2018届高考数学一轮复习配餐作业69古典概型与几何概型(含解析)理

配餐作业(六十九) 古典概型与几何概型
(时间：40分钟)
一、选择题
1．一块各面均涂有油漆的正方体被锯成1 000个大小相同的小正方体，若将这些小正方体均匀地搅混在一起，则任意取出一个正方体其三面涂有油漆的概率是( )
A.
112 B.110 C.325 D.1125
解析 小正方体三面涂有油漆的有8种情况，故所求概率为81 000＝1125。

故选D 。

答案 D
2．同时抛掷两个骰子，则向上的点数之差的绝对值为4的概率是( ) A.118
B.112
C.19
D.16
解析 同时抛掷两个骰子，基本事件总数为36，记“向上的点数之差的绝对值为4”为事件A ，则事件A 包含的基本事件有(1,5)，(2,6)，(5,1)，(6,2)，共4个，故P (A )＝436＝
1
9。

故选C 。

答案 C
3．设p 在[0,5]上随机地取值，则关于x 的方程x 2
＋px ＋1＝0有实数根的概率为( ) A.15 B.25 C.35
D.45
解析 方程x 2
＋px ＋1＝0有实根，则Δ＝p 2
－4≥0，解得p ≥2或p ≤－2(舍去)。

由几何概型的概率计算公式可知所求的概率为5－25－0＝3
5。

故选C 。

答案 C
4．如图，长方形的四个顶点为O (0,0)，A (4,0)，B (4,2)，C (0,2)，曲线y ＝x 经过点
B 。

小军同学在学做电子线路板时有一电子元件随机落入长方形OAB
C 中，则该电子元件落在
图中阴影区域的概率是( )
A.512
B.12
C.23
D.34
解析 图中阴影部分面积S 阴＝⎠⎛0
4
x d x ＝23x 32⎪⎪
⎪
4
＝16
3
，S 长方形＝4×2＝8，∴所求事件的概率P ＝S 阴
S 长方形＝1638＝23。

故选C 。

答案 C
5．如图，三行三列的方阵中有九个数a ij (i ＝1,2,3；j ＝1,2,3)，从中任取三个数，则至少有两个数位于同行或同列的概率是(
)
A.37
B.47
C.114
D.1314
解析 从九个数中任取三个数的不同取法共有C 3
9＝84种，因为取出的三个数分别位于不同的行与列的取法共有C 1
3·C 1
2·C 1
1＝6种，所以至少有两个数位于同行或同列的概率为1－684＝13
14。

故选D 。

答案 D
6．(2016·河北省“五个一名校联盟”二模)在区间[1,5]和[2,4]分别取一个数，记为
a ，
b ，则方程x 2a 2＋y 2b 2＝1表示焦点在x 轴上且离心率小于3
2
的椭圆的概率为( )
A.1
2 B.1532 C.1732
D.3132
解析 ∵x 2a 2＋y 2b 2＝1表示焦点在x 轴上且离心率小于3
2
，
∴a >b >0，a <2b。

它对应的平面区域如图中阴影部分所示：
则方程x 2a 2＋y 2b 2＝1表示焦点在x 轴上且离心率小于3
2
的椭圆的概率为
P ＝S 阴影
S 矩形
＝1－
1
2＋
＋12×12×12×4＝15
32
，故选B 。

答案 B 二、填空题
7．已知函数f (x )＝x 2
－x －2，x ∈[－5,5]，若从区间[－5,5]内随机抽取一个实数x 0，则所取的x 0满足f (x 0)≤0的概率为________。

解析 令x 2
－x －2≤0，解得－1≤x ≤2，由几何概型的概率计算公式得P ＝
2－－5
－－＝3
10
＝0.3。

答案 0.3
8．已知正方形ABCD 的边长为2，H 是边DA 的中点。

在正方形ABCD 内部随机取一点P ，则满足|PH |<2的概率为________。

解析
如图，
设E 、F 分别为边AB 、CD 的中点，则满足|PH |<2的点P 在△AEH ，扇形HEF 及△DFH 内，由几何概型的概率计算公式知，所求概率为
14
π2
2
＋1
2×1×1×22×2＝π8＋1
4。

答案
π8＋14
9．(2017·宿迁模拟)已知k ∈Z ，AB →＝(k,1)，AC →＝(2,4)，若|AB →
|≤4，则△ABC 是直角三角形的概率是________。

解析 因为|AB →|＝k 2
＋1≤4，所以－15≤k ≤15， 因为k ∈Z ，所以k ＝－3，－2，－1,0,1,2,3，
当△ABC 为直角三角形时，应有AB ⊥AC ，或AB ⊥BC ，或AC ⊥BC 。

由AB →·AC →＝0得2k ＋4＝0，所以k ＝－2；因为BC →＝AC →－AB →＝(2－k,3)，由AB →·BC →＝0得k (2－k )＋3＝0，所以k ＝－1或3；
由AC →·BC →
＝0得2(2－k )＋12＝0，所以k ＝8(舍去)。

故使△ABC 为直角三角形的k 值为－2，－1或3，所以所求概率P ＝37。

答案 37
三、解答题
10．(2016·西安模拟)移动公司在国庆期间推出4G 套餐，对国庆节当日办理套餐的客户进行优惠，优惠方案如下：选择套餐1的客户可获得优惠200元，选择套餐2的客户可获得优惠500元，选择套餐3的客户可获得优惠300元。

国庆节当天参与活动的人数统计结果如图所示，现将频率视为概率。

(1)求从中任选1人获得优惠金额不低于300元的概率；
(2)若采用分层抽样的方法从参加活动的客户中选出6人，再从该6人中随机选出2人，求这2人获得相等优惠金额的概率。

解析 (1)设事件A 为“从中任选1人获得优惠金额不低于300元”，则P (A )＝150＋10050＋150＋100＝5
6。

(2)设事件B 为“从这6人中选出2人，他们获得相等优惠金额”，由题意按分层抽样方法选出的6人中，获得优惠200元的有1人，获得优惠500元的有3人，获得优惠300元的有2人，分别记为a 1，b 1，b 2，b 3，c 1，c 2从中选出2人的所有基本事件如下：a 1b 1，a 1b 2，
a 1
b 3，a 1
c 1，a 1c 2，b 1b 2，b 1b 3，b 1c 1，b 1c 2，b 2b 3，b 2c 1，b 2c 2，b 3c 1，b 3c 2，c 1c 2，共15个。

其中
使得事件B 成立的有b 1b 2，b 1b 3，b 2b 3，c 1c 2，共4个。

则P (B )＝4
15。

答案 (1)56 (2)4
15
11．已知向量a ＝(－2,1)，b ＝(x ，y )。

(1)若x ，y 分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6)先后抛掷两次时第一次、第二次出现的点数，求满足a ·b ＝－1的概率；
(2)若x ，y 在连续区间[1,6]上取值，求满足a ·b <0的概率。

解析 (1)将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次，所包含的基本事件总数为6×6＝36(个)；
由a ·b ＝－1有－2x ＋y ＝－1，所以满足a ·b ＝－1的基本事件为(1,1)，(2,3)，(3,5)，共3个；
故满足a ·b ＝－1的概率为336＝1
12。

(2)若x ，y 在连续区间[1,6]上取值，则全部基本事件的结果为Ω＝{(x ，
y )|1≤x ≤6,1≤y ≤6}；满足a ·b <0的基本事件的结果为A ＝{(x ，y )|1≤x ≤6,1≤y ≤6且
－2x ＋y <0}；画出图形如图，矩形的面积为S 矩形＝25，
阴影部分的面积为S 阴影＝25－1
2×2×4＝21，
故满足a ·b <0的概率为21
25。

答案 (1)112 (2)21
25
(时间：20分钟)
1．甲、乙、丙三人玩微信抢红包游戏，发红包者每次发出总额为1角的三个红包(每个红包金额由系统随机分配，至少1分)，手气最佳者继续发红包，则甲抢到5分钱红包的概率为( )
A.4
9
B.572
C.19
D.59
解析 将1角分成10个1分排成一排，从中间的9个空当中选出2个空各插入一块档板，档板将10个1分所分成的三部分金额分别给甲乙丙三人，有C 2
9＝36种分法，甲得5分钱，将剩下的5分排成一排，从中间的4个空当中选出1个空插入一块档板，档板将5个1分所分成的两部分金额分别给乙丙两人，有C 1
4＝4种分法，则所求概率为p ＝436＝19。

故选C 。

答案 C
2．已知集合A ＝{1,2,3,4}，B ＝{5,6,7}，若f ：A →B 为集合A 到集合B 的映射，则5∈{f (x )|x ∈A }的概率为( )
A.6581
B.1681
C.14
D.34
解析 从集合A 到集合B 的映射需要为集合A 中的任一元素在集合B 中找到唯一的象，所以映射f ：A →B 个数为3×3×3×3＝34
＝81，若5∈{f (x )|x ∈A }，那么5作为象，其原象可能有4个、3个、2个、1个，分别对应着C 4
4，2C 3
4，22C 2
4，23C 1
4个映射，所以有1＋8＋24＋32＝65个映射使得5∈{f (x )|x ∈A }，则所求概率为p ＝65
81
，故选A 。

答案 A
3．已知f (x )＝x
2＋cos x ，在区间(0，π)内任取一点x 0，使得f ′(x 0)>0的概率为( )
A.π6
B.16
C.13
D.12
解析 f ′(x )＝12－sin x ，令12－sin x >0，sin x <12，当x ∈(0，π)时，得0<x <π6或5π
6<x <π，
故所求概率为2×
π6π＝1
3。

故选C 。

答案 C
4．某校50名学生参加智力答题活动，每人回答3个问题，答对题目个数及对应人数统计结果如下表：
(1)从这50名学生中任选两人，求两人答对题目个数之和为4或5的概率；
(2)从这50名学生中任选两人，用X 表示这两名学生答对题目个数之差的绝对值，求随机变量X 的分布列。

解析 (1)记“两人答对题目个数之和为4或5”为事件A ，则
P (A )＝C 2
20＋C 1
10C 1
15＋C 1
20C 1
15C 2
50＝190＋150＋30025×49＝128245，即两人答对题目个数之和为4或5的概率为128
245。

(2)依题意可知X 的可能取值分别为0,1,2,3。

则P (X ＝0)＝C 2
5＋C 2
10＋C 2
20＋C 2
15C 2
50＝3501 225＝2
7， P (X ＝1)＝C 15C 1
10＋C 1
10C 1
20＋C 1
20C 1
15C 2
50＝5501 225＝22
49， P (X ＝2)＝C 15C 1
20＋C 1
10C 1
15C 2
50＝2501 225＝10
49， P (X ＝3)＝C 15C 115C 250＝751 225＝3
49。

从而X 的分布列为
答案 (1)128
245
(2)见解析。