(名师整理)最新数学中考复习《概率》考点精讲课件
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5
2.下列说法中，正确的是( A ) A．不可能事件发生的概率为 0 B．随机事件发生的概率为21 C．概率很小的事件不可能发生 D．投掷一枚质地均匀的硬币 100 次，正面朝上的次数一定为 50 次
6
3．列举法求概率：试验中，可能出现的结果只有有限个，且 各种结果出现的可能性大小相等．
常见的形式有：直接列举法、列表法和画树状图法． (1)直接列举法：适用于单一因素进行的试验．特点：简单、 直接．
13
例题精讲
知识点 1 随机事件
(改编)小伟掷质地均匀的骰子，骰子六个面分别刻有 1 到 6 的点数．则
以下说法正确的是( C )
①出现的点数大于 0，这是必然事件；
②会出现 7 点，这是必然事件；
③出现的点数是 4，这是随机事件；
④投掷 6 次，必有一次的点数是 6.
A．①②③
B．②③④
C．①③
28
中考集训
1．一个不透明的袋中，装有 2 个黄球、3 个红球和 5 个白球，它
们除颜色外都相同．从袋中任意摸出一个球，是白球的概率是( A )
A．12
B．13
C．130
D．15
29
2．某个密码锁的密码由三个数字组成，每个数字都是 0～9 这
十个数字中的一个，只有当三个数字与所设定的密码及顺序完全
35
(1)请用列表或画树状图的方法表示出上述游戏中两数之和的
所有可能的结果； 解：根据题意，列表如下．
和乙 678 9
甲 3 9 10 11 12 4 10 11 12 13 5 11 12 13 14
由表格可知两数之和共有 12 种等可能的情况．
36
(2)分别求出李燕和刘凯获胜的概率． 解：由(1)可知，两数之和共有 12 种等可能的情况，其中和小 于 12 的情况有 6 种，和大于 12 的情况有 3 种， ∴李燕获胜的概率为162＝12， 刘凯获胜的概率为132＝14.
相同，才能将锁打开．如果仅忘记了所设密码的最后那个数字，
那么一次就能打开该密码锁的概率是( A )
A．110
B．91
C．31
D．12
30
3．(2017·广东)在一个不透明的盒子中，有五个完全相同的 小球，把它们分别标号为 1，2，3，4，5.随机摸出一个小球，摸
2 出的小球标号为偶数的概率是 5 .
A．94
B．31
C．92
D．19
11
4．用频率估计概率：当试验的所有结果不是有限个或各种可 能结果发生的可能性不相等时，通过大量的重复试验，用一个随 机事件发生的频率去估计它的概率．
12
6．袋子中有 10 个除颜色外完全相同的小球．在看不到球的 条件下，随机地从袋中摸出一个球，记录颜色后放回，将球摇匀 重复上述过程 1 500 次后，共摸到红球 300 次，由此可以估计袋 子中的红球个数是 2 ．
31
பைடு நூலகம்
4．如图，在 4×4 的正方形网格中，阴影部分的图形构成一
个轴对称图形．现在任意选取一个白色的小正方形并涂上阴影，
使阴影部分的图形仍然构成一个轴对称图形的概率是( B )
A．163
B．153
C．143
D．133
32
5．某居委会组织两个检查组，分别对“垃圾分类”和“违规
停车”的情况进行抽查．各组随机抽取辖区内某三个小区中的一
7
(2)列表法：适用于两个因素(或一个因素操作两次)进行，且结 果稍微多一些的试验．特点：不重不漏，呈现所有可能的结果．
(3)画树状图法：适用于两个或两个以上因素(或一个因素操作 两次或两次以上)进行的试验．特点：层次感强，按试验发生的次 序呈现所有可能的结果．
8
3．不透明袋子中装有 6 个球，其中有 5 个红球、1 个绿球， 这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出 1 个球，则它是
38
(1)补全小明同学所画的树状图； 解：补全树状图如下．
39
(2)求小明同学两次抽到的卡片上的数字之积是奇数的概率． 解：从树状图可知，共有 9 种等可能的结果，其中两次抽到 的卡片上的数字之积为奇数的结果有 4 种， ∴P(积为奇数)＝49.
40
学习了本课后，你有哪些收获和感想？ 告诉大家好吗？
数学中考考点精讲
第八章 统计与概率
第31讲 概率
基础过关
1．事件分类： (1)必然事件：在一定条件下，必然会发生的事件． (2)不可能事件：在一定条件下，必然不会发生的事件． (3)确定事件：必然事件和不可能事件统称为确定事件． (4)随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
3
1．“射击运动员射击一次，命中靶心”这个事件是( D )
D．②④
14
(改编)下列事件中， ②③⑤⑥ 是随机事件．(填序号) ①通常加热到 100 ℃时，水沸腾； ②篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中； ③掷一次骰子，向上一面的点数是 6； ④任意画一个三角形，其内角和是 360°； ⑤经过有交通信号灯的路口，遇到红灯； ⑥射击运动员射击一次，命中靶心．
22
有四张正面分别标有数字 1，2，3，4 的不透明卡片，它 们除数字外其余全部相同，现将它们背面朝上洗均匀．
(1)随机抽取一张卡片，求抽到数字“2”的概率； 解：∵随机抽取一张卡片，一共有 1，2，3，4 共 4 种等可能 的结果，其中，抽到数字“2”的结果有 1 种， ∴随机抽取一张卡片，抽到数字“2”的概率是14.
曾经以为是艰难困苦的关头，却 成了中国人干得最欢、最带劲、最舒 坦的黄金时代。
——钱三强
所以 P(A)＝43.
20
知识点 3 列举法求概率(不放回) (改编)不透明袋子中有四个完全相同的小球，把它们分别
标号为 1，2，3，4.一次摸出两个小球． (1)请你用画树状图法或列表法，列出所有可能的结果． 解：画树状图，得
21
(2)求两次摸出的小球标号之和等于 4 的概率． 解：∵一共有 12 种等可能的情况，其中两次摸出的小球标号 之和等于 4 的有 2 种， ∴两次摸出的小球标号之和等于 4 的概率为122＝16.
18
全面“两孩”政策实施后，甲、乙两个家庭有了各自的 规划．已知生男生女的概率相同．回答下列问题：
(1)甲家庭已有一个男孩，准备再生一个孩子，则第二个孩子 1
是女孩的概率是 2 ；
19
(2)乙家庭没有孩子，准备生两个孩子，求至少有一个孩子是 女孩的概率．
解：乙家庭没有孩子，准备生两个孩子，所有可能出现的结 果有(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)共 4 种，它们出现的 可能性相同．所有的结果中，满足“至少有一个是女孩”(记为事 件 A)的结果有 3 种．
25
知识点 4 用频率估计概率 (改编)某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下： 射击次数 20 40 100 200 400 1 000
射中 9 环以上次数 15 33 78 158 321 801 射中 9 环以上频率 0.75 0.83 0.78 0.79 0.80 0.80 (1)补充表中相应的“射中 9 环以上频率”(结果精确到 0.01)；
5 红球的概率是 6 ．
9
4．如图，在 3×3 的网格中，有 3 个涂成阴影的小方格．小 1
明向网格中抛掷一枚硬币，则硬币落在阴影方格的概率是 3 .
10
5．在一个不透明的袋子里装有两个黄球和一个白球，它们除
颜色外都相同，随机从中摸出一个球，记下颜色后放回袋子中，
充分摇匀后，再随机摸出一个球．两次都摸到黄球的概率是( A )
个进行检查，则两个组恰好抽到同一个小区的概率是( C )
A．91
B．61
C．31
D．23
33
6．一个学习兴趣小组有 4 名女生、6 名男生，现要从这 10 名 2
学生中选出一人担任组长，则女生当选组长的概率是 5 ．
34
7．在一次数学兴趣小组活动中，李燕和刘凯两位同学设计了如图所 示的两个转盘做游戏(每个转盘被分成面积相等的几个扇形，并在每个扇 形区域内标上数字)．游戏规则如下：两人分别同时转动甲、乙转盘，转 盘停止后，若指针所指区域内两数之和小于 12，则李燕获胜；若指针所 指区域内两数之和等于 12，则为平局；若指针所指区域内两数之和大于 12，则刘凯获胜(若指针停在等分线上，重 转一次，直到指针指向某一区域内为止)．
15
知识点 2 列举法求概率(放回) (改编)不透明袋子中有四个完全相同的小球，把它们分别
标号为 1，2，3，4.第一次随机摸出一个小球然后放回，第二次再 随机摸出一个小球．
16
(1)请你用画树状图法或列表法，列出所有可能的结果． 解：画树状图，得
17
(2)求两次摸出的小球标号之和等于 4 的概率． 解：∵一共有 16 种等可能的结果，其中两次摸出的小球标号 之和等于 4 的有 3 种， ∴两次摸出的小球标号之和等于 4 的概率为136 .
37
8.(2015·广东)老师和小明同学玩数学游戏，老师取出一个不透明 的口袋，口袋中装有三张分别标有数字 1，2，3 的卡片，卡片除数字 外其余都相同．老师要求小明同学随机抽取一张卡片，抽取后放回， 然后再抽取一张卡片，并计算两次抽到的卡片上的数字之积是奇数的 概率．于是小明同学用画树状图的方法寻 求他两次抽取卡片的所有可能结果．下图 是小明同学所画的正确树状图的一部分．
26
(2)根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中 9 环以上”的概率是 0.8 (结果精确到 0.1)．
27
一个不透明的袋中装有除颜色外均相同的 8 个黑球、4 个白球和若干个红球．每次摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后 再放回袋中．通过大量重复摸球试验后，发现摸到红球的频率稳 定于 0.4，由此可估计袋中约有红球 8 个．
A．确定事件
B．必然事件
C．不可能事件
D．不确定事件
4
2．概率：刻画一个事件发生的可能性大小的数值． (1)必然事件发生的概率为 1. (2)不可能事件发生的概率为 0. (3)随机事件发生的概率用 P(A)表示，P(A)＝mn(其中 n 表示总 事件数，m 表示符合条件的 A 事件数)，因而随机事件的概率取值 范围是：0＜P(A)＜1.
23
(2)随机抽取一张卡片，然后不放回，再随机抽取一张卡片， 请用列表或画树状图的方法求出第一次抽到数字“1”且第二次抽 到数字“2”的概率．
24
解：画树状图，得
由树状图可知，一共有 12 种等可能的结果，其中，第一次抽 到数字“1”且第二次抽到数字“2”的结果有 1 种，
∴第一次抽到数字“1”且第二次抽到数字“2”的概率为112.
2.下列说法中，正确的是( A ) A．不可能事件发生的概率为 0 B．随机事件发生的概率为21 C．概率很小的事件不可能发生 D．投掷一枚质地均匀的硬币 100 次，正面朝上的次数一定为 50 次
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3．列举法求概率：试验中，可能出现的结果只有有限个，且 各种结果出现的可能性大小相等．
常见的形式有：直接列举法、列表法和画树状图法． (1)直接列举法：适用于单一因素进行的试验．特点：简单、 直接．
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例题精讲
知识点 1 随机事件
(改编)小伟掷质地均匀的骰子，骰子六个面分别刻有 1 到 6 的点数．则
以下说法正确的是( C )
①出现的点数大于 0，这是必然事件；
②会出现 7 点，这是必然事件；
③出现的点数是 4，这是随机事件；
④投掷 6 次，必有一次的点数是 6.
A．①②③
B．②③④
C．①③
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中考集训
1．一个不透明的袋中，装有 2 个黄球、3 个红球和 5 个白球，它
们除颜色外都相同．从袋中任意摸出一个球，是白球的概率是( A )
A．12
B．13
C．130
D．15
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2．某个密码锁的密码由三个数字组成，每个数字都是 0～9 这
十个数字中的一个，只有当三个数字与所设定的密码及顺序完全
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(1)请用列表或画树状图的方法表示出上述游戏中两数之和的
所有可能的结果； 解：根据题意，列表如下．
和乙 678 9
甲 3 9 10 11 12 4 10 11 12 13 5 11 12 13 14
由表格可知两数之和共有 12 种等可能的情况．
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(2)分别求出李燕和刘凯获胜的概率． 解：由(1)可知，两数之和共有 12 种等可能的情况，其中和小 于 12 的情况有 6 种，和大于 12 的情况有 3 种， ∴李燕获胜的概率为162＝12， 刘凯获胜的概率为132＝14.
相同，才能将锁打开．如果仅忘记了所设密码的最后那个数字，
那么一次就能打开该密码锁的概率是( A )
A．110
B．91
C．31
D．12
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3．(2017·广东)在一个不透明的盒子中，有五个完全相同的 小球，把它们分别标号为 1，2，3，4，5.随机摸出一个小球，摸
2 出的小球标号为偶数的概率是 5 .
A．94
B．31
C．92
D．19
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4．用频率估计概率：当试验的所有结果不是有限个或各种可 能结果发生的可能性不相等时，通过大量的重复试验，用一个随 机事件发生的频率去估计它的概率．
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6．袋子中有 10 个除颜色外完全相同的小球．在看不到球的 条件下，随机地从袋中摸出一个球，记录颜色后放回，将球摇匀 重复上述过程 1 500 次后，共摸到红球 300 次，由此可以估计袋 子中的红球个数是 2 ．
31
பைடு நூலகம்
4．如图，在 4×4 的正方形网格中，阴影部分的图形构成一
个轴对称图形．现在任意选取一个白色的小正方形并涂上阴影，
使阴影部分的图形仍然构成一个轴对称图形的概率是( B )
A．163
B．153
C．143
D．133
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5．某居委会组织两个检查组，分别对“垃圾分类”和“违规
停车”的情况进行抽查．各组随机抽取辖区内某三个小区中的一
7
(2)列表法：适用于两个因素(或一个因素操作两次)进行，且结 果稍微多一些的试验．特点：不重不漏，呈现所有可能的结果．
(3)画树状图法：适用于两个或两个以上因素(或一个因素操作 两次或两次以上)进行的试验．特点：层次感强，按试验发生的次 序呈现所有可能的结果．
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3．不透明袋子中装有 6 个球，其中有 5 个红球、1 个绿球， 这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出 1 个球，则它是
38
(1)补全小明同学所画的树状图； 解：补全树状图如下．
39
(2)求小明同学两次抽到的卡片上的数字之积是奇数的概率． 解：从树状图可知，共有 9 种等可能的结果，其中两次抽到 的卡片上的数字之积为奇数的结果有 4 种， ∴P(积为奇数)＝49.
40
学习了本课后，你有哪些收获和感想？ 告诉大家好吗？
数学中考考点精讲
第八章 统计与概率
第31讲 概率
基础过关
1．事件分类： (1)必然事件：在一定条件下，必然会发生的事件． (2)不可能事件：在一定条件下，必然不会发生的事件． (3)确定事件：必然事件和不可能事件统称为确定事件． (4)随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
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1．“射击运动员射击一次，命中靶心”这个事件是( D )
D．②④
14
(改编)下列事件中， ②③⑤⑥ 是随机事件．(填序号) ①通常加热到 100 ℃时，水沸腾； ②篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中； ③掷一次骰子，向上一面的点数是 6； ④任意画一个三角形，其内角和是 360°； ⑤经过有交通信号灯的路口，遇到红灯； ⑥射击运动员射击一次，命中靶心．
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有四张正面分别标有数字 1，2，3，4 的不透明卡片，它 们除数字外其余全部相同，现将它们背面朝上洗均匀．
(1)随机抽取一张卡片，求抽到数字“2”的概率； 解：∵随机抽取一张卡片，一共有 1，2，3，4 共 4 种等可能 的结果，其中，抽到数字“2”的结果有 1 种， ∴随机抽取一张卡片，抽到数字“2”的概率是14.
曾经以为是艰难困苦的关头，却 成了中国人干得最欢、最带劲、最舒 坦的黄金时代。
——钱三强
所以 P(A)＝43.
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知识点 3 列举法求概率(不放回) (改编)不透明袋子中有四个完全相同的小球，把它们分别
标号为 1，2，3，4.一次摸出两个小球． (1)请你用画树状图法或列表法，列出所有可能的结果． 解：画树状图，得
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(2)求两次摸出的小球标号之和等于 4 的概率． 解：∵一共有 12 种等可能的情况，其中两次摸出的小球标号 之和等于 4 的有 2 种， ∴两次摸出的小球标号之和等于 4 的概率为122＝16.
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全面“两孩”政策实施后，甲、乙两个家庭有了各自的 规划．已知生男生女的概率相同．回答下列问题：
(1)甲家庭已有一个男孩，准备再生一个孩子，则第二个孩子 1
是女孩的概率是 2 ；
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(2)乙家庭没有孩子，准备生两个孩子，求至少有一个孩子是 女孩的概率．
解：乙家庭没有孩子，准备生两个孩子，所有可能出现的结 果有(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)共 4 种，它们出现的 可能性相同．所有的结果中，满足“至少有一个是女孩”(记为事 件 A)的结果有 3 种．
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知识点 4 用频率估计概率 (改编)某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下： 射击次数 20 40 100 200 400 1 000
射中 9 环以上次数 15 33 78 158 321 801 射中 9 环以上频率 0.75 0.83 0.78 0.79 0.80 0.80 (1)补充表中相应的“射中 9 环以上频率”(结果精确到 0.01)；
5 红球的概率是 6 ．
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4．如图，在 3×3 的网格中，有 3 个涂成阴影的小方格．小 1
明向网格中抛掷一枚硬币，则硬币落在阴影方格的概率是 3 .
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5．在一个不透明的袋子里装有两个黄球和一个白球，它们除
颜色外都相同，随机从中摸出一个球，记下颜色后放回袋子中，
充分摇匀后，再随机摸出一个球．两次都摸到黄球的概率是( A )
个进行检查，则两个组恰好抽到同一个小区的概率是( C )
A．91
B．61
C．31
D．23
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6．一个学习兴趣小组有 4 名女生、6 名男生，现要从这 10 名 2
学生中选出一人担任组长，则女生当选组长的概率是 5 ．
34
7．在一次数学兴趣小组活动中，李燕和刘凯两位同学设计了如图所 示的两个转盘做游戏(每个转盘被分成面积相等的几个扇形，并在每个扇 形区域内标上数字)．游戏规则如下：两人分别同时转动甲、乙转盘，转 盘停止后，若指针所指区域内两数之和小于 12，则李燕获胜；若指针所 指区域内两数之和等于 12，则为平局；若指针所指区域内两数之和大于 12，则刘凯获胜(若指针停在等分线上，重 转一次，直到指针指向某一区域内为止)．
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知识点 2 列举法求概率(放回) (改编)不透明袋子中有四个完全相同的小球，把它们分别
标号为 1，2，3，4.第一次随机摸出一个小球然后放回，第二次再 随机摸出一个小球．
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(1)请你用画树状图法或列表法，列出所有可能的结果． 解：画树状图，得
17
(2)求两次摸出的小球标号之和等于 4 的概率． 解：∵一共有 16 种等可能的结果，其中两次摸出的小球标号 之和等于 4 的有 3 种， ∴两次摸出的小球标号之和等于 4 的概率为136 .
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8.(2015·广东)老师和小明同学玩数学游戏，老师取出一个不透明 的口袋，口袋中装有三张分别标有数字 1，2，3 的卡片，卡片除数字 外其余都相同．老师要求小明同学随机抽取一张卡片，抽取后放回， 然后再抽取一张卡片，并计算两次抽到的卡片上的数字之积是奇数的 概率．于是小明同学用画树状图的方法寻 求他两次抽取卡片的所有可能结果．下图 是小明同学所画的正确树状图的一部分．
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(2)根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中 9 环以上”的概率是 0.8 (结果精确到 0.1)．
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一个不透明的袋中装有除颜色外均相同的 8 个黑球、4 个白球和若干个红球．每次摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后 再放回袋中．通过大量重复摸球试验后，发现摸到红球的频率稳 定于 0.4，由此可估计袋中约有红球 8 个．
A．确定事件
B．必然事件
C．不可能事件
D．不确定事件
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2．概率：刻画一个事件发生的可能性大小的数值． (1)必然事件发生的概率为 1. (2)不可能事件发生的概率为 0. (3)随机事件发生的概率用 P(A)表示，P(A)＝mn(其中 n 表示总 事件数，m 表示符合条件的 A 事件数)，因而随机事件的概率取值 范围是：0＜P(A)＜1.
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(2)随机抽取一张卡片，然后不放回，再随机抽取一张卡片， 请用列表或画树状图的方法求出第一次抽到数字“1”且第二次抽 到数字“2”的概率．
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解：画树状图，得
由树状图可知，一共有 12 种等可能的结果，其中，第一次抽 到数字“1”且第二次抽到数字“2”的结果有 1 种，
∴第一次抽到数字“1”且第二次抽到数字“2”的概率为112.