龙海市第二高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

龙海市第二高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学
班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 已知函数()2sin()f x x ωϕ=+(0)2
π
ϕ<<与y 轴的交点为(0,1)，且图像上两对称轴之间的最
小距离为
2π
，则使()()0f x t f x t +--+=成立的t 的最小值为（ ）1111] A ．6π B ．3π C ．2
π D ．23π
2． 已知正方体的不在同一表面的两个顶点A （﹣1，2，﹣1），B （3，﹣2，3），则正方体的棱长等于（ ）
A ．4
B ．2
C ．
D ．2
3． 设a=lge ，b=（lge ）2，c=lg
，则（ ）
A ．a ＞b ＞c
B ．c ＞a ＞b
C ．a ＞c ＞b
D ．c ＞b ＞a
4． 若f （x ）为定义在区间G 上的任意两点x 1，x 2和任意实数λ（0，1），总有f （λx 1+（1﹣λ）x 2）≤λf （x 1）+（1﹣λ）f （x 2），则称这个函数为“上进”函数，下列函数是“上进”函数的个数是（ ）
①f （x ）=
，②f （x ）=
，③f （x ）=
，④f （x ）=
．
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
5． 在某次测量中得到的A 样本数据如下：82，84，84，86，86，86，88，88，88，88．若B 样本数据恰好是A 样本数据都加2后所得数据，则A ，B 两样本的下列数字特征对应相同的是（ ） A ．众数 B ．平均数 C ．中位数 D ．标准差
6． 已知命题“p ：∃x ＞0，lnx ＜x ”，则￢p 为（ ）
A ．∃x ≤0，lnx ≥x
B ．∀x ＞0，lnx ≥x
C ．∃x ≤0，lnx ＜x
D ．∀x ＞0，lnx ＜x
7． 已知点P （x ，y ）的坐标满足条件，（k 为常数），若z=3x+y 的最大值为8，则k 的值为（ ）
A ．
B ．
C ．﹣6
D ．6
8． 已知双曲线﹣
=1（a ＞0，b ＞0）的左右焦点分别为F 1，F 2，若双曲线右支上存在一点P ，使得F 2
关于直线PF 1的对称点恰在y 轴上，则该双曲线的离心率e 的取值范围为（ ）
A ．1＜e ＜
B ．e ＞
C ．e ＞
D ．1＜e ＜
9． 在ABC ∆中，若60A ∠=，45B ∠=，BC =AC =（ ）
A ．
B ． C. D ．
2
10．在平面直角坐标系
中，向量
＝(1，2)，
＝(2，m)，若O ，A ，B 三点能构成三角形，则（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
11．已知a ＞b ＞0，那么下列不等式成立的是（ ）
A ．﹣a ＞﹣b
B ．a+c ＜b+c
C ．（﹣a ）2＞（﹣b ）2
D ．
12．已知△ABC 是锐角三角形，则点P （cosC ﹣sinA ，sinA ﹣cosB ）在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限
二、填空题
13．已知△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，asinA=bsinB+（c ﹣b ）sinC ，且bc=4，则△ABC 的面积为 ．
14．长方体的一个顶点上的三条棱长分别是3，4，5，且它的8个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是 ．
15．已知曲线y=（a ﹣3）x 3+lnx 存在垂直于y 轴的切线，函数f （x ）=x 3﹣ax 2﹣3x+1在[1，2]上单调递减，则a 的范围为 ．
16．正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，平面AB 1D 1和平面BC 1D 的位置关系为 ．
17．已知[2,2]a ∈-，不等式2(4)420x a x a +-+->恒成立，则的取值范围为__________.
18．已知某几何体的三视图如图,正（主）视图中的弧线是半圆，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的表面积是_________（单位:
）．
三、解答题
19．已知椭圆G ：
=1（a ＞b ＞0）的离心率为
，右焦点为（2
，0），斜率为1的直线l 与椭圆
G 交与A 、B 两点，以AB 为底边作等腰三角形，顶点为P （﹣3，2）．
（Ⅰ）求椭圆G的方程；
（Ⅱ）求△PAB的面积．
20．（本题满分12分）如图1在直角三角形ABC中，∠A=90°，AB=2，AC=4，D，E分别是AC，BC边上的中点，M为CD的中点，现将△CDE沿DE折起，使点A在平面CDE内的射影恰好为M．
（I）求AM的长；
（Ⅱ）求面DCE与面BCE夹角的余弦值．
21．在等比数列{a n}中，a3=﹣12，前3项和S3=﹣9，求公比q．
22．（本小题满分12分） 在等比数列{}n a 中，3339,22
a S =
=． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设221
6log n n b a +=，且{}n b 为递增数列，若1
1
n n n c b b +=
，求证：12314
n c c c c ++++<
．
23．已知函数f （x ）=x 3﹣x 2+cx+d 有极值．
（Ⅰ）求c 的取值范围；
（Ⅱ）若f （
x ）在x=2处取得极值，且当x ＜0时，f （x ）＜d 2
+2d 恒成立，求d 的取值范围．
24．已知矩阵A ＝，向量＝.求向量
，使得A 2＝.
龙海市第二高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）一、选择题
1．【答案】A
【解析】
考点：三角函数的图象性质．
2．【答案】A
【解析】解：∵正方体中不在同一表面上两顶点A（﹣1，2，﹣1），B（3，﹣2，3），
∴AB是正方体的体对角线，AB=，
设正方体的棱长为x，
则，解得x=4．
∴正方体的棱长为4，
故选：A．
【点评】本题主要考查了空间两点的距离公式，以及正方体的体积的有关知识，属于基础题．
3．【答案】C
【解析】解：∵1＜e＜3＜，
∴0＜lge＜1，∴lge＞lge＞（lge）2．
∴a＞c＞b．
故选：C．
【点评】本题主要考查对数的单调性．即底数大于1时单调递增，底数大于0小于1时单调递减．
4．【答案】C
【解析】解：由区间G上的任意两点x1，x2和任意实数λ（0，1），
总有f（λx1+（1﹣λ）x2）≤λf（x1）+（1﹣λ）f（x2），
等价为对任意x∈G，有f″（x）＞0成立（f″（x）是函数f（x）导函数的导函数），
①f（x）=的导数f′（x）=，f″（x）=，故在（2，3）上大于0恒成立，故①为“上进”函数；
②f（x）=的导数f′（x）=，f″（x）=﹣•＜0恒成立，故②不为“上进”函数；
③f（x）=的导数f′（x）=，f″（x）=
＜0恒成立，
故③不为“上进”函数；
④f（x）=的导数f′（x）=，f″（x）=，当x∈（2，3）时，f″（x）＞0恒成立．
故④为“上进”函数．
故选C．
【点评】本题考查新定义的理解和运用，同时考查导数的运用，以及不等式恒成立问题，属于中档题．
5．【答案】D
【解析】解：A样本数据：82，84，84，86，86，86，88，88，88，88．
B样本数据84，86，86，88，88，88，90，90，90，90
众数分别为88，90，不相等，A错．
平均数86，88不相等，B错．
中位数分别为86，88，不相等，C错
A样本方差S2=[（82﹣86）2+2×（84﹣86）2+3×（86﹣86）2+4×（88﹣86）2]=4，标准差S=2，
B样本方差S2=[（84﹣88）2+2×（86﹣88）2+3×（88﹣88）2+4×（90﹣88）2]=4，标准差S=2，D正确
故选D．
【点评】本题考查众数、平均数、中位标准差的定义，属于基础题．
6．【答案】B
【解析】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题“p：∃x＞0，lnx＜x”，则￢p为∀x＞0，lnx≥x．
故选：B．
【点评】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，基本知识的考查．
7．【答案】B
【解析】解：画出x，y满足的可行域如下图：z=3x+y的最大值为8，
由，解得y=0，x=，
（，0）代入2x+y+k=0，∴k=﹣，
故选B．
【点评】如果约束条件中含有参数，可以先画出不含参数的几个不等式对应的平面区域，分析取得最优解是哪两条直线的交点，然后得到一个含有参数的方程（组），代入另一条直线方程，消去x，y后，即可求出参数的值．
8．【答案】B
【解析】解：设点F2（c，0），
由于F2关于直线PF1的对称点恰在y轴上，不妨设M在正半轴上，
由对称性可得，MF1=F1F2=2c，
则MO==c，∠MF
F2=60°，∠PF1F2=30°，
1
设直线PF1：y=（x+c），
代入双曲线方程，可得，（3b2﹣a2）x2﹣2ca2x﹣a2c2﹣3a2b2=0，
则方程有两个异号实数根，
则有3b2﹣a2＞0，即有3b2=3c2﹣3a2＞a2，即c＞a，
则有e=＞．
故选：B．
9．【答案】B
【解析】
考点：正弦定理的应用.
10．【答案】B
【解析】【知识点】平面向量坐标运算
【试题解析】若O，A，B三点能构成三角形，则O，A，B三点不共线。

若O，A，B三点共线，有：-m=4，m=-4．
故要使O，A，B三点不共线，则。

故答案为：B
11．【答案】C
【解析】解：∵a＞b＞0，∴﹣a＜﹣b＜0，∴（﹣a）2＞（﹣b）2，
故选C．
【点评】本题主要考查不等式的基本性质的应用，属于基础题．
12．【答案】B
【解析】解：∵△ABC是锐角三角形，
∴A+B＞，
∴A＞﹣B，
∴sinA＞sin（﹣B）=cosB，
∴sinA﹣cosB＞0，
同理可得sinA﹣cosC＞0，
∴点P在第二象限．
故选：B
二、填空题
13．【答案】．
【解析】解：∵asinA=bsinB+（c﹣b）sinC，
∴由正弦定理得a2=b2+c2﹣bc，即：b2+c2﹣a2=bc，
∴由余弦定理可得b2=a2+c2﹣2accosB，
∴cosA===，A=60°．可得：sinA=，
∵bc=4，
∴S△ABC=bcsinA==．
故答案为：
【点评】本题主要考查了解三角形问题．考查了对正弦定理和余弦定理的灵活运用，考查了三角形面积公式的应用，属于中档题．
14．【答案】50π
【解析】解：长方体的一个顶点上的三条棱长分别是3，4，5，且它的8个顶点都在同一个球面上，
所以长方体的对角线就是球的直径，长方体的对角线为：，
所以球的半径为：；则这个球的表面积是：=50π．
故答案为：50π．
15．【答案】．
【解析】解：因为y=（a﹣3）x3+lnx存在垂直于y轴的切线，即y'=0有解，即
y'=在x＞0时有解，
所以3（a﹣3）x3+1=0，即a﹣3＜0，所以此时a＜3．
函数f（x）=x3﹣ax2﹣3x+1在[1，2]上单调递减，则f'（x）≤0恒成立，
即f'（x）=3x2﹣2ax﹣3≤0恒成立，即，
因为函数在[1，2]上单调递增，所以函数的最大值为，
所以，所以．
综上．
故答案为：．
【点评】本题主要考查导数的基本运算和导数的应用，要求熟练掌握利用导数在研究函数的基本应用．
16．【答案】平行．
【解析】解：∵AB 1∥C 1D ，AD 1∥BC 1，
AB 1⊂平面AB 1D 1，AD 1⊂平面AB 1D 1，AB 1∩AD 1=A C 1D ⊂平面BC 1D ，BC 1⊂平面BC 1D ，C 1D ∩BC 1=C 1 由面面平行的判定理我们易得平面AB 1D 1∥平面BC 1D
故答案为：平行．
【点评】本题考查的知识点是平面与平面之间的位置关系，在判断线与面的平行与垂直关系时，正方体是最常用的空间模型，大家一定要熟练掌握这种方法．
17．【答案】(,0)(4,)-∞+∞ 【解析】
试题分析：把原不等式看成是关于的一次不等式,在2]，[-2
a ∈时恒成立,只要满足在2]，[-2a ∈时直线在轴上方即可，设关于的函数44)2(24)4(x f(x)y 2
2+-+-=-+-+==x x a x a x a 对任意的2]，[-2a ∈，当-2
a =时，044)42(x )2(f(a)y 2>++--+=-==x f ，即086x )2(2>+-=-x f ，解得4x 2x ><或；当2a =时，044)42(x )2(y 2>-+-+==x f ，即02x )2(2>-=x f ，解得2x 0x ><或，∴的取值范围是
{x|x 0x 4}<>或；故答案为：(,0)(4,)-∞+∞．
考点：换主元法解决不等式恒成立问题.
【方法点晴】本题考查了含有参数的一元二次不等式得解法，解题时应用更换主元的方法，使繁杂问题变得简
洁，是易错题．把原不等式看成是关于的一次不等式,在2]，[-2
a ∈时恒成立,只要满足在2]，[-2a ∈时直线在轴上方即可.关键是换主元需要满足两个条件，一是函数必须是关于这个量的一次函数，二是要有这个量的具体范围. 18．【答案】
【解析】【知识点】空间几何体的三视图与直观图
【试题解析】该几何体是半个圆柱。

所以
故答案为：
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）由已知得，c=，，
解得a=
，又b 2
=a 2﹣c 2
=4，
所以椭圆G 的方程为．
（Ⅱ）设直线l 的方程为y=x+m ，
由得4x2+6mx+3m2﹣12=0．①
设A，B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）（x1＜x2），AB的中点为E（x0，y0），
则x0==﹣，
y0=x0+m=，
因为AB是等腰△PAB的底边，
所以PE⊥AB，
所以PE的斜率k=，
解得m=2．
此时方程①为4x2+12x=0．
解得x1=﹣3，x2=0，
所以y1=﹣1，y2=2，
所以|AB|=3，此时，点P（﹣3，2）．
到直线AB：y=x+2距离d=，
所以△PAB的面积s=|AB|d=．
20．【答案】解：（I）由已知可得AM⊥CD，又M为CD的中点，
∴；3分
（II）在平面ABED内，过AD的中点O作AD的垂线OF，交BE于F点，
以OA为x轴，OF为y轴，OC为z轴建立坐标系，
可得
，
∴，，5分
设为面BCE的法向量，由可得=（1，2，﹣），
∴cos＜，＞==，∴面DCE与面BCE夹角的余弦值为4分
21．【答案】
【解析】
解：由已知可得方程组
，
第二式除以第一式得
=，
整理可得q 2
+4q+4=0，解得q=﹣2．
22．【答案】（1）1
31622n n n a a -⎛⎫
==- ⎪
⎝⎭
或；（2）证明见解析.
【解析】
试题分析：（1）将3339,22a S ==化为1,a q ，联立方程组，求出1,a q ，可得1
31622n n n a a -⎛⎫
==- ⎪
⎝⎭
或；（2）
由于{}n b 为递增数列，所以取1
162n n a -⎛⎫
=⋅- ⎪
⎝⎭
，化简得2n b n =，()1111114141n n n c b b n n n n +⎛⎫
=
==- ⎪++⎝⎭
，
其前项和为()111
4414
n -<+.
考点：数列与裂项求和法．1
23．【答案】
【解析】解（Ⅰ）∵f（x）=x3﹣x2+cx+d，
∴f′（x）=x2﹣x+c，要使f（x）有极值，则方程f′（x）=x2﹣x+c=0有两个实数解，从而△=1﹣4c＞0，
∴c＜．
（Ⅱ）∵f（x）在x=2处取得极值，
∴f′（2）=4﹣2+c=0，
∴c=﹣2．
∴f（x）=x3﹣x2﹣2x+d，
∵f′（x）=x2﹣x﹣2=（x﹣2）（x+1），
∴当x∈（﹣∞，﹣1]时，f′（x）＞0，函数单调递增，当x∈（﹣1，2]时，f′（x）＜0，函数单调递减．
∴x＜0时，f（x）在x=﹣1处取得最大值，
∵x＜0时，f（x）＜恒成立，
∴＜，即（d+7）（d﹣1）＞0，
∴d＜﹣7或d＞1，
即d的取值范围是（﹣∞，﹣7）∪（1，+∞）．
【点评】本题考查的知识点是函数在某点取得极值的条件，导数在最大值，最小值问题中的应用，其中根据已知中函数的解析式，求出函数的导函数的解析式，是解答本题的关键．
24．【答案】＝
【解析】A2＝.
设＝.由A2＝，得，从而
解得x＝-1，y＝2，所以＝。