分析】
因为2AO AB AC =+可知，ABC ∆为直角三角形，又AO AB =可知，ABO ∆为等边三角形，故所求投影为cos120BA ＝1-． 【详解】
因为2AO AB AC =+，所以O 为BC 的中点，即ABC ∆为直角三角形，又AO AB =
可知，ABO ∆为边长为2的等边三角形，故向量BA 在向量CB 上的投影为cos120BA ＝1-．
故答案为：-1． 【点睛】
本题主要考查向量中点公式的应用以及向量投影的求法．
20．【解析】试题分析：由得所以解得所以的最小值为考点：向量的数量积运算及其性质【方法点晴】要求的最小值可以考虑建立关于的不等式或不等式组已知由结合向量数量积的运算律可得关于及的关系式根据向量数量积的定义
解析：
【解析】
试题分析：由()(2)0a b a b +⋅-=得，
2
2
22()(2)2cos ,2a b a b a a b b a a b a b b +⋅-=-⋅-=-⋅〈〉-
2
1cos ,20b a b b =-〈〉-=，所以2
12cos ,b a b b
-〈〉=
，0,180a b ≤〈〉≤，
2
1211b b
-∴-≤≤，解得
1
12
b ≤≤，所以b 的最小值为．
考点：向量的数量积运算及其性质．
【方法点晴】要求b 的最小值，可以考虑建立关于b 的不等式或不等式组．已知
1a =，由()(2)0a b a b +⋅-=结合向量数量积的运算律可得关于b 及a b ⋅的关系式, 根
据向量数量积的定义，把向量a b ，的夹角转化为关于b 的表达式,再由向量夹角的有界性最终得到关于b 的不等式，解不等式即得b 的最小值．
21．【解析】【分析】根据等高的两个三角形的面积之比等于底边长之比可得再得到设出的坐标代入可解得【详解】因为又因为所以所以所以所以设所以所以所以且解得且所以的坐标为故答案为:【点睛】本题考查了向量共线的坐 解析：()1,0
【解析】 【分析】
根据等高的两个三角形的面积之比等于底边长之比,可得||1||3BD DC =,再得到1
3
BD DC =,设出D 的坐标,代入1
3
BD DC =可解得. 【详解】
因为
||||ABD ABC
S BD S
BC =
,又因为1
4
ABD ABC S S ∆∆=,所以14
ABD ABC
S S =
, 所以
||1||4BD BC =,所以||1||3
BD DC =, 所以1
3
BD DC =
, 设(,)D a b ,
所以(3,1)BD a b =-+,(5,3)DC a b =---, 所以1
(3,1)(5,3)3
a b a b -+=---, 所以13(5)3a a -=
--且1
1(3)3
b b +=-, 解得1a =,且0b =, 所以D 的坐标为(1,0). 故答案为:(1,0). 【点睛】
本题考查了向量共线的坐标表示,平面向量基本定理,属于基础题.
22．【解析】【分析】以点为坐标原点为轴的正方向建立平面直角坐标系得出的方程为可设点的坐标为然后利用坐标计算出关于实数的表达式然后结合的取值范围得出的取值范围【详解】以点为坐标原点为轴的正方向建立平面直角 解析：[]0,4
【解析】 【分析】
以点B 为坐标原点，AB 为x 轴的正方向建立平面直角坐标系xBy ，得出BC 的方程为
2y x =-，可设点M 的坐标为()(),210a a a --≤≤，然后利用坐标计算出AD AM ⋅关
于实数a 的表达式，然后结合a 的取值范围得出AD AM ⋅的取值范围. 【详解】
以点B 为坐标原点，AB 为x 轴的正方向建立平面直角坐标系xBy ，则点()30A -,、()0,0B 、()1,2C -、()3,2D -，BC 边所在直线的方程为2y x =-，设点(),2M a a -.
()0,2AD =，()3,2AM a a =+-，
4AD AM a ∴⋅=-，
10a -≤≤，则044a ≤-≤，因此，AD AM ⋅的取值范围是
[]0,4.
故答案为：[]0,4. 【点睛】
本题考查平面向量数量积的取值范围问题，可以引入参数来表示平面向量的数量积，也可以建立坐标系，将平面向量的数量积的取值范围转化为函数的值域来求解，考查运算求解
能力，属于中等题.
23．【解析】【分析】设由已知结合余弦定理可求而展开结合向量的数量积的运算及二次函数的性质即可求出结果【详解】设中由余弦定理可得中此时故答案为：【点睛】本题以向量的基本运算为载体主要考查了向量的数量积的定
【解析】 【分析】
设DE x =，由已知结合余弦定理可求30ABD BDA ∠=∠=︒，而
()()AE BE AD DE BA AD DE ⋅=+⋅++，展开结合向量的数量积的运算及二次函数的性
质，即可求出结果． 【详解】 设DE x =，
1201BAD AB AD ∠=︒==，，
ABD △中，由余弦定理可得，
2221BD AB AD 2AB AD cos1201121132︒⎛⎫
=+-⋅=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，
BD ∴=ABD ∆中，30ABD BDA ∠=∠=︒，
AB BC AD CD ⊥⊥，
()()AE BE AD DE BA AD DE ∴⋅=+⋅++
2
2
AD BA AD AD DE DE BA DE AD DE =⋅++⋅+⋅+⋅+
223
11cos 60101cos15002
x x x ︒︒=⨯⨯++++⨯⨯++
232
x x =+ 2
2121
41616x ⎛=-+≥ ⎝
⎭，
此时DE x ==
【点睛】
本题以向量的基本运算为载体，主要考查了向量的数量积的定义的应用及二次函数的最值的求解，属于知识的简单综合．
24．【解析】【分析】根据条件即可得出然后对两边平方可得出即可求解得到答案【详解】根据条件：且；则；整理得解得或（舍去）故答案为7【点睛】
本题主要考查了向量数量积的运算及计算公式向量投影的计算公式向量坐标
解析：【解析】 【分析】
根据条件即可得出2
20,cos ,3a a a b =〈〉=，然后对33a b -=两边平方，可得出
2||670b b --=，即可求解b ，得到答案．
【详解】
根据条件：2
20,cos ,3a a a b =〈〉=，且33a b -=； 则()
2
2222cos ,||62027a b
a a
b a b b b b -=-〈〉+=-+=；
整理得2
||670b b --=，解得7b =或1-（舍去）． 故答案为7． 【点睛】
本题主要考查了向量数量积的运算及计算公式，向量投影的计算公式，向量坐标的数量积运算等知识的综合应用，其中熟记向量的运算公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
25．（开闭都可以）【解析】【分析】由复合函数的单调性可得：解得函数的单调增区间为（）对的取值分类求得即可得解【详解】令（）解得：（）所以函数的单调增区间为（）当时=当时当取其它整数时所以函数在区间的单调
解析：1
[0]6，，2[1]3
，
（开闭都可以）. 【解析】 【分析】
由复合函数的单调性可得：2222
6
2
k x k π
π
π
πππ-
+≤+
≤
+，解得函数()f x 的单调增
区间为11,36k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦（k Z ∈），对k 的取值分类，求得[]0,1⋂11,36k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦
即可得
解． 【详解】 令2222
6
2
k x k π
π
π
πππ-
+≤+
≤
+（k Z ∈）
解得：11
36
k x k -
≤≤+（k Z ∈） 所以函数()f x 的单调增区间为1
1,36k k ⎡
⎤
-+⎢⎥⎣⎦（k Z ∈）
当0k =时，[]0,1⋂11,36k k ⎡
⎤-
+⎢⎥⎣
⎦
=1[0]6，
当1k =时，[]0,1⋂1
1,36k k ⎡
⎤-+=⎢⎥⎣⎦
2
[1]3，
当k 取其它整数时，[]0,1⋂11,36k k ⎡
⎤-+=∅⎢⎥⎣
⎦ 所以函数()2sin 26f x x ππ⎛⎫
=+ ⎪⎝
⎭在区间[]0,1的单调增区间为1
[0]6，，2[1]3
， 【点睛】
本题主要考查了三角函数的性质及复合函数的单调区间求解，还考查了分类思想及计算能力，属于中档题．
三、解答题 26．
（1）a b ⋅=()2
14x ---
（2）a b ⋅的最大值为4-，夹角为arccos 17
π- 【解析】 【分析】
（1）根据坐标形式下的向量的数量积运算，用x 表示出a b ⋅；
（2）由二次函数确定出a b ⋅的最大值，并利用向量的夹角公式计算出夹角的余弦值，从而求解出夹角的大小. 【详解】
（1）因为()3,2a x x =+-，()1,4b x =-，
所以()()()()2
231422514a b x x x x x x ⋅=+-+-=-+-=---； （2）因为a b ⋅=()2
14x ---，且05x ≤≤，
所以当1x =时，a b ⋅有最大值4-，此时()()4,1,0,4a b =-=，
所以cos ,
a b <>==,a b π<>=-. 【点睛】
本题考查向量数量积的坐标表示以及相关计算，难度一般.已知两个向量,a b ，若要求解两个向量的夹角，可先通过向量的夹角公式cos ,a b a b a b
⋅<>=
先求解出夹角的余弦值，若
,a b <>非特殊角，再通过反三角函数即可得到向量的夹角大小.
27．
（1）1(2；（2）(,6[3,)-∞--+∞
【解析】 【分析】
（1）先由题意得到3
AOB π
∠=
，在单位圆内，即可取出坐标；
（2）先设00(,)P x y ，(,)Q x y ，根据题意，得到002
12x x y y ⎧=-⎪⎪⎨+⎪=-⎪⎩
，推出
003
(1)
3123231123
-++===+-+-y y y k x x x ，表示弧AB 上的点与定点2,13⎛⎫
- ⎪⎝⎭N 连线的斜率，结合
图像，即可得出结果. 【详解】
（1）因为扇形OAB 的圆心角为3π
，所以3
AOB π∠=，又扇形所在圆的半径为1， 所以：11cos 2=⨯∠=B x AOB
，1sin =⨯∠B y AOB ， 即点B 的坐标为1(,
)22
； （2）设00(,)P x y ，
(,)Q x y ，因为1
(0,)3M -，所以001,3⎛⎫=+ ⎪⎝⎭MP x y ，1,3⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭MQ x y ，
由2+0MP MQ =得002021
2033x x y y +=⎧⎪⎨+++=⎪⎩，所以00
2
12x x y y ⎧
=-⎪⎪⎨+⎪=-⎪⎩
， 又点P 在直线:3
k
l y kx =+
上， 所以00
3=+k y kx ，即003
(1)
3123231123
-++===+-+-y y y k x x x ， 又点(,)Q x y 在弧AB 上， 所以
1
23
+=
-y k x 表示弧AB 上的点与定点2,13⎛⎫
- ⎪⎝⎭N 连线的斜率，
由图像可得：
013213
+≥==-AN
k k ，或31263312
23
≤==---BN k k ；
故k 的取值范围为(,633][3,)-∞--+∞. 【点睛】
本题主要考查直线与圆的综合应用，根据三角函数定义，以及平面向量坐标运算处理，利用数形结合的思想，即可求解，属于常考题型.
28．
(1)21
4k k +；(2)12，3
π
【解析】 【分析】
(1)对||3||ka b a kb +=-两边平方，化简即可求解;
(2)利用基本不等式求出a b ⋅的最小值，再结合数量积公式求出此时a 、b 的夹角. 【详解】
(1)||3||ka b a kb +=-
222222||2||3||63||k a ka b b a ka b k b ∴+⋅+=-⋅+ 即214k a b k
=+⋅
(2)由(1)可知21111
2444442
k k k a b k k k +⋅==+⋅=
当且仅当1k =时，a b ⋅取最小值
1
2
此时a 、b 的夹角的余弦值为1cos ,2
||||a b a b a b ⋅〈〉==，,3a b π
〈〉=
所以a b ⋅的最小值为12
，此时a 、b 的夹角为3π
.
【点睛】
本题主要考查了平面向量的数量积公式以及夹角的求法，属于中档题.
29．
(1)
56
π
；(2)12,22⎡⎤---⎣⎦ . 【解析】 试题分析：
(1)整理函数的解析式可得：5
6
ω=
，利用最小正周期公式可得函数的最小正周期为6
5
π ； (2)化简三角函数的解析式()5
2sin 23
6f x x π⎛⎫=--
⎪⎝⎭，结合函数的定义域可得函数的取
值范围是12,22⎡⎤---⎣⎦ .
试题解析：
(1)因为f(x)＝sin 2
ωx－cos 2
ωx＋2sinωx·cosωx＋λ
＝－cos2ωx＋sin2ωx＋λ ＝2sin
＋λ.
由直线x ＝π是y ＝f(x)图象的一条对称轴，可得sin ＝±1，
所以2ωπ－＝kπ＋ (k∈Z)，即ω＝＋ (k∈Z)． 又ω∈
，k∈Z，所以k ＝1，故ω＝.
所以f(x)的最小正周期是.
(2)由y ＝f(x)的图象过点，得f ＝0， 即λ＝－2sin ＝－2sin ＝－，即λ＝－
.
故f(x)＝2sin －
，
由0≤x≤
，有－≤x －≤
，
所以－≤sin ≤1，得－1－
≤2sin x －－
≤2－.
故函数f(x)在
上的取值范围为[－1－
，2－
]．
30．
（123
；（2）5. 【解析】 【分析】
（1）根据正弦定理可以得到
sin sin BD AB
A ADB
=∠∠，根据题设条件，求得
sin 5
ADB ∠=
，结合角的范围，利用同角三角函数关系式，求得
cos ADB ∠==
（2）根据题设条件以及第一问的结论可以求得cos sin 5
BDC ADB ∠=∠=
，之后在BCD ∆中，用余弦定理得到BC 所满足的关系，从而求得结果. 【详解】
（1）在ABD ∆中，由正弦定理得
sin sin BD AB
A ADB
=∠∠.
由题设知，
52sin45sin ADB =∠，所以sin 5
ADB ∠=
.
由题设知，90ADB ∠<，所以cos ADB ∠==
（2）由题设及（1）知，cos sin BDC ADB ∠=∠= 在BCD ∆中，由余弦定理得
2222cos 25825255
BC BD DC BD DC BDC =+-⋅⋅⋅∠=+-⨯⨯=. 所以5BC =. 【点睛】
该题考查的是有关解三角形的问题，涉及到的知识点有正弦定理、同角三角函数关系式、诱导公式以及余弦定理，在解题的过程中，需要时刻关注题的条件，以及开方时对于正负号的取舍要从题的条件中寻找角的范围所满足的关系，从而正确求得结果.。