河北献县宏志中学2022高三理科仿真重点卷--数学13

河北献县宏志中学2022高三理科仿真重点卷--数学
13
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的） 1．已知集合{}{}
N M x x g y x N x y y M x 则,)2(1,0,22-==>==为
A ．（1，2）
B ．),1(+∞
C ．),2[+∞
D ．),1[+∞ 2．已知复数满足=+=-+⋅z i i i
z
i z 则是虚数单位),(431
A ．i +3
B ．i 34-
C ．i 32-
D ．i -3
3．已知
1
)(,0
,20,ln )(>⎩⎨⎧<+>=x f x x x x x f 则 的解集为
A ．),00,1e （）（－⋃
B ．),()1,(+∞⋃--∞e
C ．),0,1+∞⋃e （）（－
D ．),01,e （）（－⋃∞ 4．化简︒
-︒20sin 2
135sin 2=
A ．2
1 B ． - 2
1 C ． -1 D ． 1
5．一个算法的程序框图如图所示，若该程序输出的结果为2010
2009， 则判定框内应填入的条件是 A ．?2008=i B ．?2009>i
C ．?2010>i
D ．?2012=i 6．一个几何体的三视图如图所示，那么此几何体的 侧面积（单位：cm 2）为
A ．48
B ．64
C ．80
D ．120
7. △ABC 的外接圆的圆心为O ，半径为1，20OA AB AC ++=且OA AB =，则向量CA
在CB 方向上的投影为 A.
32- B.32 C.32 D.32
- 8. 设2
1,F F 是双曲线)0,0(122
22
>>=-b a b
y a x 的左,右两个焦点，若双曲线右支上存在一点P ，使
)(22=•+P F OF OP （O 为坐标原点），且
12
3PF PF =，则双曲线的离心
率是
A
B
2
D
1+
9.给出命题：
（1）在空间里，垂直于同一平面的两个平面平行；
（2）设m l ,是不同的直线，α是一个平面，若α⊥l ，∥m ，则α⊥m ；
（3）已知βα,表示两个不同平面，m 为平面α内的一条直线，则“βα⊥”是“β⊥m ”的充要条件；
（4）b a ,是两条异面直线，P 为空间一点, 过P 总能够作一个平面与b a ,之一垂直，与另一个平行。

其中正确命题个数是
A.0
B.1
C.2
D.3 10．定义在R 上的函数)(x f 满足1)4(=f ，)('x f 为)(x f
的
导函数，已知)('x f y =的图像如图所示，若两个正数a 、b 满足
1)2(<+b a f ，则1
1++a b 的取值范畴是
A ．)3
1,51(
B ．
),5()3
1
,(+∞⋃-∞
C ．)3,(-∞
D ． )
5,3
1( 11．给出下列命题： ①函数tan (,0)()y x k k π=∈Z 的图象关于点对称； ②若向量a 、b 、c 满足a ·b=a ·c 且0,a b c ≠=则；
③把函数
3sin(2)3sin 23
6
y x y x
π
π
=+
=的图象向右平移
得到的图象；
④若数列{}n
a 既是等差数列又是等比数列，则
*1().n n a a n N +=∈ 其中正确命题的序号为 A ．①③④
B ．①④
C ．③④
D ．①②
12.已知函数()y f x =的定义域为R ，当0x <时，()1f x >，且对任意的实数x ，y R ∈，等式()()()f x f y f x y =+恒成立.若数列{n a }满足1
(0)a f =，且
1()n f a +=
1(2)
n f a --
*()n N ∈，则2011a 的值为 A.4018 B.4019 C.4020 D.4021
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在
答题卡的相应位置．） 13．学校为了调查学生在课外读物方面的支出情形，抽出了一个容量
为n 的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在[50,60) 元的同学有30人，则n 的值为________．
14．已知向量a =),2,1(-x b =),4(y ,若a ⊥b ，则y x 39+的最小值 ． 15．在等比数列{}n
a
中，首项=1a 3
2，()441
12a x dx =+⎰，则公比q 为 ．
16．如图，P 是双曲线)0,0,0(122
22
≠>>=-xy b a b
y a x 上的动点，F 1、 F 2是双曲线的焦点，M 是2
1
PF F ∠的平分线上一点，且
.
02=⋅MP M F
某同学用以下方法研究|OM|：延长F 2M 交PF 1于点N ，可知2
PNF ∆为 等腰三角形，且M 为F 2M 的中点，得
.
||2
1
||1a NF OM === 类似地：P 是椭圆)0,0(12
2
22
≠>>=+xy b a b y a x 上的动点，F 1、F 2是椭圆的焦点，M 是2
1
PF F ∠的平分线上一点，且
2=⋅MP M F .则|OM|的取值范畴是
三、解答题（共70分。

解承诺写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17．（12分）已知向量m
(3sin ,1)4x =，n 2(cos ,cos )
44x x =，函数()f x =m ·n . (1)若()1f x =，求
2cos()
3
x π
-的值； (2)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是,,a b c ，且满足1
cos 2
a C c b
+=，求(2)f B 的取值范畴.
18.（12分）某中学的高二(1)班男同学有45名，女同学有15名，老师按照分层抽样的方法组建了一个4人的课外爱好小组．
（Ⅰ）求某同学被抽到的概率及课外爱好小组中男、女同学的人数；
（Ⅱ）通过一个月的学习、讨论，那个爱好小组决定选出两名同学做某项实验，方法是
先从小组里选出名同学做实验，该同学做完后，再从小组内剩下的同学中选一名同学做实验，求选出的两名同学中恰有一名女同学的概率；
（Ⅲ）试验终止后，第一次做试验的同学得到的试验数据为68,70,71,72,74，第二次做试验的同学得到的试验数据为69,70,70,72,74，请问哪位同学的实验更稳固？并说明理由.
19．（12分）如图，在三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，侧面ABB 1A 1，ACC 1A 1均为正
方形，∠BAC=90°,点D 是棱B 1C 1的中点．
（1）求证：A 1D ⊥平面BB 1C 1C ；
（2）求证：AB 1∥平面A 1DC ； （3）求二面角D-A 1C-A 的余弦值．
20．（12分）已知定点)0,3(-A ，B 是圆16)3(:22=+-y x C （C 为圆心）上的动点，
AB 的垂直平分线与BC 交于点E. （1）求动点E 的轨迹方程；
（2）设直线:(0,0)l y kx m k m =+≠>与E 的轨迹交于P ，Q 两点，且以PQ 为对角线
的菱形的一顶点为（-1，0），求：∆OPQ 面积的最大值及现在直线的方程. 21．（12 分）已知函数)(ln 2)(2R a x
a x x x f ∈++=.
①当4-=a 时，求)(x f 的最小值；
②若函数)(x f 在区间)1,0(上为单调函数，求实数a 的取值范畴；
③当1≥t 时，不等式3)(2)12(-≥-t f t f 恒成立，求实数a 的取值范畴.
选做题（10分.请考生必须在22、23题中任选一题做答，假如多做，则按所做的第一题记分） 22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
在ABC ∆中，AB=AC ，过点A 的直线与其外接圆交于点P ，交BC 延长线于点D 。

（1）求证：BD
PD AC PC =；
（2）若AC=3，求AD AP ⋅的值。

23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知关于任意非零实数，不等式|)32||1(||||1||12|+--≥-+-x x m m m 恒成立，求实数的取值范畴.
参考答案
一、选择题：
题号 1
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A
D C
B
C
C
C
D
B
D
A
D
二、填空题
(13).100． (14）.6 （15）．理3 文16 （16）．)
,0(22b a - 三、解答题 17解：
又,B C 均为锐角
(,)
62
B ππ∴∈
3sin()(,1]
62
B π
∴+∈
∴
1(2)sin()62f B B π
=++的取值范畴是：313(,]
22
+
18．（12分）解：（Ⅰ）
416015n P m ===
∴某同学被抽到的概率为115
………………2分 设有x 名男同学，则45
604
x =，3x ∴=∴男、女同学的人数分别为3,1………………4分 （Ⅱ）把3名男同学和名女同学记为123
,,,a a a b ，则选取两名同学的差不多事件有
121312123231323(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),a a a a a b a a a a a b a a a a a b 123(,),(,),(,)b a b a b a 共12种，其中有一名女同学的有6种
∴选出的两名同学中恰有一名女同学的概率为
61122
P ==
……………………………8分
（Ⅲ）
16870717274715x ++++==，26970707274
71
5
x ++++== 222
1
(6871)(7471)45s -+-==，222
2(6971)(7471) 3.2
5
s -+-== 19．（12分）（Ⅰ）证明：因为侧面均为正方形， 因此,
因此
平面
，三棱柱
是直三棱柱． ………………1分
因为平面，因此，………………2分又因为，为中点，因此．……………3分
因为,因此平面．……………4分
（Ⅱ）证明：连结，交于点，连结，
因为为正方形，因此为中点，
又为中点，因此为中位线，
因此，………………6分
因为平面，平面，
因此平面．………………8分
（Ⅲ）解：因为侧面，均为正方形，，
因此两两互相垂直，如图所示建立直角坐标系．
设，则．
，………………9分设平面的法向量为，则有
，，，
取，得．……………10分
又因为平面，因此平面的法向量为， (11)
分
，因为二面角是钝角，
因此，二面角的余弦值为．……………12分
20．解：（1）由题知|
=
+
+
EB
EA（2分）
EC
|=
∴EC
|
EA=4
|EB
||
|
|
||
|
|
又432||<=AC 点E 的轨迹是以A ，C 为焦点，长轴长为4的椭圆， E 的轨迹方程为14
22
=+y x
（4分）
（2）设),(),,(2
211y x Q y x P ，PQ 的中点为),(00y x
将直线m kx y +=与14
22
=+y x 联立得0448)41(222=-+++m kmx x k
0)14(1622>-+=∆m k ，即2214m k >+ ①
又2210
2210412,4142k m y y y k km x x x +=+=+-=+= 依题意有k
x y 1
)1(000-=---，整理得1432+=k km
② （6分）
由①②可得5
12>k ， ,0,0>∴>k m 5
5>∴k
（7分）
设O 到直线的距离为d ，则
2
222241)14(161121||21k m k k k m
PQ d S OPQ +-++⋅+⋅=⋅=∆ 422
221
120929)
15)(14(2k
k k
k k -+=
-+=
（10分）
当
2112
=k 时，
OPQ ∆的面积取最大值1，现在2
23,2==m k ，
直线方程为2
232+=x y
21．（本小题满分14分） 解：①)0(ln 42)(2>-+=x x
x x x f
x
x x x x x f )1)(2(2422)(-+=
-+=' ……2分
当1>x 时，0)(>'x f ，当10<<x 时，0)(<'x f
∴)(x f 在)1,0(上单调减，在),1(∞+上单调增 ∴3)1()(min
==f x f ……4分
②
x
a x x x a x x f ++=
++='2222)(2 ……5分 若)(x f 在)1,0(上单调增，则0222≥++a x x 在)1,0(∈x 上恒成立 x x a 222--≥⇒恒成立
令x x u 222--=，)1,0(∈x ，则
2
1)21(22+
+-=x u ，0max =u
∴0≥a ……7分 若)(x f 在)1,0(上单调减，则0222≤++a x x 在)1,0(∈x 上恒成立
4]22[min 2-=--≤⇒x x a
综上，a 的取值范畴是：),0[]4,(∞+--∞ ……9分
③3ln 242)12ln()12(2)12(22-++≥-+-+-t a t t t a t t 恒成立 242]ln 2)12[ln(2-+-≥--t t t t a
])12[(2]ln )12[ln(22t t t t a --≥--⇒ ……10分 当1=t 时，不等式明显成立
当
1
>t 时，
)12ln(ln 120)1(12)12(22222->⇒->⇒>-=+-=--t t t t t t t t t
2
2ln )12ln(]
)12[(2t t t t a ----≤
⇒在1>t 时恒成立 ……11分
令2
2ln )12ln(])12[(2t t t t u ----=
，即求u 的最小值
设)ln ,(22t t A ，))12ln(,12(--t t B ，2
2
)12(ln )12ln(t t t t k AB ----=，
且A 、B 两点在x y ln =的图象上，又∵12>t ，112>-t ，故1|01='<<=x AB y k
∴
2
1
2>⋅=k
u ，故2≤a 即实数a 的取值范畴为]2,(-∞
22．解：（1）D D ABC CPD ∠=∠∠=∠, ，DPC ∆∴～DBA ∆，BD
PD AB PC =∴
又BD
PD AC PC AC AB =∴=,
（5分）
（2）,,CAP CAP APC ACD ∠=∠∠=∠ APC ∆∴～ACD ∆AD
AC AC AP =∴，
92=⋅=∴AD AP AC
23解：即|
||
1||12||32||1|m m m x x -+-≤+--恒成立
1|
||112||||1||12|=-+-≥-+-m m m m m m
（2分）
只需1|32||1|≤+--x x
（1）当2
3-≤x 时，原式
3321≤++-x x ，即3-≤x ， 3-≤∴x （5分）
（2）当12
3
<<-
x 时，原式1321≤---x x ，即1-≥x 11<≤-∴x （3）当1-≥x 时，原式13121≤---x x ，即5-≥x
1≥∴x
（9分）
综上的取值范畴为),1[]3,(+∞-⋃--∞ （10分）。