江西临川2015届高三上学期第二次模拟考试--数学(理)

江西临川2015届高三上学期第二次模拟考试
理科数学试卷
3. 函数px x x y +=||，R x ∈（ ）
A ．是偶函数
B ．是奇函数
C ．不具有奇偶性
D ．奇偶性与p 有关
4．1
21(3sin )x x dx --⎰等于（ ）
A ．0
B ．2sin1
C ．2cos1
D ．2
5．若函数x e x f x
cos )(2=，则此函数图像在点(1，f (1))处的切线的倾斜角为( )
A .直角
B ．0
C ．锐角
D ．钝角
6．下列命题正确的个数有( )
（1）命题“p q ∧为真”是命题“p q ∨为真”的必要不充分条件
（2）命题“R x ∈∃,使得210x x ++<”的否定是:“对x R ∀∈, 均有210x x ++>”
（3）经过两个不同的点111(,)P x y 、222(,)P x y 的直线都可以用方程121()()y y x x --=
12()(x x y -1)y -来表示
（4）在数列{}n a 中, 11=a ,n S 是其前n 项和,且满足22
1
1+=
+n n S S ,则{}n a 是等比数列 （5）若函数223-)(a bx ax x x f ++=在1=x 处有极值10，则114==b a ， A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
7．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（ ） A ．
169π B ．163
π
C ．
49π D ．43
π
8. 直角三角形的斜边长为2,则其内切圆半径的最大值为( ) A .2 B .12- C .22
D .222-
9. 在平面直角坐标系xOy 中，设点P 为圆C ：2
2
(2)5x y -+=上的任意一点，点Q (2,2)a a +，其中a ∈R ，则线段PQ 长度的最小值为（ ）
A ．
55 B ．5 C ．355 D ．65
5
10. A B C D 、、、是同一球面上的四个点,其中ABC ∆是正三角形, AD ⊥平面ABC ，
AD=4,AB=23,则该球的表面积为( )
A .8π
B .16π
C .32π
D .64π
11. 已知定义在R 上的函数()f x 满足①()(2)0f x f x +-=，②(2)()f x f x -=-，
③在[1,1]-上表达式为21[1,0]
()cos()(0,1]2
x x f x x x π
⎧- ∈-⎪
=⎨ ∈⎪⎩，则函数()f x 与函数20
()10
x x g x x x ≤⎧ =⎨- >⎩的图像在区间[3,3]-上的交点个数为（ ）
A .5
B .6
C .7
D .8
12．设等差数列{}n a 满足：()
1sin sin sin cos cos cos sin 546
23262323232=+-+-a a a a a a a a ，
公差()01，
-∈d ．若当且仅当9=n 时，数列{}n a 的前n 项和n S 取得最大值，则首项1a 的取值范围是（ ）
A ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡3467ππ，
B ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡2334ππ，
C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛3467ππ，
D ．⎪⎭
⎫
⎝⎛2
334π
π，
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．已知2,=a e 为单位向量，当向量,a e 的夹角为3
2π
时，+a e 在a 上的投影为 .
14．已知点),(y x 满足不等式组14x y a x y ≥⎧⎪
≥⎨⎪+≤⎩
，其中30<<a ，则2z x y =--的最小值
为 __________．
15. 已知+∈N ω,函数)4sin()(π
ω+
=x x f 在)3
,6(π
π上单调递减，则=ω________． 16. 定义函数I x x f y ∈=),(，若存在常数M ，对于任意I x ∈1，存在唯一的
I x ∈2，使得
M x f x f =+2
)
()(21，则称函数)(x f 在I 上的“均值”为M ，已知
]2,1[,log )(20142∈=x x x f ，则函数x x f 2log )(=在]2,1[2014上的“均值”为
________．
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演
算步骤．
17.（本小题满分12分）已知c b a ,,分别是ABC ∆的三个内角C B A ,,的对边，
A
C
a c
b cos cos 2=--. (1)求角A 的大小； (2)若ABC ∆的面积3=
S ，求ABC ∆周长的最小值.
18．（本小题满分12分）设公差不为0的等差数列{}n a 的首项为1，且1452,,a a a 构成
等比数列．
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）设⎪⎩⎪
⎨⎧
⨯++=-为偶数，
为奇数，n 215n )5( )1(1632n n n n a a b ,求数列{}n b 的前n 2项和2n T .
19.（本小题满分12分）如图，四棱锥S ABCD -中， AB ∥CD ,BC CD ⊥，侧面
SAB 为等边三角形
（1）证明：CD SD ⊥； （2）求二面角B SC D --的余弦值.
20．（本小题满分12分）已知椭圆C :)0(122
22>>=+b a b
y a x 短轴的两个顶点与右焦点的连
线构成等边三角形，直线0643=++y x 与以椭圆C 的上顶点为圆心，以椭圆C 的长
半轴长为半径的圆相切. （1）求椭圆C 的方程;
（2）椭圆C 与x 轴负半轴交于点A ，过点A 的直线AM ，AN 分别与椭圆C 交于M ，
N 两点, AM AN k k 、分别为直线AM 、AN 的斜率， 3
4
AM AN k k ⋅=-，求证：直
线MN 过定点,并求出该定点坐标;
（3）在（2）的条件下，求AMN ∆面积的最大值.
21. （本小题满分12分）设函数2()ln f x x a x x =--,
()22x g x x ke =-+,
（ 2.71828e =⋅⋅⋅是自然对数的底数）. （1）讨论
()f x 在其定义域上的单调性；
（2）若2a =，且不等式)()(x g x xf ≥对于),0(+∞∈∀x 恒成立，求k 的取值范围.
S
A
B
D C
22．（本小题满分10分）设函数)1( 1
4
)(>-+=x x x x f . （1）求函数)(x f 的最小值；
（2）若),1(+∞∈∃x ,使得不等式)(112x f a a ≥++-成立，求实数a 的取值范围.
五校（江西师大附中、临川一中、鹰潭一中、宜春中学、新余四中）第二次联考
高三理科数学试卷答案
一、选择题 (本大题共12小题，每小题5分，共60分)．
二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分） 13. 3
2
14．-7 15．2或3 16．1007
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
17解：（1）ABC ∆中，∵A
C
a c
b cos cos 2=--，由正弦定理，得：A
C
A C
B cos cos sin sin sin 2=--，…………………………………………………….2分
即C A A C A B cos sin cos sin cos sin 2=--，故
B C A A B sin )sin(cos sin 2=+=-……………………………………………………4分
3
2,21cos π
=-=∴A A …………………………………………………….6分
（2）32π
=A ，且3sin 21==A bc S ，4=∴bc …………………………………………8分
由余弦定理，得1232cos 22
2222==+≥++=-+=bc bc bc bc c b A bc c b a
32≥∴a ，又42=≥+bc c b ，………………………………………………10分 当且仅当2==c b 时，a 的最小值为32，c b +的最小值为4，
所以周长c b a ++的最小值为324+.…………………………………………………….12分 18.解：（1）设等差数列{a n }的公差为d （d ≠0），
∵a 2，a 5，a 14构成等比数列，
∴a 25＝a 2a 14，即(1＋4d )2＝(1＋d )(1＋13d )，……………………………………………………1分
解得d ＝0（舍去），或d ＝2．…………………………………………………………………..……..3分 ∴a n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1．………………………………………………………………………….5分
(2)由(Ⅰ)得⎪⎩⎪
⎨⎧
⨯+=-为偶数，
为奇数，n 215n )2( 432n n n n b
当n 为奇数时，)21
1(2)2( 4+-=+=
n n n n b n ……………………………………………………….……6分
所以)222(15)121
1215131311(234512-+++++--+
+-+-=n n n n T ……………10分 1
22
2161)161(215122214+-
=--⨯++-=+n n n n ………………………………………………….…12分
19.解：(1)如图取AB 中点O ，连结DO ，则四边形BCDO 为矩形，
CD OD ∴⊥，………………………………….…………2分
连结SO ，则SO AB
⊥，……………………………3分 AB ∥CD ，SO CD ∴⊥……………………… 4分 CD ∴⊥平面SOD ，CD SD ∴⊥………………6分
(2)，2DO CB ==，故222SD SO OD =+,
SO OD ∴⊥，
又SO AB ⊥，且OD AB ⊥，所以可建立如图空间直角坐标系O xyz -.……………7分
(1,0,0),(1,2,0)C ，(0,2,0)D (0,0,3)S
所以(1,0,0),(1,2,DC SC ==-，(0,2,0)BC =设平面SDC 的法向量111(,,)m x y z =,平面SBC 的法向量222(,,)n x y z =,
m DC m SC ⎧⋅=⎪∴⎨
⋅=⎪⎩，即 ，则12z =，于是(0,3,m =
又0
n BC n SC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即
3=，则21z =，于是(3,0,1)n =.…10分
7
,7
||||
m n m
n m n ⋅>=
=
⋅..…………………….11分 A
故二面角B SC D --的余弦值为
…………………………………………..…12分
20.解（1）由椭圆C b a 2=，……1分 又因为以椭圆C 的上顶点为圆心，以椭圆C 的长半轴长为半径的圆的方程为
222)(a b y x =-+，
所以圆心),0(b 到直线0643=++y x 的距离b a b d 25
64==+=
，………………………3分
解得1,2==b a ∴椭圆C 的方程为14
22
=+y x .…………………………………………………4分
(2) 由题意可知直线MN 斜率不为0，设直线MN 的方程为n my x +=，
1122(,),(,)M x y N x y ,联立⎪⎩⎪
⎨⎧=++=14
2
2y x n my x 消去x 得 042)4(222=-+++n mny y m ，
12224mn y y m -∴+=+，21224
4
n y y m -=+，…………………………………………………………………………….5分
121228()24n x x m y y n m +=++=+，2222
1212122
44()4n m x x m y y mn y y n m -=+++=+ 121233,4224AM AN y y k k x x ⋅=-∴⋅=-++，即1212123
2()44
y y x x x x =-+++，
∴222222222
24434441644164164
444
n n m n m n n m n m m m --+==-
--+++++++，…………………………6分 解得1-=n 或2-=n （舍去）, ……………………………………………………………………………………7分 ∴直线MN 的方程为1-=my x ,∴直线MN 过定点(-1,0) …………………………………………8分 (3) 记直线MN 与x 轴交点为D ，则D 坐标为(-1,0)
联立⎪⎩⎪⎨⎧=+-=14
12
2y x my x 消去x 得 032)4(22=--+my y m ，
12224m y y m ∴+=+，1223
4y y m -=+，
21221214)(2
1
21y y y y y y AD S AMN -+=-=∆……………………………………………………..9分
412)4(4212222+++=m m m 2
22)
4(3
2++=m m , 令32+=m t ，3≥t ……………………………………………………………10分
23
23
13122112)
1(2
2
=
++≤++=+=∴∆t t t t
S AMN ，当且仅当332=+=m t
即0=m 时，AMN ∆面积的最大值为
2
3
.……………………………………………………………….12分 21.解：（1）2'
2()21a x x a f x x x x
--=--=, 令'2
()0,2=0f x x x a =--即，18a
∆=+，
①当1
8
a ≤-时，
∆≤，则
'()0
f x ≥，此时
()f x 在(0,)+∞上单调递增；………………2分
②当1
8
a >-时，0∆>，方程22=0x x a --两根为12
x x ==（ⅰ）当1
08a -<<时，120,0x x >>，则当2
(0,)x x ∈时，'()0f x >，当
21(,)x x x ∈时，
'()0
f x <，当
1(,)x x ∈+∞时，'()0f x >，所以()f x 在2(0,)x 上递增，在21(,)
x x 上递减；在
1(,)x +∞上递增；…………………………………………………………………………………………….4分
（ⅱ）当0a ≥时，
120,0x x >≤，则当1
(0,)x x ∈时，'()0f x <，当1(,)x x ∈+∞时，
'()0
f x >，所以()f x 在
1
(0,)x 上递减，在1
(,)x +∞上递增；
综上：当18
a ≤-时，
()f x 在(0,)+∞上单调递增；
当1
08a -<<时，()f x 在2(0,)x 上递增，在21(,)x x 上递减；在1
(,)x +∞上递
增；
当
a ≥时，
()f x 在1
(0,)x 上递减，在1
(,)x +∞上递增. …………………………………………6分
(2)依题意，
2(2ln )x x x x --22x
x ke ≥-+对于),0(+∞∈∀x 恒成立，等价
于
2[(2ln )22x k e x x x x x -≤---+对于),0(+∞∈∀x 恒成立，
即
2(2ln 2x k e x x x x -≤⋅---+令
()x h x e x
-=，
2()2ln F x x x =--显然()0
h x >，…………………………………………………………………………………………………………………..7分
对于
2()2ln 2F x x x x =---+,)
222)(1(1122)('x x x x x x x
x x x F +++-=+--
=则 令0)('>x F ,并由,0>x 得,0)222)(1(>++
+-x x x x x 解得,1>x
令0)('<x F ，由.10,0<<>x x 解得 ……………………………………………………………………………9分
列表分析：
∴函数F ，又()0h x >.11分 因此，k 的取值范围是(,0]-∞.………………………………………………………………………….………………12分 22.解：（1）1>x ， 511
4)1(21141 14)(=+-⋅-≥+-+-=-+
=∴x x x x x x x f ， 当且仅当1
4
1-=
-x x ，即3=x 时，)(x f 的最小值为5. ………………………………………….…5分 (2)依题意，min )(112x f a a ≥++-，即5112≥++-a a ，于是………………………….6分
⎩⎨⎧≥+----≤5)1()12(1a a a 或⎪⎩⎪⎨⎧≥++--≤<-5)1()12(211a a a 或⎪⎩⎪⎨⎧≥++->
5
)1(122
1a a a 解得35-
≤a 或3
5
≥a .………………………………………………………………………………………………………..10分
五校（江西师大附中、临川一中、鹰潭一中、宜春中学、新余四中）第二次联考
高三理科数学试卷答案
一、选择题 (本大题共12小题，每小题5分，共60分)．
二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分） 13. 32
14．-7 15．2或3 16．1007
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
17解：（1）ABC ∆中，∵
A
C
a c
b cos cos 2=--，由正弦定理，得：A
C
A C
B cos cos sin sin sin 2=--，…………………………………………………….2分
即C A A C A B cos sin cos sin cos sin 2=--，故
B C A A B sin )sin(cos sin 2=+=-……………………………………………………4分
3
2,21cos π=-=∴A A …………………………………………………….6分
（2）32π
=A ，且3sin 21==A bc S ，4=∴bc …………………………………………8分
由余弦定理，得1232cos 22
2222==+≥++=-+=bc bc bc bc c b A bc c b a
32≥∴a ，又42=≥+bc c b ，………………………………………………10分 当且仅当2==c b 时，a 的最小值为32，c b +的最小值为4，
所以周长c b a ++的最小值为324+.…………………………………………………….12分 18.解：（1）设等差数列{a n }的公差为d （d ≠0），
∵a 2，a 5，a 14构成等比数列，
∴a 25＝a 2a 14，即(1＋4d )2
＝(1＋d )(1＋13d )，……………………………………………………1分 解得d ＝0（舍去），或d ＝2．…………………………………………………………………..……..3分 ∴a n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1．………………………………………………………………………….5分
(2)由(Ⅰ)得⎪⎩⎪
⎨⎧
⨯+=-为偶数，
为奇数，n 215n )2( 432n n n n b
当n 为奇数时，)21
1(2)2( 4+-=+=
n n n n b n ……………………………………………………….……6分
所以)222(15)121
1215131311(234512-+++++--+
+-+-=n n n n T ……………10分 1
22
2161)161(215122214+-
=--⨯++-=+n n n n ………………………………………………….…12分
19.解：(1)如图取AB 中点O ，连结DO ，则四边形BCDO 为矩形，
CD OD ∴⊥，………………………………….…………2分
连结SO ，则SO AB ⊥，……………………………3分 AB ∥CD ，SO CD ∴⊥……………………… 4分 CD ∴⊥
平面SOD ，CD SD ∴⊥………………6分
(2)
，2DO CB ==，故222SD SO OD =+,
SO OD ∴⊥，
又SO AB ⊥，且OD AB ⊥，所以可建立如图空间直角坐标系O xyz -.……………7分
则(1,0,0)B ,(1,2,0)C ，(0,2,0)D ，(0,0,3)S
所以(1,0,0),(1,2,DC SC ==-，(0,2,0)BC =
设平面SDC 的法向量111(,,)m x y z =,平面SBC 的法向量222(,,)n x y z =,
m DC m SC ⎧⋅=⎪∴⎨
⋅=⎪⎩，即 ，则12z =，于是(0,3,m =
又0
n BC n SC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即
3=，则21z =，于是(3,0,1)n =.…10分
7
,7
||||
m n m n m n ⋅>=
=
⋅..…………………….11分 ..…12分
b a 2=，……1分 又因为以椭圆C 的上顶点为圆心，以椭圆C 的长半轴长为半径的圆的方程为
222)(a b y x =-+，
所以圆心),0(b 到直线0643=++y x 的距离b a b d 25
64==+=
，………………………3分
解得1,2==b a ∴椭圆C 的方程为14
22
=+y x .…………………………………………………4分
(2) 由题意可知直线MN 斜率不为0，设直线MN 的方程为n my x +=，
1122(,),(,)M x y N x y ,联立⎪⎩⎪
⎨⎧=++=14
2
2y x n my x 消去x 得 042)4(222=-+++n mny y m ，
12224mn y y m -∴+=+，21224
4
n y y m -=+，…………………………………………………………………………….5分
121228()24n x x m y y n m +=++=+，2222
1212122
44()4n m x x m y y mn y y n m -=+++=+ 121233,4224AM AN y y k k x x ⋅=-∴⋅=-++，即1212123
2()44
y y x x x x =-+++，
∴22222222
224434441644164164
4
44
n n m n m n n m n m m m --+==---+++++++，…………………………6分 解得1-=n 或2-=n （舍去）, ……………………………………………………………………………………7分 ∴直线MN 的方程为1-=my x ,∴直线MN 过定点(-1,0) …………………………………………8分 (3) 记直线MN 与x 轴交点为D ，则D 坐标为(-1,0)
联立⎪⎩⎪⎨⎧=+-=14
12
2y x my x 消去x 得 032)4(22=--+my y m ，
12224m y y m ∴+=+，1223
4y y m -=+，
21221214)(2
1
21y y y y y y AD S AMN -+=-=∆……………………………………………………..9分
412)4(4212222+++=m m m 2
22)
4(3
2++=m m , 令32+=m t ，3≥t ……………………………………………………………10分
23
23
13122112
)1(2
2
=
++≤++=+=∴∆t t t t
S AMN ，当且仅当332=+=m t 即0=m 时，AMN ∆面积的最大值为
2
3
.……………………………………………………………….12分 21.解：（1）2'
2()21a x x a f x x x x
--=--=, 令'2()0,2=0f x x x a =--即，
18a
∆=+，
①当1
8
a ≤-时，
∆≤，则
'()0
f x ≥，此时
()f x 在(0,)+∞上单调递增；………………
2分
②当1
8
a >-时，
∆>，方程
22=0
x x a --两根为12x x =
=（ⅰ）当1
08
a -<<时，
120,0x x >>，则当2(0,)x x ∈时，'()0f x >，当21(,)x x x ∈时，
'()0
f x <，当
1(,)x x ∈+∞时，'()0f x >，所以()f x 在2(0,)x 上递增，在21(,)
x x 上递减；在
1(,)x +∞上递增；…………………………………………………………………………………………….4分
（ⅱ）当0
a ≥时，
120,0x x >≤，则当1(0,)x x ∈时，'()0f x <，当1(,)x x ∈+∞时，
'()0
f x >，所以()f x 在
1
(0,)x 上递减，在1
(,)x +∞上递增；
综上：当18
a ≤-时，
()f x 在(0,)+∞上单调递增；
当1
08
a -<<时，()f x 在
2(0,)x 上递增，在21(,)x x 上递减；在1(,)x +∞上递增；
当
a ≥时，
()f x 在1
(0,)x 上递减，在1
(,)x +∞上递增. …………………………………………6分
(2)依题意，2
(2ln )x x x x --22x
x ke ≥-+对于),0(+∞∈∀x 恒成立，等价
于
2[(2ln )22x k e x x x x x -≤---+对于),0(+∞∈∀x 恒成立，
即
2(2ln 2x k e x x x x -≤⋅---+令
()x h x e x
-=，
2()2ln F x x x =--显然()0
h x >，…………………………………………………………………………………………………………………..7分
对于
2()2ln 2F x x x x =---+,)
222)(1(1122)('x x x x x x x
x x x F +++-=+--
=则 令0)('>x F ,并由,0>x 得,0)222)(1(>++
+-x x x x x 解得,1>x
令0)('
<x F ，由.10,0<<>x x 解得 ……………………………………………………………………………9分
列表分析：
∴函数F ，又()0h x >.11分 因此，k 的取值范围是(,0]-∞.………………………………………………………………………….………………12分 22.解：（1）1>x ， 511
4)1(21141 14)(=+-⋅-≥+-+-=-+
=∴x x x x x x x f ，
当且仅当1
4
1-=
-x x ，即3=x 时，)(x f 的最小值为5. ………………………………………….…5分 (2)依题意，min )(112x f a a ≥++-，即5112≥++-a a ，于是………………………….6分
⎩⎨⎧≥+----≤5)1()12(1a a a 或⎪⎩⎪⎨⎧≥++--≤<-5)1()12(211a a a 或⎪⎩⎪⎨⎧≥++->
5
)1(122
1a a a 解得35-
≤a 或3
5
≥a .………………………………………………………………………………………………………..10分。