吉林省吉林市第五十五中学2020-2021学年高二数学第一学期期中试题【含答案】

吉林省吉林市第五十五中学2020-2021学年高二数学第一学期期
中试题
（时间：90分钟，满分：120分）
一、选择题（本题共8个小题，每小题6分，合计48分，每题只有一个正确选项。

） 1、在∆ABC 中，角A 、B 、C 所对边分别为：a 、b 、c ，若A=75°,B=60°,6=b ，则=c （ ）
A.4
B. 6
C. 2
D. 22
2、在∆ABC 中，角A 、B 、C 所对边分别为：a 、b 、c ，已知A=π3
2,2=b ，22=c ，则=a （ ）
A.6
B.6
C.14
D. 14
3、在∆ABC 中，角A 、B 、C 所对边分别为：a 、b 、c ，如果︒=30A ,2=b ，32=c ，则∆ABC 的面积为（ ）
A.2
B. 3
C. 3
D. 6
4、已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若222
-+=n n S n ，则=+61a a （ ）
A.13
B. 14
C.15
D.16
5、已知等差数列{}n a 中，,13,562==a a 则=12a （ ） A.18 B. 25 C.27 D. 65
6、已知等比数列{}n a 中，,1024,12885=-=a a 则首项=1a （ ） A.16 B.-16 C.8 D.-8
7、已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若561276=+++a a a ，则=-9177a S （ ） A.100 B. 90 C.80 D. 70
8、已知等比数列{}n a 中，121,a a 是方程0181322
=+-x x 的两个根，则=⋅)(log 853a a （ ）
A.2
B. 3
C.4
D. 5
二、填空题（本题共4个小题，每个小题6分，合计24分。

）
9、已知集合A=}082|{>+x x ，B=}128|{2
≥--x x x 则=B A ____________________. 10、若函数1)1(2+--=
x m x y 的定义域为R ，则m 的取值范围是__________________.
11、函数)0(29
)(2>+-=x x
x x f 的最大值为____________________. 12、已知2,0,0=+>>b a b a ，则
59
1-+b
a 的最小值__________________________. 三、解答题（本题共4个小题，每个小题12分，合计48分。

） 13、在∆ABC 中，角A 、B 、C 所对边分别为：a 、
b 、
c ，ab c b a 2222+=+
（1）若)2
3
cos(
)sin(C b C A a +=+π，判断三角形的形状。

（2）若23,4==∆ABC S a ，求c b ,的值
14、等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知17,593==a a
（1）求16S （2）求数列11n n a a +⎧
⎫
⎨⎬⎩⎭
的前n 项和n T
15、等比数列{}n a 中，已知32,493-==a a
（1）求9S
（2）求数列|}|{n a n 的前n 项和n T
16、已知目标函数y x z -=2，y x ,满足的约束条件是：⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≤--≥+-0
11230120
325y x y x y x .
（1）画出已知约束条件下的可行域（用阴影表示）； （2）求目标函数y x z -=2在以上约束条件下的最小值。

参考答案
选择题1——8：C D C B B D C A
填空题9——12：]2,4(-- ]3,1[- 3- 3 13、在∆ABC 中，角A 、B 、C 所对边分别为：a 、b 、c ，ab c b a 2222+=+
（1）若)2
3
cos(
)sin(C b C A a +=+π，判断三角形的形状。

（2）若23,4==∆ABC S a ，求c
b ,的值
解：（1）由余弦定理知：ab
c b a C 2cos 2
22-+=
把已知式ab c b a 2222+
=+代入可得：2
2cos =
C 又三角
形
中
π
<<C 0，则
4
π
=
C ..........................................................3分
在∆ABC 中，π=++C B A ，则B C A -=+π
∴B B C A sin )sin()sin(=-=+π，又C C sin )2
3
cos(=+π
已知式：)2
3
cos(
)sin(C b C A a +=+π 可化为：C b B a sin sin =再由正弦定理可化为：bc ab =
又a ，b ，c 都大于0，则a=c ，则∆ABC 为等腰三角形.............................................6分
∴4
π
=
=C A 则
则∆ABC 为等腰直角三角
形..............................................................8分 （2）由（1）知：4
π
=
C 又23,4==∆ABC S a
代入面积公式：C ab S ABC sin 21=
∆得：4
sin 42123π
⨯⨯⨯=b 则b=3，........................................................10分
由余弦定理：C ab b a c cos 2222-+=得：212254
cos 34234222-=⨯⨯⨯-+=π
c
由
于
c
大
于
，
21225-=c ..............................................................12分
14、等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知17,593==a a
（1）求16S （2）求数列11n n a a +⎧
⎫
⎨
⎬⎩⎭
的前n 项和n T
解：（1）由已知，不妨设等差数列{}n a 的公差为d ，首项为1a ，则由已知得：
⎩⎨⎧=+==+=1785219
13d a a d a a 解得：⎩⎨⎧==2
11d a ...........................................2分 通项公式为：12)1(1-=-+=n d n a a n
前n 项和221222)1(n n n n d n n na S n =⨯-+=-+
=....................................4分 ∴25616216==S .. (6)
分
（2）由（1）知：12)1(1-=-+=n d n a a n 则：数列11n n a a +⎧
⎫
⎨
⎬⎩⎭
的前n 项和)12)(12(1......751531311+-++⨯+⨯+⨯=
n n T n ..........10分 1
2)121
1(21))1
21121(......)7151()5131()3111((21)12)(12(1
......751531311+=
+-=+--++-+-+-=+-++⨯+⨯+⨯=
n n n n n n n T n .....................................................................................................................12分
15、等比数列{}n a 中，已知32,463-==a a
（1）求9S
（2）求数列|}|{n a n 的前n 项和n T
解：（1）由已知不妨设等比数列{}n a 的公比为q ，首项为1a ，则由已知得：
⎩⎨⎧-=⋅==⋅=32
4516
13q a a q a a 解
得:⎩
⎨
⎧-==21
1q a ...........................................................4分
由等比数列前n 项和公式：q q a S n n --=1)1(1得：171)
2(1)
)2(1(11)1(9919=----=--=
q q a S ........6分 （2）由（1）知，1
11)2(1---⨯==n n n q a a (7)
分
12||-=∴n n a ，又已知：数列|}|{n a n 的前n 项和n
T
1
32102......24232221-⨯++⨯+⨯+⨯+⨯=∴n n n T .......................................
..8分
n
n n T 2......2423222124321⨯++⨯+⨯+⨯+⨯=∴.......................................
..9分
n
n n
n n
n n n n n T 21222
1)21(1221......2121212113210⨯--=⨯---=⨯-⨯++⨯+⨯+⨯+⨯=-∴-..........................11分 )
122(1
2)1(1+-⨯+⨯-=∴-n n n n n n T 或.............................................
.........12分
16、已知目标函数y x z -=2，y x ,满足的约束条件是：⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≤--≥+-0
11230120
325y x y x y x .
（1）画出已知约束条件下的可行域（用阴影表示）； （2）求目标函数y x z -=2在以上约束条件下的最小值。

解：（1）由已知的约束条件，可以画出可行域如图。

..................................................
....... 5分
（2）目标函数y x z -=2可化为：z x y -=2， 显然，斜率为2，纵截距为z -
令z=0，目标函数初始化为：x y 2=，画图如图。

在可行域内，平移目标函数对应的直线，当直线过点C 时，纵截距z -最大，此时，Z 最小！ ..............................................................................................8分
又点C 为直线032501123=+-=-+y x y x 与的交点， 联立方程：⎩⎨⎧=+-=-+0
32501123y x y x 解得，)4,1(C ，
此
时
，
2
4122min -=-⨯=-=y x z 为所
求！..................................................12分。