二、反函数的求导法则

dy dy dy ′(u)⋅ g′(x) 或 = ⋅ du . =f dx dx du dx 简要证明 假定u=ϕ(x)在x的某邻域内不等于常数, 则∆u≠0, 此时有
dy ∆y ∆y ∆u = lim = lim ⋅ dx ∆x→0 ∆x ∆x→0 ∆u ∆x ∆y ∆u = f ′(u)g′(x) = lim ⋅ lim . ∆u→0 ∆u ∆x→0 ∆x
(1) (C)′=0, (2) (xµ)′=µ xµ−1, (3) (sin x)′=cos x, (4) (cos x)′=−sin x, (5) (tan x)′=sec2x, (6) (cot x)′=−csc2x, (7) (sec x)′=sec x⋅tan x, (8) (csc x)′=−csc x⋅cot x, (9) (a x)′=a x ln a, (10) (e x)′=ex,
1 = 1 = 1 = 12. (tan y)′ sec2 y 1+ tan2 y 1+ x (arccot x)′=− 1 2 . 类似地有: 1+ x (arctanx)′ =
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三、复合函数的求导法则
定理3 如果u=g(x)在点x可导, 函数y=f(u)在点u=g(x)可导, 则复合 函数y=f[g(x)]在点x可导, 且其导数为
dy dy du = ⋅ 或 y′(x)=f ′(u)⋅g′(x), 其中 y=f(u), u=g(x). dx du dx
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例12 求双曲正弦sh x与双曲余弦ch x的导数. 解 因为sh x = 1 (ex −e−x) , 所以 2 (sh x)′ = 1 (ex −e−x)′ = 1 (ex +e−x) ch x , )= 2 2 即 (sh x)′=ch x. 类似地, 有 (ch x)′=sh x. 例13 求双曲正切th x的导数. 解 因为th x = sh x , 所以 ch x ch2x−sh2x = 1 (th x)′ = . 2x 2x ch ch
−1(x)]′ =
[f
−1(x)]′ =
∆y lim = lim 1 = 1 . ∆x→0 ∆x ∆y→0 ∆x f ′(y) ∆y
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详细证明
反函数的求导法则: [ f −1(x)]′= 1 . f ′(y) 例5 求(arcsin x)′及(arccos x)′. 解 因为y=arcsin x是x=sin y的反函数, 所以 1 (arcsinx)′= 1 = 1 = = 1 . (sin y)′ cos y 1−sin2 y 1− x2 类似地有: (arccosx)′ =− 1 . (arccosx 1− x2 例6 求(arctan x)′及(arccot x)′. 解 因为y=arctan x是x=tan y的反函数, 所以
dy dy du dy du dv = ⋅ = ⋅ ⋅ . dx du dx du dv dx
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复合函数的求导法则: dy = f ′(u)⋅ g′(x) 或 dy = dy ⋅ du . dx dx du dx 例10 y=lncos(e x), 求 dy . ． dx 解 dy =[ln cos(ex)]′= 1 ⋅[cos( x)]′ e x) dx cos(e = 1 x ⋅[−sin(ex)]⋅(ex)′=−ex tan(ex) . tan(e cos(e )
二、反函数的求导法则
定理2 如果函数x=f(y)在某区间Iy内单调、可导且f ′(y)≠0, 那么 它的反函数y=f −1(x)在对应区间Ix=f(Iy)内也可导, 并且
1 或 dy = 1 . [f dx dx f ′(y) dy 简要证明 由于x=f(y)可导(从而连续), 所以x=f(y)的反函数 y=f −1(x)连续. 当∆x→0时, ∆y→0, 所以
详细证明 下页
复合函数的求导法则: dy = f ′(u)⋅ g′(x) 或 dy = dy ⋅ du . dx dx du dx
dy 例7 y =sin 2x2 , 求 . 1x 2x 是由 y=sin u , u = 复合而成的, 2 2 1+ x 1+ x
因此
dy dy du 2(1+ x2)−(2x)2 2(1− x2) 2x . = ⋅ =cosu⋅ = ⋅cos 2)2 2)2 dx du dx (1+ x (1+ x 1+ x2
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复合函数的求导法则: dy = f ′(u)⋅ g′(x) 或 dy = dy ⋅ du . dx dx du dx 例8 ．lnsin x, 求 dy . dx 解 dy =(ln sin x)′= 1 ⋅(sin x)′ = 1 ⋅cosx=cot x . dx sin x sin x dy 3 2 , 求 例9． y = 1−2x . dx 1 dy −4x 1 (1−2x2)− 2 ⋅(1−2x2)′ = 2)3 ]′ = 解 3 =[( −2x 1 . 3 ( −2x2)2 dx 3 3 1 复合函数的求导法则可以推广到多个中间变量的情形. 例如, 设y=f(u), u=ϕ(v), v=ψ(x), 则
sin1 例11 y =e x ．
dy , 求 . dx
1 dy sin1 sin 1)′=esin1 ⋅cos 1 ⋅(1)′ x 解 =(e x )′ =e x ⋅(sin x x dx x 1 ⋅esin1 ⋅cos 1 x =− 2 . x x
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四、基本求导法则与导数公式 •基本初等函数的导数公式
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例14 求反双曲正弦arsh x的导数. 解 因为arsh x =ln(x+ 1+ x2 ) , 所以 1 ⋅(1+ x 2 ) = 1 2 . (arsh x)′ = x+ 1+ x2 1+ x 1+ x 类似地可得(arch x)′ = 1 , (arth x)′ = 1 2 . 1− x x2 −1 例15 y=sin nx⋅sinn x (n为常数), 求y′. 解 y′=(sin nx)′sinn x +sin nx⋅(sinn x)′ =ncos nx ⋅sinn x +sin nx ⋅n⋅sinn−1x ⋅(sin x)′ =ncos nx⋅sinn x+n sinn−1x⋅cos x =n sinn−1x⋅sin(n+1)x.
(11) (loga x)′= 1 , xln a (12) (ln x)′= 1 , x (13) (arcsinx)′= 1 , (arcsinx 1−x2 (14) (arccosx)′=− 1 , 1−x2 (15) (arctanx)′= 1 2 , 1+x (16) (arccotx)′=− 1 2 . 1+x
结束
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四、基本求导法则与导数公式
•函数的和、差、积、商的求导法则 (1) (u ± v)′=u′ ± v′, (2) (Cu)′=Cu′ (C是常数) , (3) (uv)′=u′v+u v′,
u)′= u′v−uv′ (v 0) (4) ( ≠ . 2 v v •反函数求导法 [ f −1(x)]′= 1 ( f ′(y) ≠0) . f ′(y) •复合函数的求导法则