湖南省高考理科数学答案解析

2010年高考湖南卷理科数学全解全析
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的]
1．已知集合{}1,2,3M =，{}2,3,4N =，则 A ．M N ⊆ B ．N M ⊆ C ．{}2,3M N = D ．{}1,4M N =
【答案】C 【解析】{}{}{}1,2,32,3,42,3M
N ==故选C.
【命题意图】本题考查集合的交集与子集的运算,属容易题. 2．下列命题中的假命题．．．是 A ．R x ∀∈，1
2
0x -＞ B ．N x *∀∈，()10x -2
＞[
C ．R x ∃∈，lg x ＜1
D ．R x ∃∈，tan 2x = 【答案】B
【解析】对于B 选项x ＝1时，()10x -2
=，故选B.
【命题意图】本题考查余弦定理，特殊角的三角函数值，不等式的性质，比较法,属中档题。

7.在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列（数字也许重复）表示一个信息，不同排列表示不同信息，若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为
A ．10 B.11 C.12 D.15 【答案】B
【解析】与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息包括三类：
第一类：与信息0110有两个对应位置上的数字相同有2
4C 6＝（个）
【命题意图】本题通过新定义考察学生的创新能力，考察函数的图象，考察考生数形结合的能力，属中档题。

二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分．把答案填在答题卡
．．．对应题号后的横线上。

9.已知一种材料的最佳加入量在110g到210 g之间，若用0.618法安排试验，则第一次试点的加入量可以是_____________g.
【答案】171.8或148.2
【解析】根据0.618法，第一次试点加入量为
110＋（210－110）⨯0.618＝171.8 或210－（210－110）⨯0.618＝148.2 P
T
O
A B
图1
【命题意图】本题考察优选法的0.618法，属容易题。

10.如图1所示，过O 外一点P 作一条直线与O 交于A ，B 两点，已知PA ＝2，点P 到O
的切线长PT ＝4，则弦AB 的长为________. 【答案】6
【解析】根据切线长定理
22
16
,82
PT PT PA PB PB PA ====
所以826AB PB PA =-=-=
【命题意图】本题考察平面几何的切线长定理，属容易题。

11.在区间[1,2]-上随机取一个数x ，则||x ≤1的概率为________. 【答案】
2
3
【解析】P （||x ≤1）＝
1(1)2
2(1)3
--=--
【命题意图】本题考察几何概率，属容易题。

【解析】抛物线的焦点坐标为F （0，
2
p
），则过焦点斜率为1的直线方程为2p y x =+，
设A 1122(,),(,)x y B x y （21x x >），由题意可知120,0y y >>
由222p y x x py
⎧
=+⎪⎨⎪=⎩，消去y 得22220x px p --=，
由韦达定理得，2
12122,x x p x x p +==-
所以梯形ABCD 的面积为：
1221122122212122
11
()()()()
2211
3()434422 32S y y x x x x p x x P x x x x P p p =+-=++-=+-=+=
所以2
322,0,2p p =>=又所以
【命题意图】本题考查抛物线的焦点坐标，直线的方程，直线与抛物线的位置关系，考察考生的运算能力,属中档题
15．若数列{}n a 满足：对任意的n N *
∈，只有有限个正整数m 使得m a n ＜成立，记这样的
m 的个数为()n a *，则得到一个新数列{}
()n a *．例如，若数列{}n a 是1,2,3,n …，…，则
数列{}
()n a *是0,1,2,1,n -…，…．已知对任意的N n *
∈，2n a n =，则5()a *=
，
(())n a **= ．
【答案】2，2
n
【解析】因为5m a <，而2
n a n =，所以m=1,2,所以5()a *=2.
12345678910111213141516 ()0,
()1,()1,()1,
()2,()2,()2,()2,()2,
()3,()3,()3,()3,()3,()3,()3,
a a a a a a a a a a a a a a a a *********
*******================因为
所以1(())a **＝1, 2(())a **＝4，3(())a **＝9，4(())a **
＝16， 猜想2
(())n a n **=
【命题意图】本题以数列为背景，通过新定义考察学生的自学能力、创新能力、探究能力，属难题。

三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
031
233(0)0.90,729,(1)0.10.90,243P X C P X C ==⨯===⨯⨯= 223333(2)0.10.90,027,(3)0.10,001P X C P X C ==⨯⨯===⨯=
故随机变量X 的分布列为
X 0 1 2 3 P
0.729
0.243
0.027
0.001
X 的数学期望为EX ＝3＝0.3
【命题意图】本题考查频率分布直方图、二项分布、离散型随机变量的分布列与数学期望。

属中档题 18．（本小题满分12分）
如图5所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是棱DD 1的中点。

（Ⅰ）求直线BE 与平面ABB 1A 1所成的角的正弦值；
(Ⅱ)在棱C 1D 1上是否存在一点F ，使B 1F//平面A 1BE ？证明你的结论。

【解析】
A D
B C
A 1 D 1
B 1
C 1
E
图5
所以1
,2
x z y z ==
，取2,z =得n (2,1,2)=. 设F 是棱C 1D 1上的点，则F （t,1,1）(0≤t ≤1)，又B 1（1，0，1），所以
111(1,1,0),A BE B F t B F =-⊄而平面，于是
111B F//A BE B F ⇔平面n 0=(1,1,0)(2,1,2)02(1)10t t ⇔-=⇔-+=
111
C D 2
t F ⇔=
⇔为的中点。

这说明在在棱C 1D 1上是否存在一点F （11C D 的中点），使B 1F//平面A 1BE
解法2 如图（a ）所示，取AA 1的中点M ，连结EM ，BM ，因为E 是DD 1的中点，四边形ADD 1A 1为正方形，所以EM//AD 。

又在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中。

AD ⊥平面ABB 1A 1，所以EM ⊥ABB 1A 1，从而BM 为直线BE 在平面ABB 1A 1上的射影，∠EBM 直线BE 与平面ABB 1A 1所成的角. 设正方体的棱长为2，则EM ＝AD ＝2，BE 2122213＋＋＝，于是 在RT △BEM 中，2
sin 3
EM EBM BE ∠=
=
19．（本小题满分13分）
为了考察冰川的融化状况，一支科考队在某冰川上相距8km 的A ，B 两点各建一个考察基地．视冰川面为平面形，以过A ，B 两点的直线为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系（图6）．在直线2x =的右侧，考察范围为到点B 的距离不超过
65
5
km 的区域；在直线2x =的左侧，考察范围为到A ，B 两点的距离之和不超过45的区域． （Ⅰ）求考察区域边界曲线的方程；
（Ⅱ）如图6所示，设线段12P P ，23P P 是冰川的部分边界线（不考虑其他边界），当冰川融化时，边界线沿与其垂直的方向朝考察区域平行移动，第一年移动0.2km ，以后每年移动的距离为前一年的2倍，求冰川边界线移动到考察区域所需的最短时间．
冰
O 化 区 域
融
已
川
B(4,0)
P 3(8,6)
283
(,6)3
P -
图6
1(53,1)
P -- A(-4,0) x
y
x =2
【解析】（Ⅰ）设边界曲线上点P 的坐标为(,)x y .当x ≥2时，由题意知22
36
(4)5
x y -+=
当2PA
PB 5P A,B 45x <时，由||+||=4知，点在以焦点，长轴长为2a ＝ 2
2
(25)42b =-=的椭圆上。

此时短半轴长，因而其方程为22
1204
x y +
= 故考察区域边界曲线（如图）的方程为
2222123636
:(4)(2):(4)(2)55
C x y x x y x -+=
≥-+=<和C
（Ⅱ）设过点P 1，P 2的直线为l 1，点P 2，P 3的直线为l 2，则直线l 1，l 2的方程分别为
314,6y x y =+=
【命题意图】本题以应用题为背景，考查考察考生数学建模能力，考查圆的方程、椭圆的定义与方程、直线与圆锥曲线的位置关系、等比数列求和。

本题属难题。

20．（本小题满分13分）
已知函数2
()(,),,()()f x x bx c b c R x R f x f x '=++∈∈≤对任意的恒有
（Ⅰ）证明：当20()();x f x x c ≥≤+时，
（Ⅱ）若对满足题设条件的任意b,c ，不等式22()()()f c f b M c b -≤-恒成立，求M 的最小值。

（Ⅱ）是否存在,n a a 使数列｛｝是等比数列？若存在，求a 的取值范围；若不存在， 请说明理由。

【解析】易知'2222()(3)3(3)()n n n n f x x a n x n a x a x n =-++=--
令'2()0, 3)n n f x x a x n =得＝，＝
(1)23,n a n <若
'3()0()n n n x a f x f x <>当时，，单调递增； 2'3,()0()n n n a x n f x f x <<<当时，单调递减； 2',()0()n n x n f x f x <>当时，单调递增； 故()n f x 在2
,x n ＝时取得极小值。

（2）23,1()3n n n a n f x x a >=若仿（）可得，在取得极小值。

（3）2'3,()0()n n n a n f x f x ≥若＝，无极值。