宾县高中2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题

宾县高中2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1． 设集合{}1234U =，，，，{}
2540A x x x =∈-+<N ，则U C A 等于（ ）
A ．{}12，
B ．{}14，
C ．{}24，
D ．{}134，，
2． 设F 为双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的右焦点，若OF 的垂直平分线与渐近线在第一象限内的交点到
另一条渐近线的距离为1
||2OF ，则双曲线的离心率为（ ）
A ．
B
C ．
D ．3
【命题意图】本题考查双曲线方程与几何性质，意在考查逻辑思维能力、运算求解能力、方程思想．
3
． 已知向量=（﹣1，3），=（x ，2），且，则x=（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
4． 已知函数22()32f x x ax a =+-，其中(0,3]a ∈，()0f x ≤对任意的[]1,1x ∈-都成立，在1 和两数间插入2015个数，使之与1，构成等比数列，设插入的这2015个数的成绩为T ，则T =（ ） A ．2015
2
B ．2015
3
C ．20152
3
D ．20152
2
5． 设函数()()21x
f x e x ax a =--+，其中1a <，若存在唯一的整数，使得()0f t <，则的
取值范围是（ ）
A ．3,12e ⎡⎫-
⎪⎢⎣⎭ B ．33,24e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ C ．33,24e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D ．3,12e ⎡⎫
⎪⎢⎣⎭1111] 6． 已知等差数列{}n a 的前项和为n S ，且120a =-，在区间()3,5内任取一个实数作为数列{}n a
的公差，则n S 的最小值仅为6S 的概率为（ ）
A ．
15 B ．16 C ．314 D ．13 7． 棱长为2的正方体的8个顶点都在球O 的表面上，则球O 的表面积为（ ）
A ．π4
B ．π6
C ．π8
D ．π10
8． 圆心在直线2x ＋y ＝0上，且经过点（－1，－1）与（2，2）的圆，与x 轴交于M ，N 两点，则|MN |＝（ ） A ．4 2 B ．4 5 C ．2 2
D ．2 5
9． 设,,a b c R ∈，且a b >，则（ ） A ．ac bc > B ．11
a b
< C ．22a b > D ．33a b > 10．函数2
1()ln 2
f x x x ax =+
+存在与直线03=-y x 平行的切线，则实数a 的取值范围是（ ） A. ),0(+∞ B. )2,(-∞ C. ),2(+∞ D. ]1,(-∞
【命题意图】本题考查导数的几何意义、基本不等式等基础知识，意在考查转化与化归的思想和基本运算能力． 11．过直线3x ﹣2y+3=0与x+y ﹣4=0的交点，与直线2x+y ﹣1=0平行的直线方程为（ ） A ．2x+y ﹣5=0
B ．2x ﹣y+1=0
C ．x+2y ﹣7=0
D ．x ﹣2y+5=0
12．已知P （x ，y ）为区域内的任意一点，当该区域的面积为4时，z=2x ﹣y 的最大值是（ ）
A ．6
B ．0
C ．2
D ．2
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在横线上）
13．等比数列{a n }的前n 项和S n ＝k 1＋k 2·2n （k 1，k 2为常数），且a 2，a 3，a 4－2成等差数列，则a n ＝________． 14．设平面向量()1,2,3,i a i =，满足1i
a =且120a a ⋅=，则12a a += ，123a a a ++的最大
值为 .
【命题意图】本题考查平面向量数量积等基础知识，意在考查运算求解能力. 15．下列四个命题申是真命题的是 （填所有真命题的序号） ①“p ∧q 为真”是“p ∨q 为真”的充分不必要条件；
②空间中一个角的两边和另一个角的两边分别平行，则这两个角相等； ③在侧棱长为2，底面边长为3的正三棱锥中，侧棱与底面成30°的角；
④动圆P 过定点A （﹣2，0），且在定圆B ：（x ﹣2）2+y 2=36的内部与其相内切，则动圆圆心P 的轨迹为一个椭圆．
16．已知圆C 的方程为22
230x y y +--=，过点()1,2P -的直线与圆C 交于,A B 两点，若使AB 最小则直线的方程是 ．
三、解答题（本大共6小题，共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

）
17．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲1111]
如图，点C 为圆O 上一点，CP 为圆的切线，CE 为圆的直径，3CP =.
（1）若PE 交圆O 于点F ，16
5
EF =
，求CE 的长； （2）若连接OP 并延长交圆O 于,A B 两点，CD OP ⊥于D ，求CD 的长.
18．已知函数()()x f x x k e =-（k R ∈）． （1）求()f x 的单调区间和极值； （2）求()f x 在[]1,2x ∈上的最小值．
（3）设()()'()g x f x f x =+，若对35,22k ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦
及[]0,1x ∀∈有()g x λ≥恒成立，求实数λ的取值范围．
19．（本小题满分10分）已知函数f （x ）＝|x －a |＋|x ＋b |，（a ≥0，b ≥0）． （1）求f （x ）的最小值，并求取最小值时x 的范围； （2）若f （x ）的最小值为2，求证：f （x ）≥a ＋b .
20．如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 是正方形，PA ⊥底面ABCD ，且PA=AD ，点F 是棱PD 的中点，点E 为CD 的中点．
（1）证明：EF ∥平面PAC ； （2）证明：AF ⊥EF ．
21．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
以坐标原点为极点，以x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧==θ
θ
sin 2cos 2y x （θ
为参数，],0[πθ∈），直线l 的参数方程为2cos 2sin x t y t ì=+ïí=+ïîa
a
（t 为参数）．
（I ）点D 在曲线C 上，且曲线C 在点D 处的切线与直线+2=0x y +垂直，求点D 的极坐标； （II ）设直线l 与曲线C 有两个不同的交点，求直线l 的斜率的取值范围．
【命题意图】本题考查圆的参数方程、直线参数方程、直线和圆位置关系等基础知识，意在考查数形结合思想、转化思想和基本运算能力．
22．（本题12分）已知数列{}n x 的首项13x =，通项2n
n x p nq =+（*
n N ∈，p ，为常数），且145x x x ，，成等差数列，求： （1）p q ，的值；
（2）数列{}n x 前项和n S 的公式.
宾县高中2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题（参考答案）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1． 【答案】B 【解析】
试题分析：由254014x x x -+<⇒<<，由于N x ∈，所以{}23A =，，于是{}14U C A =，． 考点：集合基本运算．
【易错点晴】集合的三要素是：确定性、互异性和无序性.研究一个集合，我们首先要看清楚它的研究对象，是实数还是点的坐标还是其它的一些元素，这是很关键的一步.第二步常常是解一元二次不等式，我们首先用十字相乘法分解因式，求得不等式的解集.在解分式不等式的过程中，要注意分母不能为零.元素与集合之间是属于和不属于的关系，集合与集合间有包含关系. 2． 【答案】B 【
解
析
】
3． 【答案】C 【解析】
解：∵，
∴3x+2=0， 解得x=
﹣． 故选：C ．
【点评】本题考查了向量共线定理、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
4． 【答案】C 【解析】
试题分析：因为函数2
2
()32f x x ax a =+-，()0f x ≤对任意的[]1,1x ∈-都成立，所以()()
10
10f f -≤⎧⎪⎨≤⎪⎩，解得
3a ≥或1a ≤-，又因为(0,3]a ∈，所以3a =，在和两数间插入122015,...a a a 共2015个数，使之与，构成等
比数列，T 122015...a a a =，201521...T a a a =，
两式相乘，根据等比数列的性质得()()
2015
2015
2
1201513T a a ==⨯，
T =20152
3
，故选C.
考点：1、不等式恒成立问题；2、等比数列的性质及倒序相乘的应用. 5． 【答案】D 【解析】
考
点：函数导数与不等式．1
【思路点晴】本题主要考查导数的运用，涉及划归与转化的数学思想方法.首先令()0f x =将函数变为两个函数()()()21,x g x e x h x ax a =-=-，将题意中的“存在唯一整数，使得()g t 在直线()h x 的下方”，转化为存在唯一的整数，使得()g t 在直线()h x ax a =-的下方.利用导数可求得函数的极值，由此可求得m 的取值范围.
6． 【答案】D 【解析】
考
点：等差数列． 7． 【答案】B 【解析】
考
点：球与几何体 8． 【答案】
【解析】选D.设圆的方程为（x －a ）2＋（y －b ）2＝r 2（r ＞0）． 由题意得⎩⎪⎨⎪
⎧2a ＋b ＝0（－1－a ）2
＋（－1－b ）2
＝r 2
（2－a ）2
＋（2－b ）2
＝r
2
，
解之得a ＝－1，b ＝2，r ＝3，
∴圆的方程为（x ＋1）2＋（y －2）2＝9， 令y ＝0得，x ＝－1±5，
∴|MN |＝|（－1＋5）－（－1－5）|＝25，选D. 9． 【答案】D 【
解
析
】
考
点：不等式的恒等变换. 10．【答案】D 【解析】因为1
()f x x a x
'=++，直线的03=-y x 的斜率为3，由题意知方程13x a x ++=（0x >）有解，
因为1
2x x
+
?，所以1a £，故选D ． 11．【答案】A 【解析】
解：联立，得x=1，y=3，
∴交点为（1，3），
过直线3x ﹣2y+3=0与x+y ﹣4=0的交点， 与直线2x+y ﹣1=0平行的直线方程为：2x+y+c=0， 把点（1，3）代入，得：2+3+c=0， 解得c=﹣5，
∴直线方程是：2x+y ﹣5=0， 故选：A ．
12．【答案】A
解析：解：由
作出可行域如图，
由图可得A （a ，﹣a ），B （a ，a ），
由
，得a=2．
∴A （2，﹣2），
化目标函数z=2x ﹣y 为y=2x ﹣z ，
∴当y=2x ﹣z 过A 点时，z 最大，等于2×2﹣（﹣2）=6． 故选：A ．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在横线上）
13．【答案】
【解析】当n ＝1时，a 1＝S 1＝k 1＋2k 2，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝（k 1＋k 2·2n ）－（k 1＋k 2·2n －1）＝k 2·2n －1， ∴k 1＋2k 2＝k 2·20，即k 1＋k 2＝0，① 又a 2，a 3，a 4－2成等差数列． ∴2a 3＝a 2＋a 4－2， 即8k 2＝2k 2＋8k 2－2.② 由①②联立得k 1＝－1，k 2＝1， ∴a n ＝2n －1. 答案：2n －1
14．【答案】2，21+. 【解析】∵2
2
2
12112221012a a a a a a +=+⋅+=++=，∴122a a +=，
而2
2
2123
121233123()2()2221cos ,13a a a a a a a a a a a a ++=+++⋅+=+⋅⋅<+>+≤+，
∴12321a a a ++≤
，当且仅当12a a +与3a 1.
15．【答案】 ①③④
【解析】解：①“p ∧q 为真”，则p ，q 同时为真命题，则“p ∨q 为真”，
当p 真q 假时，满足p ∨q 为真，但p ∧q 为假，则“p ∧q 为真”是“p ∨q 为真”的充分不必要条件正确，故①正确； ②空间中一个角的两边和另一个角的两边分别平行，则这两个角相等或互补；故②错误，
③设正三棱锥为P ﹣ABC ，顶点P 在底面的射影为O ，则O 为△ABC 的中心，∠PCO 为侧棱与底面所成角
∵正三棱锥的底面边长为3，∴CO=
∵侧棱长为2，∴
在直角△POC 中，tan ∠PCO=
∴侧棱与底面所成角的正切值为
，即侧棱与底面所成角为30°，故③正确，
④如图，设动圆P 和定圆B 内切于M ，则动圆的圆心P 到两点，即定点A （﹣2，0）和定圆的圆心B （2，0）的距离之和恰好等于定圆半径， 即|PA|+|PB|=|PM|+|PB|=|BM|=6＞4=|AB|． ∴点P 的轨迹是以A 、B 为焦点的椭圆， 故动圆圆心P 的轨迹为一个椭圆，故④正确， 故答案为：①③④
16．【答案】30x y -+= 【解析】
试题分析：由圆C 的方程为22230x y y +--=，表示圆心在(0,1)C ，半径为的圆，点()1,2P -到圆心的距
()1,2P -在圆内，所以当AB CP ⊥时，AB 最小，此时
11,1CP k k =-=，由点斜式方程可得，直线的方程为21y x -=+，即30x y -+=.
考点：直线与圆的位置关系的应用.
三、解答题（本大共6小题，共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

）
17．【答案】（1）4CE =；（2）13
CD =. 【解析】
试题分析：（1）由切线的性质可知ECP ∆∽EFC ∆，由相似三角形性质知::EF CE CE EP =,可得4CE =；（2）由切割线定理可得2(4)CP BP BP =+，求出,BP OP ,再由CD OP OC CP ⋅=⋅,求出CD 的值. 1 试题解析：
（1）因为CP 是圆O 的切线，CE 是圆O 的直径，所以CP CE ⊥，0
90CFE ∠=，所以ECP ∆∽EFC ∆,
设CE x =，EP =，又因为ECP ∆∽EFC ∆，所以::EF CE CE EP =，
所以2
x =
4x =.
考点：1.圆的切线的性质；2.切割线定理；3.相似三角形性质.
18．【答案】（1）()f x 的单调递增区间为(1,)k -+∞，单调递减区间为(,1)k -∞-，
1()(1)k f x f k e -=-=-极小值，无极大值；（2）2k ≤时()(1)(1)f x f k e ==-最小值，23k <<时1()(1)k f x f k e -=-=-最小值，3k ≥时，2()(2)(2)f x f k e ==-最小值；（3）2e λ≤-.
【解析】
（2）当11k -≤，即2k ≤时，()f x 在[]1,2上递增，∴()(1)(1)f x f k e ==-最小值； 当12k -≥，即3k ≥时，()f x 在[]1,2上递减，∴2()(2)(2)f x f k e ==-最小值； 当112k <-<，即23k <<时，()f x 在[]1,1k -上递减，在[]1,2k -上递增， ∴1()(1)k f x f k e -=-=-最小值．
（3）()(221)x g x x k e =-+，∴'()(223)x g x x k e =-+， 由'()0g x =，得32
x k =-， 当3
2x k <-
时，'()0g x <； 当3
2
x k >-时，'()0g x >，
∴()g x 在3(,)2k -∞-上递减，在3
(,)2
k -+∞递增，
故323
()()22
k g x g k e -=-=-最小值，
又∵35,22k ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，∴[]30,12k -∈，∴当[]0,1x ∈时，323()()22k g x g k e -=-=-最小值，
∴()g x λ≥对[]0,1x ∀∈恒成立等价于32
()2k g x e λ-
=-≥最小值；
又32
()2k g x e λ-
=-≥最小值对35,22k ⎡⎤
∀∈⎢⎥⎣⎦
恒成立．
∴3
2
min (2)k e
k --≥，故2e λ≤-．1
考点：1、利用导数研究函数的单调性进而求函数的最值；2、不等式恒成立问题及分类讨论思想的应用. 【方法点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性进而求函数的最值、不等式恒成立问题及分类讨论思想的应用.属于难题. 数学中常见的思想方法有：函数与方程的思想、分类讨论思想、转化与划归思想、数形结合思想、建模思想等等，分类讨论思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想
之一，尤其在解决含参数问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点. 充分利用分类讨论思想方法能够使问题条理清晰，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用与解题当中.本题（2）就是根据这种思想讨论函数单调区间的.
19．【答案】
【解析】解：（1）由|x－a|＋|x＋b|≥|（x－a）－（x＋b）|
＝|a＋b|得，
当且仅当（x－a）（x＋b）≤0，即－b≤x≤a时，f（x）取得最小值，
∴当x∈[－b，a]时，f（x）min＝|a＋b|＝a＋b.
（2）证明：由（1）知a＋b＝2，
（a＋b）2＝a＋b＋2ab≤2（a＋b）＝4，
∴a＋b≤2，
∴f（x）≥a＋b＝2≥a＋b，
即f（x）≥a＋b.
20．【答案】
【解析】（1）证明：如图，
∵点E，F分别为CD，PD的中点，
∴EF∥PC．
∵PC⊂平面PAC，EF⊄平面PAC，
∴EF∥平面PAC．
（2）证明：∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，
又ABCD是矩形，∴CD⊥AD，
∵PA∩AD=A，∴CD⊥平面PAD．
∵AF⊂平面PAD，∴AF⊥CD．
∵PA=AD，点F是PD的中点，∴AF⊥PD．
又CD∩PD=D，∴AF⊥平面PDC．
∵EF⊂平面PDC，
∴AF⊥EF．
【点评】本题考查了线面平行的判定，考查了由线面垂直得线线垂直，综合考查了学生的空间想象能力和思维能力，是中档题．
21．【答案】
【解析】（Ⅰ）设D 点坐标为)q q ，由已知得C 是以(0,0)O 因为C 在点D 处的切线与l 垂直，所以直线OD 与直线+2=0x y +的斜率相同，34
π
θ=，故D 点的直角坐标
为(1,1)-，极坐标为3)4
p ． （Ⅱ）设直线l ：2)2(+-=x k y 与半圆)0(22
2
≥=+y y x 相切时
21|22|2
=+-k
k
0142=+-∴k k 32-=∴k ，32+=k （舍去）
设点)0,2(-B ，则2
AB
k =
=-故直线l 的斜率的取值范围为]22,32(--. 22．【答案】（1）1,1==q p ；（2）2
)
1(22
1
++
-=-n n S n n .
考
点：等差，等比数列通项公式，数列求和.。