高考数学一轮复习 第五章 平面向量5.3平面向量的数量积及其应用教学案 理 新人教A版

5.3 平面向量的数量积及其应用
考纲要求
1．理解平面向量数量积的含义及其物理意义． 2．了解平面向量的数量积与向量投影的关系．
3．掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算．
4．能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系． 5．会用向量方法解决某些简单的平面几何问题．
6．会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题．
1．两个向量的夹角 (1)定义
已知两个__________向量a 和b ，作OA →＝a ，OB →
＝b ，则__________称作向量a 与向量b 的夹角，记作〈a ，b 〉．
(2)范围
向量夹角〈a ，b 〉的范围是__________，且__________＝〈b ，a 〉． (3)向量垂直
如果〈a ，b 〉＝__________，则a 与b 垂直，记作__________． 2．平面向量的数量积
(1)平面向量的数量积的定义
__________叫做向量a 和b 的数量积(或内积)，记作a ·b ＝__________.可见，a ·b 是实数，可以等于正数、负数、零．其中|a |cos θ(|b |cos θ)叫做向量a 在b 方向上(b 在a 方向上)的投影．
(2)向量数量积的运算律
①a ·b ＝__________(交换律)
②(a ＋b )·c ＝__________(分配律)
③(λa )·b ＝__________＝a ·(λb )(数乘结合律)．
|AB →|＝
x 2－x 1
2
＋y 2－y 1
2
系
1．已知下列各式：
①|a |2＝a 2
； ②a ·b |a |2＝b a
；
③(a ·b )2＝a 2b 2
；
④(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2
，其中正确的有( )．
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
2．设向量a ＝(1,0)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，则下列结论中正确的是( )． A ．|a |＝|b |
B ．a ·b ＝
22
C ．a ∥b
D ．a －b 与b 垂直
3．已知a ＝(1，－3)，b ＝(4,6)，c ＝(2,3)，则(b ·c )a 等于( )． A ．(26，－78) B ．(－28，－42) C ．－52 D ．－78
4．若向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2且a 与b 的夹角为π
3
，则|a ＋b |＝__________.
5．已知|a |＝2，|b |＝4且a ⊥(a －b )，则a 与b 的夹角是__________．
一、平面向量数量积的运算
【例1】 (1)在等边△ABC 中，D 为AB 的中点，AB ＝5，求AB →·BC →，|CD →
|； (2)若a ＝(3，－4)，b ＝(2,1)，求(a －2b )·(2a ＋3b )和|a ＋2b |. 方法提炼
平面向量的考查经常有两种：一是考查加减法，平行四边形法则和三角形法则，平面向量共线定理；二是考查数量积，此时注意应用平面向量基本定理，选择恰当的基底，以简化运算过程．坐标形式时，运算要准确．
提醒：向量数量积与实数相关概念的区别： 1．表示方法的区别
数量积的记号是a ·b ，不能写成a ×b ，也不能写成ab . 2．相关概念及运算的区别
(1)若a ，b 为实数，且ab ＝0，则有a ＝0或b ＝0，但a ·b ＝0却不能得出a ＝0或b ＝0.
(2)若a ，b ，c ∈R ，且a ≠0，则由ab ＝ac 可得b ＝c, 但由a ·b ＝a ·c 及a ≠0却不能推出b ＝c .
(3)若a ，b ，c ∈R ，则a (bc )＝(ab )c (结合律)成立，但对于向量a ，b ，c ，而(a ·b )c 与a (b ·c )一般是不相等的，向量的数量积是不满足结合律的．
(4)若a ，b ∈R ，则|a ·b |＝|a |·|b |，但对于向量a ，b ，却有|a ·b |≤|a ||b |，等号当且仅当a ∥b 时成立．
请做演练巩固提升2
二、两平面向量的夹角与垂直
【例2】已知|a |＝4，|b |＝3，(2a －3b )·(2a ＋b )＝61. (1)求a 与b 的夹角θ；
(2)若AB →＝a ，BC →
＝b ，求△ABC 的面积． 方法提炼
1．求两非零向量的夹角时要注意： (1)向量的数量积不满足结合律；
(2)数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明两向量的夹角为直角，数量积小于0且两向量不共线时两向量的夹角就是钝角．
2．当a ，b 是非坐标形式时，求a 与b 的夹角，需求得a ·b 及|a |，|b |或得出它们的关系．
请做演练巩固提升1 三、求平面向量的模
【例3－1】 (2012江西高考)设单位向量m ＝(x ，y )，b ＝(2，－1)．若m ⊥b ，则|x ＋2y |＝__________.
【例3－2】 已知向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 3x 2，sin 3x 2，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x 2，－sin x 2，且x ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－π3，π4.
(1)求a ·b 及|a ＋b |；
(2)若f (x )＝a ·b －|a ＋b |，求f (x )的最大值和最小值． 方法提炼
利用数量积求长度问题是数量积的重要应用，要掌握此类问题的处理方法：
(1)|a |2＝a 2
＝a ·a ；
(2)|a ±b |2＝(a ±b )2＝a 2±2a ·b ＋b 2
；
(3)若a ＝(x ，y )，则|a |＝x 2＋y 2
. 请做演练巩固提升4 四、平面向量的应用
【例4－1】 已知点O ，N ，P 在△ABC 所在平面内，且|OA →|＝|OB →|＝|OC →|，NA →＋NB →＋NC →
＝0，PA →·PB →＝PB →·PC →＝PC →·PA →
，则点O ，N ，P 依次是△ABC 的( )．
A ．重心、外心、垂心
B ．重心、外心、内心
C ．外心、重心、垂心
D ．外心、重心、内心
【例4－2】 已知向量OA →＝a ＝(cos α，sin α)，OB →＝b ＝(2cos β，2sin β)，OC →
＝
c ＝(0，
d )(d ＞0)，其中O 为坐标原点，且0＜α＜π
2
＜β＜π.
(1)若a ⊥(b －a )，求β－α的值；
(2)若OB →·OC →|OC →|＝1，OA →·OC →|OC →|＝32，求△OAB 的面积S .
方法提炼
向量与其他知识结合，题目新颖而精巧，既符合考查知识的“交汇处”的命题要求，又加强了对双基覆盖面的考查，特别是通过向量坐标表示的运算，利用解决平行、垂直、成角和距离等问题的同时，把问题转化为新的函数、三角或几何问题．
请做演练巩固提升3
忽视对直角位置的讨论致误
【典例】 已知平面上三点A ，B ，C ，向量BC →＝(2－k,3)，AC →
＝(2,4)． (1)若三点A ，B ，C 不能构成三角形，求实数k 应满足的条件； (2)若△ABC 为直角三角形，求k 的值．
错解：(1)由三点A ，B ，C 不能构成三角形，
得A ，B ，C 在同一条直线上，即向量BC →与AC →
平行． ∵BC →∥AC →，
∴4(2－k )－2×3＝0.
∴k ＝12.
(2)∵BC →
＝(2－k,3)， ∴CB →
＝(k －2，－3)． ∴AB →＝AC →＋CB →
＝(k,1)． ∵△ABC 为直角三角形， ∴AB →⊥AC →，AB →·AC →
＝0. ∴2k ＋4＝0，解得k ＝－2.
错因：因BC →和AC →已知，则可得AB →
(含k 的式子)，若三点不能构成三角形，则有三点共线；若△ABC 为直角三角形，则有一个角为直角，即某两边构成的角成直角，转化为某两个向量垂直，此时应根据直角顶点不同而进行分类讨论，求得符合条件的k 的值．
正解：(1)由三点A ，B ，C 不能构成三角形，得A ，B ，C 在同一条直线上，即向量BC →与AC →
平行，
∵BC →∥AC →，
∴4(2－k )－2×3＝0，解得k ＝1
2
.
(2)∵BC →＝(2－k,3)，∴CB →
＝(k －2，－3)， ∴AB →＝AC →＋CB →
＝(k,1)． ∵△ABC 为直角三角形， 则当∠BAC 是直角时， AB →⊥AC →，即AB →·AC →
＝0， ∴2k ＋4＝0，解得k ＝－2； 当∠ABC 是直角时， AB →⊥B C →，即AB →·BC →
＝0， ∴k 2
－2k －3＝0，解得k ＝3或k ＝－1； 当∠ACB 是直角时， AC →⊥BC →，即AC →·BC →
＝0， ∴16－2k ＝0，解得k ＝8.
综上得k 的取值为－2，－1,3,8. 答题指导：
1．用向量研究平面几何问题，是向量的一个重要应用，也是高考的热点．本题难度不大，属中档题．
2．本题的错误非常典型．造成错误的主要原因就是思维定势所致．第(1)问，三点不能构成三角形，从构成三角形的条件直接否定，转化成求解不等式，从而使问题变得复杂，无法进行下去．第(2)问，由于思维定势，误认为∠A 一定为直角，从而使解答不完整．
3．考生书写格式不规范，不完整，也是失分的一个重要因素．
1．(2012福建高考)已知向量a ＝(x －1,2)，b ＝(2,1)，则a ⊥b 的充要条件是( )．
A ．x ＝－1
2
B ．x ＝－1
C ．x ＝5
D ．x ＝0
2．(2012天津高考)在△ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝1，AC ＝2.设点P ，Q 满足AP →＝λAB →
，AQ →＝(1－λ)AC →，λ∈R .若BQ →·CP →
＝－2，则λ＝( )．
A.13
B.23
C.4
3
D ．2 3．在长江南岸渡口处，江水以12.5 km/h 的速度向东流，渡船的速度为25 km/h.渡船要垂直地渡过长江，则航向为__________．
4．给出以下四个命题：
①对任意两个向量a ，b 都有|a ·b |＝|a ||b |；
②若a ，b 是两个不共线的向量，且AB →＝λ1a ＋b ，AC →
＝a ＋λ2b (λ1，λ2∈R )，则A ，B ，C 共线 λ1λ2＝－1；
③若向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，则a ＋b 与a －b 的夹角为90°；
④若向量a，b满足|a|＝3，|b|＝4，|a＋b|＝13，则a，b的夹角为60°.以上命题中，错误命题的序号是__________．
5．已知a，b，c是同一平面内的三个向量，其中a＝(1,2)．
(1)若|c|＝25，且c∥a，求c的坐标；
(2)若|b|＝
5
2
，且a＋2b与2a－b垂直，求a与b的夹角θ.
参考答案
基础梳理自测
知识梳理
1．(1)非零 ∠AOB (2)[0，π] 〈a ，b 〉 (3)π
2
a ⊥b
2．(1)|a ||b |cos 〈a ，b 〉 |a ||b |cos 〈a ，b 〉 (2)①b ·a ②a ·c ＋b ·c ③λ(a ·b ) 基础自测
1．B 解析：②错，向量不能约分；
③中(a ·b )2＝|a |2·|b |2·cos 2θ不一定与a 2·b 2
相等，∴③错． 2．D
3．A 解析：a (b ·c )＝(1，－3)×(4×2＋6×3)＝(26，－78)．
4．7 解析：|a ＋b |2＝(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2
＝12＋2×1×2×cos π3＋22
＝7.
∴|a ＋b |＝(a ＋b )2
＝7. 5．π
3
解析：∵a ⊥(a －b )，
∴a ·(a －b )＝0，
即a 2
－a ·b ＝0，∴a ·b ＝4，
∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝42×4＝1
2(θ是a 与b 的夹角)，
∴θ＝π3
.
考点探究突破
【例1】 解：(1)如图，向量AB uu u r ，BC uu u r
的夹角为120°，
∴AB uu u r ·BC uu u r ＝|AB uu u r |·|BC uu u r
|·cos 120°
＝5×5×⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12＝－252. ∵CD uu u r ＝12(CA uu r ＋CB uu r
)，
∴|CD uu u r |2＝14
(CA uu r ＋CB uu r )2
＝14
(|CA uu r |2
＋2CA uu r ·CB uu r ＋|CB uu r |2
)
＝14×(25＋2×5×5×cos 60°＋25)＝754，∴|CD uu u r |＝53
2. (2)a －2b ＝(3，－4)－2(2,1)＝(－1，－6)， 2a ＋3b ＝2(3，－4)＋3(2,1)＝(12，－5)，
∴(a －2b )·(2a ＋3b )＝(－1)×12＋(－6)×(－5)＝－12＋30＝18. ∵a ＋2b ＝(3，－4)＋2(2,1)＝(7，－2)，
∴|a ＋2b |＝72＋(－2)2
＝53.
【例2】 解：(1)∵(2a －3b )·(2a ＋b )＝61，
∴4|a |2－4a ·b －3|b |2
＝61.
又|a |＝4，|b |＝3， ∴64－4a ·b －27＝61， ∴a ·b ＝－6.
∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝－64×3＝－1
2
.
又0≤θ≤π，∴θ＝2π
3
.
(2)∵AB uu u r 与BC uu u r 的夹角θ＝2π3
，
∴∠ABC ＝π－2π3＝π
3
.
又|AB uu u r |＝|a |＝4，|BC uu u r
|＝|b |＝3，
∴S △ABC ＝12
|AB uu
u r ||BC uu u r |sin∠ABC
＝12×4×3×3
2
＝3 3. 【例3－1】 5 解析：因为m ⊥b ， 所以m ·b ＝2x －y ＝0.① 又因为m 为单位向量，
所以x 2＋y 2
＝1.② 由①②解得⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝5
5
，y ＝255，或⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝－55，y ＝－255
，
所以|x ＋2y |＝ 5.
【例3－2】 解：(1)a ·b ＝cos 3x 2cos x 2－sin 3x 2sin x
2＝cos 2x .
|a ＋b |＝
⎝
⎛⎭⎪⎫cos 3x 2＋cos x 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3x 2－sin x 22
＝2＋2cos 2x ＝2|cos x |，
∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4，∴cos x ＞0， ∴|a ＋b |＝2cos x .
(2)f (x )＝cos 2x －2cos x
＝2cos 2
x －2cos x －1
＝2⎝
⎛⎭⎪⎫cos x －122－32， ∵x ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－π3，π4，∴12≤cos x ≤1. ∴当cos x ＝12时，f (x )取得最小值－3
2
，
当cos x ＝1时，f (x )取得最大值－1.
【例4－1】 C 解析：如图，∵NA uur ＋NB uu u r ＋NC uuu r
＝0，
∴NB uu u r ＋NC uuu r
＝NA -uur .
依向量加法的平行四边形法则，知|NA uur |＝2|NE uu u r
|，故N 为重心． ∵PA uu r ·PB uur ＝PB uur ·PC uu u r ，
∴(PA uu r －PC uu u r
)·PB uur ＝CA uu r ·PB uur ＝0.
同理AB uu u r ·PC uu u r ＝0，BC uu u r ·PA uu r
＝0，
∴点P 为△ABC 的垂心．
由|OA uu r |＝|OB uu u r |＝|OC uuu r
|，知O 为△ABC 的外心．
【例4－2】 解：(1)由a ⊥(b －a )⇒a ·(b －a )＝0⇒a ·b －a 2
＝0，
又|a |＝1，|b |＝2，〈a ，b 〉＝|α－β|，
∴2cos|α－β|＝1⇒cos|α－β|＝1
2
.
由0＜α＜π2＜β＜π，得β－α＝π
3
.
(2)∵|OA uu r |＝1，|OB uu u r
|＝2，
记〈OB uu u r ，OC uuu r 〉＝θ1，〈OA uu r ，OC uuu r
〉＝θ2， ∵OC uuu r
＝(0，d )，d ＞0，
∴θ1＝β－π2，θ2＝π2－α，且θ1，θ2∈⎝
⎛⎭⎪⎫0，π2.
由||
OB OC OC ⋅uu u r uuu r
uuu
r ＝|OB uu u r |·cos θ1＝1⇒cos θ1＝12得β－π2＝π
3. 由||
OA OC OC ⋅uur uuu r
uuu
r ＝|OA uu r |·cos θ2＝32⇒cos θ2＝32得π2－α＝π
6， ∴∠AOB ＝β－α＝π
2
，
∴S ＝1
2
×2×1＝1.
演练巩固提升
1．D 解析：∵a ＝(x －1,2)，b ＝(2,1)，a ⊥b ，∴a ·b ＝(x －1,2)·(2,1)＝2(x －1)＋2×1＝2x ＝0，即x ＝0.
2．B 解析：设AB uu u r ＝a ，AC uuu r
＝b ，
∴|a |＝1，|b |＝2，且a ·b ＝0.
BQ uu u r ·CP uu r ＝(AQ uuu r －AB uu u
r )·(AP uu u r －AC uuu r )
＝[(1－λ)b －a ]·(λa －b )
＝－λa 2－(1－λ)b 2
＝－λ－4(1－λ)＝3λ－4＝－2，
∴λ＝23
.
3．北偏西30° 解析：如图，渡船速度为OB uu u r
，水流速度为OA uu r ，船实际垂直过江的
速度为OD uuu r ，依题意知，|OA uu r |＝12.5，|OB uu u r
|＝25，由于四边形OADB 为平行四边形，
则|BD uu u r
|＝|OA uu r |，又OD ⊥BD ，
∴在Rt△OBD 中，∠BOD ＝30°，∴航向为北偏西30°.
4．①②④ 解析：①错，
|a ·b |＝|a ||b |·|cos θ|≤|a ||b |.
②错．∵A ，B ，C 共线，∴AB uu u r ＝k AC uuu r .
∴⎩
⎪⎨
⎪⎧
λ1＝k ，λ2k ＝1.∴λ1λ2＝1.
④错，∵|a ＋b |2
＝13，
∴|a |2＋|b |2
＋2a ·b ＝13，
即a ·b ＝|a ||b |·cos θ＝－6，
∴cos θ＝－1
2
.∴θ＝120°.
5．解：(1)设c ＝(x ，y )，由c ∥a 和|c |＝25可得 ⎩
⎪⎨⎪⎧
1·y －2·x ＝0，x 2＋y 2
＝20， ∴⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝2，y ＝4
或⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝－2，y ＝－4.
∴c ＝(2,4)或c ＝(－2，－4)． (2)∵(a ＋2b )⊥(2a －b )， ∴(a ＋2b )·(2a －b )＝0，
即2a 2＋3a ·b －2b 2
＝0.
∴2|a |2＋3a ·b －2|b |2
＝0，
∴2×5＋3a ·b －2×5
4
＝0.
∴a ·b ＝－5
2
，
∴cos θ＝a ·b
|a ||b |＝－525·
5
2
＝－1，
∵θ∈[0，π]，∴θ＝π.。