高中数学人教B版必修四学案：2.1.4 数乘向量

2.1.4 数乘向量
[学习目标] 1.了解数乘向量的概念，并理解这种运算的几何意义.2.理解并掌握向量数乘的运算律，会运用向量数乘运算律进行向量运算．
[知识链接]
1．已知非零向量a ，作出a ＋a ＋a 和(－a )＋(－a )＋(－a )，你能说明它们与向量a 之间的关系吗？ 答
OC →＝OA →＋AB →＋BC →
＝a ＋a ＋a ＝3a ；a ＋a ＋a 的长度是a 的长度的3倍，其方向与a 的方向相同；
O ′C ′→＝O ′A ′→＋A ′B ′→＋B ′C ′→
＝(－a )＋(－a )＋(－a )＝－3a ，(－a )＋(－a )＋(－a )的长度是a 长度的3倍，其方向与a 的方向相反．
2．已知非零向量a ，你能说明实数λ与向量a 的乘积λa 的几何意义吗？ 答 λa 仍然是一个向量． 当λ>0时，λa 与a 的方向相同； 当λ<0时，λa 与a 的方向相反； 当λ＝0时，λa ＝0，方向任意． |λa |＝|λ|·|a |. [预习导引] 1．数乘向量
(1)定义：一般地，实数λ与向量a 的乘积是一个向量，记作λa .
(2)规定：|λa |＝|λ||a |.若a ≠0，当λ>0时，λa 的方向与a 的方向相同；当λ<0时，λa 的方向与a 的方向相反；当λ＝0时，λa ＝0.
(3)几何意义：λa 中的实数λ，叫做向量a 的系数．λa 可以看作是把向量a 沿着a 的方向(λ>0时)或a 的反方向(λ<0时)扩大或缩小|λ|倍得到． 2．数乘向量的运算律
数乘向量运算满足下列运算律：
设λ，μ为实数，则 (1)(λ＋μ)a ＝λa ＋μa ； (2)λ(μa )＝(λμ)a ；
(3)λ(a ＋b )＝λa ＋λb (分配律)．特别地，我们有(－λ)a ＝－(λa )＝λ(－a )，λ(a －b )＝λa －λb . 3．向量的线性运算
向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a ，b 以及任意实数λ、μ1、μ2，恒有λ(μ1a ±μ2b )＝λμ1a ±λμ2b .
要点一 数乘向量的运算 例1 化简下列各式：
(1)2(3a －2b )＋3(a ＋5b )－5(4b －a )； (2)1
6
[2(2a ＋8b )－4(4a －2b )]． 解 (1)原式＝6a －4b ＋3a ＋15b －20b ＋5a ＝14a －9b ； (2)原式＝16(4a ＋16b －16a ＋8b )＝1
6
(－12a ＋24b )＝－2a ＋4b .
规律方法 向量的初等运算类似于实数的运算，其化简的方法与代数式的化简类似，可以进行加、减、数乘等运算，也满足运算律，可以进行去括号、移项、合并同类项等变形手段． 跟踪演练1 若向量a ＝3i －4j ，b ＝5i ＋4j ，则⎝⎛⎭⎫13a －b －3⎝⎛⎭⎫a ＋2
3b ＋(2b －a )＝________. 答案 －16i ＋32
3
j
解析 ⎝⎛⎭⎫13a －b －3⎝⎛⎭⎫a ＋2
3b ＋(2b －a ) ＝13a －b －3a －2b ＋2b －a ＝－11
3a －b ＝－113(3i －4j )－(5i ＋4j )＝－11i ＋44
3j －5i －4j
＝－16i ＋323
j .
要点二 数乘向量的应用
例2 已知a ，b 是两个非零向量，判断下列各命题的对错，并说明理由： (1)2a 的方向与a 的方向相同，且2a 的模是a 的模的2倍； (2)－2a 的方向与5a 的方向相反，且－2a 的模是5a 的模的2
5
；
(3)－2a 与2a 是一对相反向量； (4)a －b 与－(b －a )是一对相反向量； (5)若a ，b 不共线，则λa 与b 不共线．
解 (1)正确．∵2>0，∴2a 与a 同向，且|2a |＝2|a |. (2)正确．∵5>0，∴5a 与a 同向，且|5a |＝5|a |. ∵－2<0，∴－2a 与a 反向，且|－2a |＝2|a |. (3)正确．
(4)错误．－(b －a )＝－b ＋a ＝a －b .
(5)错误．若λ＝0，则0a ＝0,0与任意向量共线．
规律方法 对数乘运算的理解，关键是对实数的作用的认识，λ>0时，λa 与a 同向，模是|a |的λ倍；λ<0时，λa 与a 反向，模是|a |的－λ倍；λ＝0时，λa ＝0. 跟踪演练2 (1)下面给出四个命题：
①对于实数m 和向量a 、b ，恒有m (a －b )＝m a －m b ； ②对于实数m 、n 和向量a ，恒有(m －n )a ＝m a －n a ； ③若m a ＝m b (m ∈R )，则有a ＝b ； ④若m a ＝n a (m ，n ∈R ，a ≠0)，则m ＝n . 其中正确命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
(2)已知四边形ABCD 是菱形，点P 在对角线AC 上(不包括端点A 、C )，则AP →
等于( ) A ．λ(AB →＋BC →)，λ∈(0,1) B ．λ(AB →＋AD →
)，λ∈⎝⎛⎭⎫0，22
C ．λ(AB →－A
D →)，λ∈(0,1) D ．λ(AB →－BC →
)，λ∈⎝⎛⎭⎫0，22
答案 (1)C (2)A
解析 (2)AP →与AC →共线，且菱形ABCD 中，AC →＝AB →＋AD →，由点P 在线段AC →上，得AP →＝λ(AB →
＋AD →)，又AD →＝BC →，λ∈(0,1)，∴AP →＝λ(AB →＋BC →
)，λ∈(0,1).
1．若3x －2(x －a )＝0，则向量x 等于( )
A ．2a
B ．－2a C.25a D ．－2
5a
答案 B
2．如图所示，D 是△ABC 的边AB 上的中点，则向量CD →
等于( )
A.BC →＋12BA →
B ．－B
C →＋12BA →
C ．－BC →－12BA →
D.BC →－12BA →
答案 B
解析 CD →＝BD →－BC →＝12
BA →－BC →
.
3．设a ＝3i ＋2j ，b ＝2i －j ，试用i ，j 表示向量23[(4a －3b )＋13b －1
4(6a －7b )]．
解
23⎣
⎡
⎦⎤(4a －3b )＋13b －14(6a －7b )
＝23(4a －3b )＋29b －1
6(6a －7b ) ＝83a －2b ＋29b －a ＋76b ＝⎝⎛⎭⎫83－1a ＋－2＋29＋76b ＝53a －1118b ＝53(3i ＋2j )－11
18(2i －j ) ＝5i ＋103j －119i ＋1118j ＝349i ＋7118
j .
4．如图所示，在▱ABCD 中，E 、F 分别是BC 、DC 的中点，若AB →＝a ，AD →
＝b ，试以a 、b 表示DE →和BF →.
解 DE →＝DA →＋AB →＋12BC →
＝－b ＋a ＋12b ＝a －12
b ；
BF →＝BA →＋AD →＋DF →
＝－a ＋b ＋12a ＝－12
a ＋
b .
1.实数与向量可以进行数乘运算，但不能进行加、减运算，例如λ＋a ，λ－a 是没有意义的． 2．λa 的几何意义就是把向量a 沿着a 的方向或反方向扩大或缩小为原来的|λ|倍．。