2009年高考试题——数学(辽宁卷)(文)

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2009
年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷)
数学(文史类)
一、选择题:本大题12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合
题目要求的。

(1)已知集合M=﹛x|-3<x ≤5﹜,N=﹛x|x <-5或x >5﹜,则M
N=
(A) ﹛x|x <-5或x >-3﹜ (B) ﹛x|-5<x <5﹜ (C) ﹛x|-3<x <5﹜ (D) ﹛x|x <-3或x >5﹜ (2)已知复数12z i =-,那么
1z
= (A )
52555i + (B )525
55
i - (C )1255i + (D )1255i -
(3)已知{}n a 为等差数列,且7a -24a =-1, 3a =0,则公差d=
(A )-2 (B )-
12 (C )1
2
(D )2 (4)平面向量a 与b 的夹角为0
60,a=(2,0), | b |=1,则 | a+2b |=
(A )3 (B )23 (C )4 (D )12
(5)如果把地球看成一个球体,则地球上的北纬0
60纬线长和赤道长的比值为
(A )0.8 (B )0.75 (C )0.5 (D )0.25
(6) 已知函数()f x 满足:x ≥4,则()f x =1()2
x
;当x <4时()f x =(1)f x +,则2
(2l o g 3)
f +=
(A )124 (B )112 (C )18 (D )38
(7) 已知圆C 与直线x-y=0 及x-y-4=0都相切,圆心在直线x+y=0上,则圆C 的方程为
(A )22(1)(1)2x y ++-= (B) 22
(1)(1)2x y -++= (C) 22(1)(1)2x y -+-= (D) 22
(1)(1)2x y +++=
(8)已知tan 2θ=,则22
sin sin cos 2cos θθθθ+-=
(A )43
-
(B )
5
4
(C )34
-
(D )
45
(9)ABCD 为长方形,AB=2,BC=1,O 为AB 的中点,在长方形ABCD 内随机取一点,取到
的点到O 的距离大于1的概率为
(A )
4
π
(B )14
π
-
(C )
8
π
(D )18
π
-
10)某店一个月的收入和支出总共记录了 N 个数据1a ,2a ,。

N a ,其中收入记为 正数,支出记为负数。

该店用右边的程序框图计算月总收入S 和月净盈利V ,那么在图中空白的判断框和处理框中,应分别填入下列四个选项中的
(A )A>0,V=S-T (B) A<0,V=S-T (C) A>0, V=S+T
(D )A<0, V=S+T (11)下列4个命题
111
:(0,),()()23
x x p x ∃∈+∞<
2:(0,1),p x ∃∈㏒1/2x>㏒1/3x
31
p :(0,),()2
x x ∀∈+∞>㏒1/2x
411
:(0,),()32
x p x ∀∈<㏒1/3x
其中的真命题是
(A )13,p p ( B )14,p p (C )23,p p (D )24,p p
(12)已知偶函数()f x 在区间[0,)+∞单调增加,则满足(21)f x -<1
()3
f 的x 取值范围是 (A )(13,23) (B) [13,23) (C)(12,23) (D) [12,23

2009年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷)
数学(文科类)
第II 卷
二-填空题:本大题共4小题,每小题5分。

(13)在平面直角坐标系xoy 中,四边形ABCD 的边AB//DC,AD//BC,已知点A(-2,0),B (6,
8),C(8,6),则D 点的坐标为___________.
(14)已知函数()sin()(0)f x x ωϕω=+>的图象如图所示,
则ω =
(15)若函数2()1
x a f x x +=+在1x =处取极值,则a =
(16)设某几何体的三视图如下(尺寸的长度单位为m )。

则该几何体的体积为 3
m
三.解答题:本大题共6小题,共70分。

解答应用写出文字说明,证明过程或演算步骤。

(17)(本小题满分10分)
等比数列{n a }的前n 项和为n s ,已知1S ,3S ,2S 成等差数列 (1)求{n a }的公比q ; (2)求1a -3a =3,求n s
(18)(本小题满分12分)
如图,A,B,C,D 都在同一个与水平面垂直的平面内,B ,D 为两岛上的两座灯塔的塔顶。

测量船于水面A 处测得B 点和D 点的仰角分别为075,0
30,于水面C 处测得B 点和D 点的仰角均为0
60,AC=0.1km 。

试探究图中B ,D 间距离与另外哪两点距离相等,然后求B ,D 的距
离(计算结果精确到0.01km ,2≈1.414,6≈2.449)
(19)(本小题满分12分)
如图,已知两个正方形ABCD 和DCEF 不在同一平面内,M ,N 分别为AB ,DF 的中点。

(I )若CD=2,平面ABCD ⊥平面DCEF ,求直线MN 的长;
(II )用反证法证明:直线ME 与 BN 是两条异面直线。

(20)(本小题满分12分)
某企业有两个分厂生产某种零件,按规定内径尺寸(单位:mm)的值落在(29.94,
30.06)的零件为优质品。

从两个分厂生产的零件中个抽出500件,量其内径尺寸,
的结果如下表:
甲厂
(1)试分别估计两个分厂生产的零件的优质品率;
(2)由于以上统计数据填下面22
⨯列联表,并问是否有99%的把握认为“两个分厂生产的零件的质量有差异”。

甲厂乙厂合计优质品
非优质品
合计
附:
22
211221221
1212
()()0.050.01
,
3.841
n n n n n p x k
x
n n n n k
++++
-≥ =
6.635
(21)(本小题满分12分)
设2()(1)x f x e ax x =++,且曲线y=f (x )在x=1处的切线与x 轴平行。

(I ) 求a 的值,并讨论f (x )的单调性; (II ) 证明:当[0,
]f(cos )f(sin )22
π
θθθ∈-<时,
(22)(本小题满分12分)
已知,椭圆C 以过点A (1,
3
2
),两个焦点为(-1,0)(1,0)。

(1) 求椭圆C 的方程;
(2) E,F 是椭圆C 上的两个动点,如果直线AE 的斜率与AF 的斜率互为相反数,证明直线
EF 的斜率为定值,并求出这个定值。

辽宁文数学答案
一、选择题
(1)A (2)C (3)B (4)B (5)C (6)A (7)B (8)D (9)B (10)C (11)D (12)A 二、填空题
(13)(0,-2) (14)2
3
(15)3 (16)4 三、解答题 (17)解: (Ⅰ)依题意有
)(2)(2111111q a q a a q a a a ++=++ 由于 01≠a ,故 022=+q q
又0≠q ,从而21-=q 5分
(Ⅱ)由已知可得32
12
1
1=--)(a a 故41=a
从而)
)(()
()
)((n n
n 211382
112114--=----=S 10分 (18)解:
在ACD ∆中,DAC ∠=30°,ADC ∠=60°-DAC ∠=30°, 所以CD=AC=0.1
又BCD ∠=180°-60°-60°=60°,
故CB 是CAD ∆底边AD 的中垂线,所以BD=BA 5分 在ABC ∆中,
ABC
AC
BCA AB ∠=∠sin sin ,
即AB=
20
6
2351sin 60sin +=︒︒AC
因此,km 33.020
6
23≈+=
BD
故B 、D 的距离约为0.33km 。

12分 (19)解
(Ⅰ)取CD 的中点G 连结MG ,NG. 因为ABCD ,DCEF 为正方形,且边长为2, 所以MG ⊥CD ,MG=2,2NG =.
因为平面ABCD ⊥平面DCEF , 所以MG ⊥平面DCEF ,可得MG ⊥NG. 所以226MN MG NG =
+= ……6分
(Ⅱ)假设直线ME 与BN 共面, …..8分 则AB ⊂平面MBEN ,且平面MBEN 与平面DCEF 交于EN , 由已知,两正方形不共面,故AB ⊄平面DCEF.
又AB ∥CD ,所以AB ∥平面DCEF.而EN 为平面MBEN 与平面DCEF 的交线, 所以AB ∥EN. 又AB ∥CD ∥EF,
所以EN ∥EF ,这与EN EF=E ⋂矛盾,故假设不成立。

所以ME 与BN 不共面,它们是异面直线。

……..12分 (20)解:
(Ⅰ)甲厂抽查的产品中有360件优质品,从而甲厂生产的零件的优质品率估计为
360
72%500=; ……6分
乙厂抽查的产品中有320件优质品,从而乙厂生产的零件的优质品率估计为
320
64%500
= (Ⅱ)
甲厂 乙厂 合计 优质品 360 320 680 非优质品
140
180
320
合计
500
500
1000
……8分
2
2
1000(360180320140)500500680320
7.35 6.635,
x ⨯⨯-⨯=
⨯⨯⨯≈> 所以有99%的把握认为“两个分厂生产的零件的质量有差异”。

……12分
(21)解:
(Ⅰ)2'()(121)x f x e ax x ax =++++.有条件知,
'(1)0f =,故3201a a a ++=⇒=-. ………2分 于是2'()(2)(2)(1)x x f x e x x e x x =--+=-++. 故当(,2)(1,)x ∈-∞-⋃+∞时,'()f x <0;
当(2,1)x ∈-时,'()f x >0.
从而()f x 在(,2)-∞-,(1,)+∞单调减少,在(2,1)-单调增加. ………6分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知()f x 在[0,1]单调增加,故()f x 在[0,1]的最大值为(1)f e =, 最小值为(0)1f =.
从而对任意1x ,2x [0,1]∈,有12()()12f x f x e -≤-<. ………10分
而当[0,
]2
π
θ∈时,cos ,sin θθ∈[0,1].
从而 (cos )(sin )2f f θθ-< ………12分
(22)解:(Ⅰ)由题意,c=1,可设椭圆方程为
22
22
114x y b b +=+。

因为A 在椭圆上,所以
2219114b b +=+,解得2b =3,2
b =34
-(舍去)。

所以椭圆方程为 22143x y +=. ......4分 (Ⅱ)设直线AE方程:得3(1)2y k x =-+,代入
22
143
x y +=得
2223
3+4+4(32)4()1202
k x k k x k -+--=()
设E(E x ,E y ),F(F x ,F y ).因为点A(1,
3
2
)在椭圆上,所以 22
3
4()12
2
34E k x k --=+, 3
2
E E y kx k =+-。

.......8分
又直线AF 的斜率与AE 的斜率互为相反数,在上式中以k -代k ,可得
22
3
4()12
2
34F k x k +-=+, 3
2
F F y kx k =-++。

所以直线EF 的斜率()21
2
F E F E EF F E F E y y k x x k k x x x x --++=
==--。

即直线EF 的斜率为定值,其值为1
2。

.......12分。

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