云南省大理市宾川县城镇初级中学2019-2020学年高三数学理月考试题含解析

云南省大理市宾川县城镇初级中学2019-2020学年高三
数学理月考试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 定义在R上的奇函数y=f（x）满足f（3）=0，且当x＞0时，不等式f（x）＞﹣xf′（x）恒成立，则函数g（x）=xf（x）+lg|x+1|的零点的个数为（）
A．1 B．2 C．3 D．4
参考答案：
C
【考点】函数的单调性与导数的关系．
【分析】由不等式f（x）＞﹣xf′（x）在（0，+∞）上恒成立，得到函数h（x）=xf（x）在x＞0时是增函数，
再由函数y=f（x）是定义在R上的奇函数得到h（x）=xf（x）为偶函数，
结合f（0）=f（3）=f（﹣3）=0，作出两个函数y1=xf（x）与y2=﹣lg|x+1|的大致图象，即可得出答案．
【解答】解：定义在R的奇函数f（x）满足：
f（0）=0=f（3）=f（﹣3），
且f（﹣x）=﹣f（x），
又x＞0时，f（x）＞﹣xf′（x），即f（x）+xf′（x）＞0，
∴[xf（x）]'＞0，函数h（x）=xf（x）在x＞0时是增函数，
又h（﹣x）=﹣xf（﹣x）=xf（x），∴h（x）=xf（x）是偶函数；
∴x＜0时，h（x）是减函数，结合函数的定义域为R，且f（0）=f（3）=f（﹣3）=0，
可得函数y1=xf（x）与y2=﹣lg|x+1|的大致图象如图所示，
∴由图象知，函数g（x）=xf（x）+lg|x+1|的零点的个数为3个．
故选：C．
2. 若θ∈[，]，sin2θ=，则sinθ=（）
A．B．C．D．
参考答案：
D
【考点】二倍角的正弦．
【分析】由θ的范围求出2θ的范围，再由平方关系求出cos2θ，根据倍角的余弦公式变形求出sinθ的值．
【解答】解：由θ∈[，]，得2θ∈[，π]，又sin2θ=，
∴cos2θ=﹣=﹣，
∵cos2θ=1﹣2sin2θ，sinθ＞0，
∴sinθ==，
故选：D．
3. 复数（i是虚数单位），则z在复平面上对应的点位于（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限参考答案：
C
略
4.
若直线2ax－by+2=0（a>0，b>0）始终平分圆x2+y2+2x－4y+1=0 的面积，则a+b=（）
A． B．4
C．2 D．1
参考答案：
答案：D
5. 已知等于（）
A．3 B．—
3 C．0 D．
参考答案：
A
6. 若向量，且，则
(A) (B) (C) (D)
参考答案：
略
7. 某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车．某天需运往地至少72吨的货物，派用的每辆车需满载且只运送一次．派用的每辆甲型卡车需配2名工人，运送一次可得利润450
元；派用的每辆乙型卡车需配1名工人，运送一次可得利润350元，该公司合理计划当天派用两类卡车的车辆数，可得最大利润为
A．4650元 B．4700元 C．4900
元 D．5000元
参考答案：
C
8. 已知函数在一个周期内的图像如图所示，其中P，Q分别是
这段图像的最高点和最低点，M，N是图像与x轴的交点，且，则A的值为（）
A．2 B．1 C. D．
参考答案：
C
9. 设a=log37，b=21.1，c=0.83.1，则（）
A．b＜a＜c B．a＜c＜b C．c＜b＜a D．c＜a＜b
参考答案：
D
【考点】对数值大小的比较．
【分析】由于1＜a=log37＜2，b=21.1＞2，c=0.83.1＜1，即可得出．
【解答】解：∵1＜a=log37＜2，b=21.1＞2，c=0.83.1＜1，
则c＜a＜b．
10. 如图，曲线把边长为4的正方形分成黑色部分和白色部分.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（）
A． B． C．
D．
参考答案：
A
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知集合，，则．
参考答案：
12. “”是“直线和直线平行”
的．
参考答案：
充要条件
13. 设x，y满足不等式组，若z=ax+y的最大值为2a+4，最小值为a+1，则实数a的取值范围为．
参考答案：
【考点】简单线性规划．
【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合进行求解即可．
【解答】解：由z=ax+y得y=﹣ax+z，直线y=﹣ax+z是斜率为﹣a，y轴上的截距为z的直线，
作出不等式组对应的平面区域如图：
则A（1，1），B（2，4），
∵z=ax+y的最大值为2a+4，最小值为a+1，
∴直线z=ax+y过点B时，取得最大值为2a+4，
经过点A时取得最小值为a+1，
若a=0，则y=z，此时满足条件，
若a＞0，则目标函数斜率k=﹣a＜0，
要使目标函数在A处取得最小值，在B处取得最大值，
则目标函数的斜率满足﹣a≥k BC=﹣1，
即0＜a≤1，
若a＜0，则目标函数斜率k=﹣a＞0，
要使目标函数在A处取得最小值，在B处取得最大值，
则目标函数的斜率满足﹣a≤k AC=2，
即﹣2≤a＜0，
综上﹣2≤a≤1，
故答案为：[﹣2，1]．
【点评】本题主要考查线性规划的应用，根据条件确定A，B是最优解是解决本题的关
键．注意要进行分类讨论，是中档题．
14. 的展开式中常数项为________．
参考答案：
14
略
15. 定义某种运算,运算原理如右框图所示,则式子
的值为_________.
参考答案：
13
16. 函数为常数）在上有最大值3，那么此函数在
上的最小值为_________________.
参考答案：
略
17. 等比数列中，已知，则的值为 .
参考答案：
4
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知直线l：（其中t为参数，α为倾斜角）．以坐标原点O为极点，x
轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=．
（1）求C的直角坐标方程，并求C的焦点F的直角坐标；
（2）已知点P（1，0），若直线l与C相交于A，B两点，且=2，求△FAB的面积．
参考答案：
【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．
【分析】（1）原方程变形为ρ2sin2θ=ρcosθ，利用互化公式可得：C的直角坐标方程．
（2）把l的方程代入y2=x得t2sin2α﹣tcosα﹣1=0，利用根与系数的关系及其已知可得：|t1﹣t2|=2|t1t2|，平方得，可得sin2α=1，即可得出．
【解答】解：（1）原方程变形为ρ2sin2θ=ρcosθ，
∵x=ρcosθ，y=ρsinθ，
∴C的直角坐标方程为y2=x，其焦点为．
（2）把l的方程代入y2=x得t2sin2α﹣tcosα﹣1=0，
则，①
，
即|t1﹣t2|=2|t1t2|，
平方得
，②
把①代入②得
，∴sin2α=1，
∵α是直线l的倾斜角，∴，
∴l的普通方程为x=1，且|AB|=2，
点F到AB的距离d=1﹣=
∴△FAB的面积为S=|AB|×d==．
19. 已知直线相交于A、B两点。

（1）若椭圆的离心率为，焦距为2，求椭圆的标准方程；
（2）若（其中O为坐标原点），当椭圆的离率时，求椭圆的长轴长的最大值。

参考答案：
（1）
（2）由
由
…………7分
，
由此得
略
20. 某单位用2160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2000平方米的楼房.经测算，如果将楼房建为x(x≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560+48x（单位：元）.为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？
（注：平均综合费用＝平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用＝
）
参考答案：
解析：设楼房每平方米的平均综合费为f（x）元，则…………….……….1分
….6分
令得
当时，；当时，
因此当时，f（x）取最小值； (11)
分
答：为了楼房每平方米的平均综合费最少，该楼房应建为15层．………………..12分
21. 近年来我国电子商务行业迎来蓬勃发展新机遇，2016年双11期间，某网络购物平台推销了A，B，C三种商品，某网购者决定抢购这三种商品，假设该名网购者都参与了A，B，C三种商品的抢购，抢购成功与否相互独立，且不重复抢购同一种商品，对A，B，C三件
商品抢购成功的概率分别为a，b，，已知三件商品都被抢购成功的概率为，
至少有一件商品被抢购成功的概率为．
（1）求a，b的值；
（2）若购物平台准备对抢购成功的A，B，C三件商品进行优惠减免，A商品抢购成功减免2百元，B商品抢购成功减免4比百元，C商品抢购成功减免6百元．求该名网购者获得减免总金额（单位：百元）的分别列和数学期望．
参考答案：
【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．
【分析】（Ⅰ）由题意利用相互独立及其对立事件的概率计算公式可得
．
（Ⅱ）由题意，令网购者获得减免的总金额为随机变量X（单位：百元），则X的值可以为0，2，4，6，8，10，12．再利用相互独立事件的概率计算公式即可得出．
【解答】解：（Ⅰ）由题意，得，
因为a＞b，解得．…（4分）
（Ⅱ）由题意，令网购者获得减免的总金额为随机变量X（单位：百元），
则X的值可以为0，2，4，6，8，10，12．…
而；；；
；；
；
．…（9分）
所以X的分布列为：
于是有…（12分）【点评】本题考查了相互独立及其对立事件的概率计算公式、分布列及其数学期望计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
22. （12分）（2013秋?威海期中）△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asinA+bsinB﹣csinC=asinB．
（Ⅰ）求角C；
（Ⅱ）若a+b=5，，求c的值．
参考答案：
【考点】正弦定理；余弦定理．
【专题】解三角形．
【分析】（Ⅰ）已知等式利用正弦定理化简，再利用余弦定理表示出cosC，将得出的等式代入计算求出cosC的值，即可确定出角C；
（Ⅱ）利用三角形面积公式表示出三角形ABC面积，将已知面积及sinC的值代入求出ab 的值，再利用余弦定理列出关系式，利用完全平方公式变形，将a+b与ab的值代入即可求出c的值．
【解答】解：（Ⅰ）根据正弦定理==，
原等式可转化为：a2+b2﹣c2=ab，
∴cosC==，
∵C为三角形内角，
∴C=60°；
（Ⅱ）∵S△ABC=absinC=ab?=，
∴ab=6，
∵a+b=5，cosC=，
∴由余弦定理得：c2=a2+b2﹣2ab?cosC=（a+b）2﹣3ab=25﹣18=7，
解得：c=．
【点评】此题考查了正弦、余弦定理，以及三角形的面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．。