《电子工程物理基础》课后习题解答教程

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《电子工程物理基础》习题参考答案
第一章
1-一维运动的粒子处在下面状态
(0,0)
()0
(0)
x
Axe x x x λλψ-⎧≥>=⎨
<⎩
①将此项函数归一化；②求粒子坐标的概率分布函数；③在何处找到粒子的概率最大
解：（1
所以 （2（3 1-②n ③当解：（1（2）（31- （1）归一化常数
由*1dx ψψ+∞
-∞=⎰ 得到 A =
（2） 振子的概率密度 22
2
()()x
w x x α
ψ
-==
由
()
0dw x dx
= 得到x=0时振子出现概率最大。

（3）势能平均值 1-设质量为m 的粒子在下列势阱中运动，求粒子的能级。

解: 注意到粒子在半势阱中运动，且为半谐振子。

半谐振子与对称谐振子在x>0区域满足同样的波动方程，但根据题意，x<0区域，势函数为无穷，因此相应的波函数为零，从而破坏了偶宇称的状态。

这样，半谐振子定态解则为谐振子的奇宇称解（仅归一化常数不同） 1-电子在原子大小的范围(～10-10m )
内运动，试用不确定关系估计电子的最小能量。

解： 电子总能量 2
2E 2s e p m r
=-
作近似代换，设 ~,~,~r r p p r p ∆∆∆∆由不确定关系得，，于是 所以电子的最小能量 4
min 2E 2
s me =-，此式与薛定谔方程得到的氢原子基态能量表达式相同。

1-
①r 由 1- 12H '1-8)ω
（2） n=11-0少?
费米能级以上 00.141
1
= 1.8%1
1i E E k T
f e e
-=
=++f
费米能级以下 0-0.141
1
=98.2%1
1
i E E k T
f e e
--=
=++f 第二章
2-1.试说明格波和弹性波有何不同?
提示：从晶格格点分立取值和晶格周期性特点出发分析与连续介质弹性波的不同。

2-2. 证明：在长波范围内，一维单原子晶格和双原子晶格的声学波传播速度均与一维连续介质弹性波传播速度相同，即：
式中，E 为弹性模量，ρ为介质密度。

提示：利用教材第二章中一维单原子晶格和双原子晶格的声学波的色散关系，得到长波近似下的表达式（2-35）和（2-46），并注意到q
v ω
=。

2-3.设有一维原子链(如下图所示)，第2n 个原子与第2n+1个原子之间的恢复力常数为β，第2n 个原子与第2n-1个原子之间的恢复力常数为β′(β′＜β)。

设两种原子的质量相等，最近邻间距为a
将式（2方程（3所以 q =2-4. 2-5. 略
2-6. 数β(a) (b) (c) (d) 在300K 可以激发多少个频率0m ax ω、0m in ω、A m ax ω的声子?
(e) 如果用电磁波来激发长光学波振动，试问电磁波的波长要多少?
解：m 8.0M m mM
=+=
μ （a ）s /rad 106.72130max ⨯=μ
β
=
ω，s /rad 106.0m 2130min
⨯=β=ω （b ）s /rad 103.0213A max ⨯=μ
β
=ω，
（c ）eV 044.0E 0max 1=ω= ，eV 040.0E 0main 2=ω= ，eV 020.0E A
max 3=ω=
（d ）22.0e
1n T
k /0
max
0o max ≈=ω ,
28.0T
e
1n 0
o x min k /0
min ≈=
ω ,
(e) m 108.2c
25o
max
-⨯=ωπ=
λ 2-7. 2-8.()U a +δ（1（2（3解：（1（2q q dq -+中的振动模式数为的。

所以，(d ω
ρ（3） 2-9. 子。

因此，对于一给定的晶体，它必拥有一定数目的声子。

这种说法是否正确? 提示：不正确，因为平均声子数与与温度有关。

2-10. 应用德拜模型，计算一维、二维情况下晶格振动的频谱密度，德拜温度，晶格比热。

解：（1）一维情况下
在波矢q q dq -+中的振动模式数为22L
dq ⨯π
，其中2是考虑q ±对称区域引入的。

由于德拜模型中设p v q
ω
=，所以相应的d ω-ω+ω中振动模式数()p L d d v ρωω=ωπ
频谱密度()p L v ρω=
π 德拜温度0
D
D k ωθ= 其中 D ω 满足
()D
D p L
d N v ωρωω=ω=π⎰
，所以p D N v L
πω=
00/2/0)(1)k T
V k T x e C k T e e dx ωωω-=∝0k T
ω （2与一维求解思路相同，但必须注意二则
0D k ωθ，其中2-11. 1：
①T >>θD 第三章1. 取
5F E =，则为
0，只为经00典值的1/60。

试解释何以两者相差这么大。

提示：两种情况下电子服从的统计分布不同，量子论观点认为只有能量高于费米能的那些电子对比热才有贡献。

2. 限制在边长为L 的正方形中的N 个自由电子。

电子能量 (a) 求能量E 到E+dE 之间的状态数； (b) 求此二维系统在绝对零度的费米能量。

解：本题与2-10题的求解思路类似。

（a ）二维系统中，波矢k k dk -+中的状态数对应2kdk π圆环中包含的状态点，所以
2
()224S S
g k kdk kdk =⨯
⋅π=ππ
，式中系数2的引入是因为考虑每个状态可容纳自旋相反的两个电子。

因为 2
2()2k E k m =，所以由()g k 得到E 到E+dE 之间的状态数 2
2()mL g E dE dE =π
（b ）T=0 K 时，系统总电子数可以表示如下
220
2F
N n E mL m ππ==，其中，电子浓度2
N n L =
3. 53-
解：低于4. T 3。

所以有
5. (a)()k x ψ(b)()k x ψ(c)()k x ψ解: (a) 所以 (k u 考虑到 则有 ()sin
sin
()ikx ik x a e x e x a a
a
--+=+
所以，211,0,1,2ika n e n a π-+=-=±±得
k=，仅考虑第一布里渊区k a a ππ-<≤，k a
π
= （b ） 与（a ）同样方法，得
210,1,2n k n a π+==±±，仅考虑第一布里渊区k a a ππ-<≤内，k a π=内k a π=
（c ） 与（a ）同样方法，得
20,1,2n k n a π==±±，仅考虑第一布里渊区k a a ππ
-<≤内， 0k =
6.证明，当0
0F k T E <<时，电子数目每增加一个，则费米能变化 其中0
()F
g E 为费米能级的能态密度。

解：由本教材第三章的式（3-21）知
电子每增加一个，费米能级的变化为
注意到， 22/32/32/312N+1(1)(13N N N N
=+≈+（），并由本教材第三章的式（3-14）可得到
3201202
2()4(
)()F F m g E V E h π=表达式，容易证得0
1()F F E g E ∆= 7.
8. 且a=4b,解：V(x)9. 解：势能其中m V 10. n a
π附11. 12. 布里渊区的边界面一定是能量的不连续面，是吗?
提示：不一定。

对于一维情况，布里渊区的边界面一定是能量的不连续面，但二维以上则不然，可能存在第一布里渊区在某个k 方向上的能量最大值大于第二布里渊区另一方向上的能量最小值。

13. 已知一维晶体的电子能带可写成 其中a 是晶格常数，试求 (a) 能带的宽度；
(b) 电子在波矢k 的状态时的速度； (c) 能带底部和顶部电子的有效质量。

解：（a ）首先求能量最大值和最小值 由0dk )k (dEc = 得到 a n k π=
n 为偶数时，0E E min == n 为奇数时，2
2
m ax ma 2E E == 所以能带宽度为 （b ）速度1()1
sin (1cos )ma 2
dE k v ka ka dk ==- (c)
14.
()E k E =将12 15. 试画出沿沿kx 能量 (E 其中，最大值为max 08E E A J =-+，最小值min 08E E A J =-- 。

图略 速度 ()14(sin 2
x x k a E Ja
v k k ∂=
=∂。

图略 16.为何引入密度泛函理论处理能带问题，有何优点？ 略。

请参考本书第3章3.3.3节的内容。

第四章
1. 从能带论出发，简述半导体能带的基本特征，利用能带论分析讨论为什么金属和半导体电导率具有不同的温度依赖性。

提示：半导体的能带结构决定了半导体中有两种载流子参与导电，且浓度与温度有关，温度对电导率的影响涉及到载流子浓度和散射两方面。

金属只有电子对导电有贡献，且不受温度影响。

温度主要影响晶格振动对电子的散射。

2. 从能带底到能带顶，晶体中电子的有效质量将如何变化？为什么？ 略。

参考本书
3.
4.2节的内容。

3.
4. 当（（（当
5. 分别为 ()m m k k E c 13+= ，
()m k m k E v 136 -
= 式中m 为电子惯性质量，14.3,/1==a a k π?,试求出：
（1）禁带宽度
（2）导带底电子的有效质量； （3）价带顶电子的有效质量；
（4）导带底的电子跃迁到价带顶时准动量的改变量。

解： （1） 令 0)(=∂∂k k E c 即 ()2
210
2
203k k k m m -+=
得到导带底相应的 14
3k k =
令 0)(=∂∂k k E v 即 20
60k m =
得到价带顶相应的 0=k
故禁带宽度 将1k a
π
=
代入，得到2
2
2
012g E m a
π=
2
6. 7. n i 又220
0d dn σ
>， 所以当n n =2
i n p n n
==时，min 2i n σσ==（2）当材料的电导率等于本征电导率时，有： 即 0)(202
0=++-p i p n i n n n n n μμμμ
解得： n
i p n p n i p n i n n n n μμμμμμμ2]
4)([)(2220-+±+=
计算得： )13(4
0±=
i
n n 故，1330 1.2510/n cm =⨯，1330 5.010/p cm =⨯时，该晶体的电导率等于本征电导率。

8. 何谓简并半导体？在简并半导体中杂质能带将发生怎样的变化，何故？ 略。

9.
10.么？ 略。

11.12.95%·s, μ13.cm ⋅，11--s ，室温下，杂质全电离，有n=N D , 那么，纯度为 局限性：对于高度补偿材料，误差很大。

14.平均自由时间、非平衡载流子的寿命及介电弛豫时间有何不同？ 略。

15.一块补偿硅材料，已知掺入受主杂质浓度N A =1?1015cm -3, 室温下测得其费米能级位置恰好与施主能级重合，并测得热平衡时电子浓度n 0=5?1015cm -3 。

已知室温下本征载流子浓度n i =1.5?1010cm -3,试问：
（1）平衡时空穴浓度为多少？
（2）掺入材料中施主杂质浓度为多少？ （3）电离杂质中心浓度为多少？ （4）中性杂质散射中心浓度为多少？
（1）热平衡时，)cm (105.4105)105.1(n n p 3
415
21002
i 0-⨯=⨯⨯== 显然 n 0》p 0 ，故半导体杂质补偿后为n 型。

（2）电中性方程 +
-+=+D A n p p n 00 （1）
补偿后A A
N p =-
（2） 又
（3 （416. （1 （2 （3（1）（2）光照产生非平衡载流子，稳态时T
k i F F e
n np 02
=
又 )p n (p p p p n p n )p p )(n n (np 2
000000∆=∆∆+∆+∆+=∆+∆+=
由上两式得，)1()(02
002
-=∆++∆-T
k E E i p F n
F e
n p p n p
化简后，有
T
k E E i p F n
F e n p n p 02
02-≈∆+∆，解得 31010-=∆cm p
所以 3100cm 10p p p -≈∆+=
（3）因为0n p <<∆ 所以满足小注入条件。

17.假设n 型半导体中的复合中心位于禁带的上半部，试根据4.2.3中间接复合的理论分析半导体由低温至高温时非平衡少数载流子寿命随温度的变化，解释下图中的曲线。

题图4-2 n 型半导体中少子寿命随温度的变化曲线 提示：参照本书p.147中对式（4-85）化简为（4-86）或（4-87）的方法进行分析，并考虑温度对费米能级E F 位置的影响。

18.
略。

19.G ，（1） （2） （3） （已知：解：已知 （1（2（3） 又 p n ∆=∆ 则，附加电导率：
20.若稳定光照射在一块均匀掺杂的n 型半导体中均匀产生非平衡载流子，产生率为G op ，如题图4-3所示。

假设样品左侧存在表面复合，那么少数载流子如何分布呢？
题图4-3 光均匀照射半导体样品
解：光照半导体，并被整个半导体均匀吸收，产生非平衡载流子，由于左侧存在表面复合，因此体内产生的载流子将向左侧扩散。

此时，少数载流子空穴满足的扩散方程如下：
远离边界处的非平衡载流子浓度满足 得
这样边界条件为
解扩散方程，并考虑边界条件最后得到
21.设一无限大均匀p 型半导体无外场作用。

假设对一维晶体，非平衡少子电子只在x=0处以gn 产生率产生，也即小注入，如题图4-4所示。

显然少子电子将分别向正负x 方向扩散，求解稳态时的非平衡少数载流子。

（假设T=300K 时p 型半导体的掺杂浓度为,
1637510,510A n N cm s --=⨯τ=⨯,2153
25/,(0)10n D cm s n cm -=∆=）
合，所以 式中n ∆减。

假设25n D = 22.光均匀的穿透样品，电子-空穴对的产生率为G 。

题图4-5 光照半导体样品局部区域（1） （2） 分别求出三个区域中的载流子n(x)的表达式
解：（1） 取样品中心处为原点，根据非少子的连续性方程
并结合题意可得到在稳态情况下样品三个区域中的少数载流子方程分别为 （2） 式（1）的解为
因少子分布关于原点对称，故B=0，所以 （2）式和（3）的解为 2n
n
x x L L n Ce De -∆=+，x>>时，2n ∆趋于零，则 2n
x L n De
-
∆=
op
p G )(p τ=∞∆
3n
n
x x L L n Ee Fe
-
∆=+，x>>时，2n ∆趋于零，则 3n
x L n E e ∆=
考虑到对称性，有D=E 由边界条件 12x a x a n n ==∆=∆ 和
12x a
x a
d n d n dx
dx
==∆∆=
可确定系数A 和C ，最后得到
第五章
1.请分析p 型半导体与金属相接触时的接触特性，分别讨论半导体功函数大于或小于金属功函数的两种情况，并画出相应的能带图。

略。

2.略。

3.试比较略
4.5.6.略。

7.施主浓度为1017cm -3的N 型硅，室温下的功函数是多少？如果不考虑表面态的影响，试画出它与金（Au ）接触的能带图，并标出势垒高度和接触电势差的数值。

已知硅的电子亲和势 4.05eV χ=,金的功函数为4.58eV 。

解：室温下杂质全电离，有0D n N =
那么，190172.810ln 0.026ln 0.146510C F C C C D N E E k T E E eV N ⨯=-=-=-
功函数为[()] 4.050.1465 4.20s C F s W E E eV =χ+-=+≈ 显然 s Au W W < 形成阻挡层。

能带图略。

8.导出p-n 结的正向电流与V/V D 的函数关系，此处V 为外加电压，并求300K 时p-n 结的正向电流为1A 时的外加电压值（设μp =200cm 2/V.s ，μn =500cm 2/V.s, τn =τp =1μs,N A =1018cm -3,N D =1016cm -3） 解：联立两式 0(1)qV k T
s I I e
-=
可得到 p-n 结的正向电流与V/V D 的函数关系为
n L =又i n 所以于是9. 5μA 。

解：10.略。

11.单晶硅中均匀地掺入两种杂质：掺硼1.5?1016cm -3, 掺磷5.0?1015cm -3。

试计算：
（1）室温下载流子浓度； （2）室温下费米能级位置； （3）室温下电导率； （4）600K 下载流子浓度。

（已知：室温下（T=300K ）：n i =1.5?1010cm -3, k 0T =0.026eV ； N V =1.0?1019cm -3, N C =2.8?1019cm -3；
?n =1000cm 2/V ?s?；?p =400cm 2/V ?s?600K 时：n i =6?1015cm -3。

） 解 (a) 室温下，杂质全部电离，则N A =1.5?1016cm -3, N D =0.5?1016cm -3
则 p 0=N A -N D = 1.0?1016cm -3
(b)
eV
E N p
T k E E e
N p V V
V F T
k E E V F V 18.0ln 0000+=-==-
(c) cm
q p q n p n Ω=+=1
64
.000μμσ (d) 600K 时，本征激发不可忽略，由下式解出：
12.证明p-n 结反向饱和电流公式可写为
式中，
b 20p i n =（0n n =13.14.略。