湘教版数学9年级下册课件：1.4二次函数和一元二次方程的联系

解：设二次函数 y x 2 2x 1
作出函数图象 y x 2 2 x 1 的图象可以发现 抛物线与x轴一个交点在-1与0之间,另一个 在2与3之间 通过观察或测量，可得到抛物线与x轴交点的横 坐标在约为-0.4或2.4。即一元二次方程的实数 根为x1 -0.4，x2 2.4还可以用等分计算的方法 确定方程x2-2x-1-=0的近似根为:x1≈-0.4,x2≈2.4.
2
x=-1, x=3 2 1
一般地,如果二次函数 y ax bx c
2
的图象与x轴有两个交点( x1,0)、( x2 ,0 ) 2 那么一元二次方程 ax bx c 0 有两
个不相等的实数根 之亦成立.
x x1、 x x2 ,反
不画图象，你能说出函数 y x 轴的交点坐标吗？
第1章 二次函数 1.4二次函数和一元二次方 程的联系
x y
写出二次函数 坐标,对称轴,并画出它的图象. … -2 -1 0 1 2 3 4 … … 7 0 -3 -4 -3 0 7 …
y x 2 2 x 3 的顶点
(1,-4)
探究一
当x为何时,y=0?
N M
x=-1, x=3
x 2x 3 0
y x2 6x 9
y x2 2x 2
求一元二次方程
x2 2x 1 0
2
的根的近似值（精确到0.1）
2 y x 2x 1 分析，一元二次方程 x 2 x 1 0 的根就是：抛物线
与x轴的交点的横坐标，因此我们可以先画出这条抛物线，然后从图上 找出它与x轴的交点的横坐标，这种解一元二次方程的方法叫作图象法.
一元二次方程的图象解法 利用二次函数的图象求一元二次方程2x2+x-15=0的近似根. (1).用描点法作二次函数y=2x2+x-15的图象； (2).观察估计二次函数y=2x2+x-15的图象与x轴的交点 的横坐标； 由图象可知,图象与x轴有两个交点, 其横坐标一个是-3,另一个在2与3之 间,分别约为3和2.5(可将单位长再十 等分,借助计算器确定其近似值). (3).确定方程2x2+x-15=0的解; 由此可知,方程2x2+x-15=0的近似根 为:x1≈-3,x2≈2.5.
2 x 2.用图象法求一元二次方程 x 1 0 的解的近似值（ 精确到0.1）
请你来解解这个方程
1、一元二次方程ax2+bx+c=0的解是二次函数 y=ax2+bx+c的图像与x轴的交点横坐标。 2、知道二次函数y=ax2+bx+c的函数值y，就对应 点自变量的值，只需要把y的值代入函数式解方 程，方程的解就是y的对应值。 3、函数y=ax2+bx+c图像与x轴交点的横坐标就是 方程ax2+bx+c=0的解的近似值。
二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的坐标与 一元二次方程ax2+bx+c=0根的关系?
二次函数 y=ax2+bx+c的图象 与x轴交点 有两个交点 有一个交点 一元二次方程 ax2+bx+c=0的根 有两个不相等的实 数根 有两个相等的实数 根 没有实数根
b2-4ac
b2-4ac > 0 b2-4ac = 0 b2-4ac < 0
一元二次方程 ax2+bx+c=m的根就是二次 函数y=ax2+bx+c 与直线 y=m（m是实数）图象交 点的横坐标
既可以用求根公式求 二次方程的根，也可以 通过画二次函数图象来 估计一元二次方程的根
如图，丁丁在扔铅球时，铅球沿抛物线 运行，其中x是铅球离初始位置的水平距离，y是铅球离 地面的高度。 （1）当铅球离地面的高度为2.1m它离初始位置的水平 距离是多少？ （2）铅球离地面的高度能否达到2.5m，它离初始位置 的水平距离是多少？ （3）铅球离地面的高度能否达到3m？为什么？ y x
没有交点
1.求下列抛物线与x轴的交点的横坐标： 2 1 y x x 2
解
它与x轴有交点，则y=0
x x20
2
解这个方程
（x－2）（x+1）= 0
∴ x1=2, x2=－1 ∴ 与x轴交点的横坐标为（2,0）（－1，0）
2
解
y 9x 12x 4
2
它与x轴有交点，则y=0
9 x 2 12 x 4 0
2 ∴ x1= x2= 3 2 ∴ 与x轴交点的横坐标为（ ，0） 3
解
3y x
2
- 2x 3
x 2 - 2x 3 0
a=1 b=-2 c=3
△=（-2）2-4×1×3<0 此方程无解，所以，抛物线y=x2-2x+3与 x轴没有交点。
x x6
2
的图象与
2 解：当y=0时， x x6 0
x1 -3 x 2 2 解得：
所以,函数 y x x 6的图象与 x 轴的交 点坐标为（-3，0）和（2，0）.
2
2 y x 6 x 9的图象和 观察二次函数 二次函 2 y x 2 x 2 的图象,分别说出一元 数 二次方 程 x 2 2 x 2 0和 x 2 6 x 9 0 的根的情况.
x2 6 8 y- x 10 10 5
解：（1）由抛物线的表达式得：
x2 6 8 .1 - x 10 10 5
即 x2-6x+5=0 解得 x1=1 x2=5
当铅球离地面高度为2.1m时，它离初始位置的水 平距离是1m或5m
（2）由抛物线的表达式得：
x2 6 8 2.5 - x 10 10 5 即 x2-6x+9=0
解得 x1=x2=3 当铅球离地面高度为2.5m时，它离初始位置的水平 距离是3m
（3）由抛物线的表达式得： x2 6 8 3- x 10 10 5 即 x2-6x+14=0 因为△=（-6）2+4x1x14<0所以方程无实数根 所以铅球离地面高度不能达到3m。 从例2可以看出，已知二次函数 y=ax2+bx+c （a 0）某一个函数值y=M求对应的自变量的值时， 需要解一元二次方程ax2+bx+c=M，这样二次函数与 一元二次方程就紧密地联系起来了。