【易错题】高中三年级数学下期末试卷附答案(1)

【易错题】高中三年级数学下期末试卷附答案(1)
一、选择题
1．()22
x x
e e
f x x x --=+-的部分图象大致是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
2．2
5
32()x x
-展开式中的常数项为（ ） A ．80
B ．-80
C ．40
D ．-40
3．已知命题p ：若x >y ，则－x <－y ；命题q ：若x >y ，则x 2>y 2.在命题①p ∧q ；②p ∨q ；③p ∧(⌝q )；④(⌝p )∨q 中，真命题是( ) A ．①③
B ．①④
C ．②③
D ．②④
4．已知()3
sin 30,601505
αα︒+=︒<<︒，则cos α为（ ） A 310
B ．310
C 433
- D 343
-5．某单位有职工100人，不到35岁的有45人，35岁到49岁的有25人，剩下的为50岁以上（包括50岁）的人，用分层抽样的方法从中抽取20人，各年龄段分别抽取的人数为（ ） A ．7，5，8 B ．9，5，6 C ．7，5，9 D ．8，5，7
6．若不等式222424ax ax x x +-<+ 对任意实数x 均成立，则实数a 的取值范围是
（ ） A ．(22)-，
B ．(2)(2)-∞-⋃+∞，
， C ．(22]-，
D ．(2]-∞，
7．函数()2
3x f x x
+=的图象关于( )
A ．x 轴对称
B ．原点对称
C ．y 轴对称
D ．直线y x =对称
8．在△ABC 中，a ＝5，b ＝3，则sin A ：sin B 的值是（ ） A ．
53
B ．
35
C ．
37
D ．
57
9．已知当m ，[1n ∈-，1)时，33sin sin
2
2
m
n
n m ππ-<-，则以下判断正确的是( )
A ．m n >
B ．||||m n <
C ．m n <
D ．m 与n 的大小关系不确定
10．若双曲线22
221x y a b
-=
，则其渐近线方程为（ ）
A ．y=±2x
B ．
y=
C ．1
2
y x =±
D
．2
y x =±
11．已知,m n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出下列命题： ①若m αP ，m n ⊥，则n α⊥； ②若m α⊥，n αP ，则m n ⊥；
③若,m n 是异面直线，m α⊂，m βP ，n β⊂，n αP ，则αβ∥； ④若,m n 不平行，则m 与n 不可能垂直于同一平面. 其中为真命题的是（ ） A ．②③④
B ．①②③
C ．①③④
D ．①②④
12．已知P 为双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>上一点，12F F ，
为双曲线C 的左、右焦点，若112PF F F =，且直线2PF 与以C 的实轴为直径的圆相切，则C 的渐近线方程为（ ） A ．4
3
y x =±
B ．34
y x =?
C ．35
y x =±
D ．53
y x =±
二、填空题
13．若双曲线22
221x y a b
-=()0,0a b >>两个顶点三等分焦距，则该双曲线的渐近线方程
是___________.
14．已知圆锥的侧面展开图是一个半径为2cm ，圆心角为23
π
的扇形，则此圆锥的高为
________cm .
15．在平行四边形ABCD 中，3
A π
∠=
，边AB ，AD 的长分别为2和1，若M ，N 分别是
边BC ，CD 上的点,且满足CN CD
BM BC =u u u u v u u u v u u u v u u u v ，则AM AN ⋅u u u u v u u u v
的取值范围是_________． 16．若45100a b ==，则122()a b
+=_____________．
17．已知四棱锥S ABCD -的三视图如图所示，若该四棱锥的各个顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积等于_________.
18．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，线段11B D 上有两个动点,E F ，且2
EF =
，现有如下四个结论： AC BE ①⊥；//EF ②平面ABCD ；
③三棱锥A BEF -的体积为定值；④异面直线,AE BF 所成的角为定值，
其中正确结论的序号是______．
19．函数()lg 12sin y x =-的定义域是________．
20．在ABC ∆中，若13AB =3BC =，120C ∠=︒，则AC =_____．
三、解答题
21．设椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的左焦点为F ，右顶点为A ，离心率为12.已知A 是抛
物线2
2(0)y px p =>的焦点，F 到抛物线的准线l 的距离为1
2
. （I ）求椭圆的方程和抛物线的方程；
（II ）设l 上两点P ，Q 关于x 轴对称，直线AP 与椭圆相交于点B （B 异于点A ），直
线BQ 与x 轴相交于点D .若APD △的面积为
6
2
，求直线AP 的方程. 22．已知向量()2sin ,1a x =+r ，()2,2b =-r ，()sin 3,1c x =-r
，()1,d k =u r
(),x R k R ∈∈
（1）若,22x ππ⎡⎤
∈-⎢⎥⎣⎦
，且()
//a b c +r r r ，求x 的值.
（2）若函数()f x a b =⋅r r
，求()f x 的最小值.
（3）是否存在实数k ，使得()()
a d
b
c +⊥+r u r r r
？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，
请说明理由.
23．设()34f x x x =-+-.
（Ⅰ）求函数()2()g x f x =-的定义域；
（Ⅱ）若存在实数x 满足()1f x ax ≤-，试求实数a 的取值范围. 24．已知()11f x x ax =+--.
（1）当1a =时，求不等式()1f x >的解集；
（2）若()0,1x ∈时不等式()f x x >成立，求a 的取值范围. 25．选修4-5：不等式选讲：设函数()13f x x x a =++-. （1）当1a =时，解不等式()23f x x ≤+；
（2）若关于x 的不等式()42f x x a <+-有解，求实数a 的取值范围.
26．某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O 的一段圆弧MPN （P 为此圆弧的中点）和线段MN 构成．已知圆O 的半径为40米，点P 到MN 的距离为50米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚I 内的地块形状为矩形ABCD ，大棚II 内的地块形状为
CDP V ，要求,A B 均在线段MN 上，,C D 均在圆弧上．设OC 与MN 所成的角为θ．
（1）用θ分别表示矩形ABCD 和CDP V 的面积，并确定sin θ的取值范围；
（2）若大棚I 内种植甲种蔬菜，大棚II 内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4:3．求当θ为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．
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一、选择题 1．A 解析：A 【解析】
【分析】
根据函数的奇偶性，排除D ；根据函数解析式可知定义域为{}
1x x ≠±,所以y 轴右侧虚线部分为x=1，利用特殊值x=0.01和x=1.001代入即可排除错误选项． 【详解】
由函数解析式()22x x e e f x x x --=+-，易知()2
2x x
e e
f x x x ---=+-=() f x - 所以函数()22
x x
e e
f x x x --=+-为奇函数，排除D 选项
根据解析式分母不为0可知,定义域为{}
1x x ≠±,所以y 轴右侧虚线部分为x=1， 当x=0.01时，代入()f x 可得()0f x <，排除C 选项 当x=1.001时，代入()f x 可得()0f x >，排除B 选项 所以选A 【点睛】
本题考查了根据函数解析式判断函数的图象，依据主要是奇偶性、单调性、特殊值等，注意图中坐标的位置及特殊直线，属于中档题．
2．C
解析：C 【解析】 【分析】
先求出展开式的通项，然后求出常数项的值 【详解】
2532()x x -
展开式的通项公式为:53
251()2()r r
r r T C x x
-+-=，化简得10515(2)r r r r T C x -+=-，令1050r -=，即2r =，故展开式中的常数项为252
30(42)T C ==-.
故选：C. 【点睛】
本题主要考查二项式定理、二项展开式的应用，熟练运用公式来解题是关键.
3．C
解析：C 【解析】
试题分析：根据不等式的基本性质知命题p 正确，对于命题q ，当,x y 为负数时2
2
x y
>不成立，即命题q 不正确，所以根据真值表可得,(p q p ∨∧q )为真命题，故选C.
考点：1、不等式的基本性质；2、真值表的应用.
4．D
解析：D 【解析】
分析：先求出()cos 30α︒+的值，再把cos α变形为00cos[(30)30]α+-，再利用差角的余弦公式展开化简即得cos α的值. 详解：∵60150α︒<<︒， ∴90°＜30α︒+＜180°， ∴()cos 30α︒+=-
4
5
， ∵c os α=00
cos[(30)30]α+-,
∴c os α=-453152⨯=， 故选D.
点睛：三角恒等变形要注意“三看（看角看名看式）”和“三变（变角变名变式）”，本题主要利用了看角变角，0
(30)30αα=+-，把未知的角向已知的角转化,从而完成解题目标.
5．B
解析：B 【解析】 【分析】
分层抽样按比例分配,即可求出各年龄段分别抽取的人数. 【详解】
由于样本容量与总体中的个体数的比值为
201
1005
=，故各年龄段抽取的人数依次为14595⨯=，1
2555⨯=，20956--=.故选：B
【点睛】
本题考查分层抽样方法,关键要理解分层抽样的原则,属于基础题.
6．C
解析：C 【解析】
由题意，不等式222424ax ax x x +-<+，可化为2
(2)2(2)40a x a x -+--<， 当20a -=，即2a =时，不等式恒成立，符合题意；
当20a -≠时，要使不等式恒成立，需2)2
20
4(44(2)0a a a --<⎧⎨∆=+⨯-<⎩
n ， 解得22a -<<，
综上所述，所以a 的取值范围为(2,2]-，故选C ． 7．C
解析：C 【解析】
【分析】
求函数的定义域，判断函数的奇偶性即可． 【详解】
解：()f x =Q
0x ∴≠解得0x ≠
()f x ∴的定义域为()(),00,D =-∞+∞U ，D 关于原点对称.
任取x D ∈，都有()()f x f x x
-=
==，
()f x ∴是偶函数，其图象关于y 轴对称，
故选：C . 【点睛】
本题主要考查函数图象的判断，根据函数的奇偶性的定义判断函数的奇偶性是解决本题的关键．
8．A
解析：A 【解析】 由正弦定理可得：sin 5
sin 3
A a
B b == . 本题选择A 选项.
9．C
解析：C 【解析】 【分析】
由函数的增减性及导数的应用得：设3
()sin
,[1,1]2
x
f x x x π=+∈-，求得可得()f x 为增
函数，又m ，[1n ∈-，1)时，根据条件得()()f m f n <，即可得结果．
【详解】
解：设3
()sin ,[1,1]2
x
f x x x π=+∈-， 则2
()3cos
02
2
x
f x x π
π'
=+
>，
即3
()sin
,[1,1]2
x
f x x x π=+∈-为增函数，
又m ，[1n ∈-，1)，33sin
sin
2
2
m
n
n m ππ-<-，
即33sin
sin
22m
n
m n ππ+<+，
所以()()f m f n <，
所以m n <． 故选：C ． 【点睛】
本题考查了函数的增减性及导数的应用，属中档题．
10．B
解析：B 【解析】
双曲线的离心率为a
=b y x a =±，计算得b a =
方程为y =.
【考点定位】本小题考查了离心率和渐近线等双曲线的性质.
11．A
解析：A 【解析】 【分析】
根据空间中点、线、面位置关系，逐项判断即可. 【详解】
①若m αP ，m n ⊥，则n 与α位置关系不确定；
②若n αP ，则α存在直线l 与n 平行，因为m α⊥，所以m l ⊥，则m n ⊥； ③当m α⊂，m P β，n β⊂，n αP 时，平面α，β平行； ④逆否命题为：若m 与n 垂直于同一平面，则,m n 平行，为真命题. 综上，为真命题的是②③④. 故选A 【点睛】
本题主要考查空间中点线面位置关系，熟记线面关系、面面关系，即可求解，属于常考题型.
12．A
解析：A 【解析】 【分析】
依据题意作出图象，由双曲线定义可得1122PF F F c ==，又直线PF 2与以C 的实轴为直径的圆相切，可得2MF b =，对2OF M ∠在两个三角形中分别用余弦定理及余弦定义列方程，即可求得2b a c =+，联立222c a b =+，即可求得
4
3
b a =，问题得解．
依据题意作出图象，如下：
则1122PF F F c ==，OM a =， 又直线PF 2与以C 的实轴为直径的圆相切， 所以2OM PF ⊥, 所以222MF c a b =
-=
由双曲线定义可得：212PF PF a -=，所以222PF
c a =+， 所以()()()()
222
2
2222cos 2222c a c c b OF M c c a c ++-∠==⨯⨯+ 整理得：2b a c =+，即：2b a c -= 将2c b a =-代入222c a b =+，整理得：4
3
b a =， 所以C 的渐近线方程为43
b y x x a =±=± 故选A 【点睛】
本题主要考查了双曲线的定义及圆的曲线性质，还考查了三角函数定义及余弦定理，考查计算能力及方程思想，属于难题．
二、填空题
13．【解析】【分析】由题意知渐近线方程是再据得出与的关系代入渐近线方程即可【详解】∵双曲线的两个顶点三等分焦距∴又∴∴渐近线方程是故答案为【点睛】本题考查双曲线的几何性质即双曲线的渐近线方程为属于基础题 解析：22y x =±
【分析】
由题意知，渐近线方程是b y x a =±，1
223
a c =⨯，再据222c a
b =+，得出 b 与a 的关系，代入渐近线方程即可． 【详解】
∵双曲线22
221x y a b
-= (0,0)a b >>的两个顶点三等分焦距，
∴1
223
a c =
⨯，3c a =，又222c a b =+，∴22b a = ∴渐近线方程是22b
y x x a
=±=±，故答案为22y x =±． 【点睛】
本题考查双曲线的几何性质即双曲线22
221x y a b
-= (0,0)a b >>的渐近线方程为b y x
a =±属于基础题．
14．【解析】【分析】设此圆的底面半径为高为母线为根据底面圆周长等于展开扇形的弧长建立关系式解出再根据勾股定理得即得此圆锥高的值【详解】设此圆的底面半径为高为母线为因为圆锥的侧面展开图是一个半径为圆心角为 解析：
42
3
【解析】 【分析】
设此圆的底面半径为r ，高为h ，母线为l ，根据底面圆周长等于展开扇形的弧长，建立关系式解出r ，再根据勾股定理得22h l r =- ，即得此圆锥高的值． 【详解】
设此圆的底面半径为r ，高为h ，母线为l ，
因为圆锥的侧面展开图是一个半径为2cm ，圆心角为2
3
π的扇形, 所以2l =，得24233r l πππ=
⨯= ,解之得23
r =， 因此,此圆锥的高2
222242cm 332h l r ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭
，
故答案为:42
3
． 【点睛】
本题给出圆锥的侧面展开图扇形的半径和圆心角，求圆锥高的大小，着重考查了圆锥的定义与性质和旋转体侧面展开等知识，属于基础题．
15．【解析】【分析】画出图形建立直角坐标系利用比例关系求出的坐标然后通过二次函数求出数量积的范围【详解】解：建立如图所示的直角坐标系则设则所以因为二次函数的对称轴为：所以时故答案为：【点睛】本题考查向量
解析：
[2]5, 【解析】 【分析】
画出图形，建立直角坐标系，利用比例关系，求出M ，N 的坐标，然后通过二次函数求出数量积的范围． 【详解】
解：建立如图所示的直角坐标系，则(2,0)B ，(0,0)A ，
13,2D ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
，设||||||||BM CN BC CD λ==u u u u r u u u r
u u u r u u u r ，[]
0,1λ∈，则(22M λ+，3)λ，5
(22N λ-，3)， 所以(22AM AN λ=+u u u u r u u u r g ，35)(22λλ-g ，22353
)542544
λλλλλλ=-+-+=--+，
因为[]0,1λ∈，二次函数的对称轴为：1λ=-，所以[]
0,1λ∈时，[]2
252,5λλ--+∈．
故答案为：
[2]5,
【点睛】
本题考查向量的综合应用，平面向量的坐标表示以及数量积的应用，二次函数的最值问题，考查计算能力，属于中档题．
16．【解析】【分析】根据所给的指数式化为对数式根据对数的换地公式写出倒数的值再根据对数式的性质得到结果【详解】则故答案为【点睛】本题是一道有关代数式求值的问题解答本题的关键是熟练应用对数的运算性质属于基 解析：2
【解析】 【分析】
根据所给的指数式，化为对数式，根据对数的换地公式写出倒数的值，再根据对数式的性质，得到结果． 【详解】
45100a b ==Q ，
4log 100a ∴=，5log 100b =，
10010010012
log 42log 5log 1001a b
∴+=+==， 则1222a b ⎛⎫
+=
⎪⎝
⎭ 故答案为2 【点睛】
本题是一道有关代数式求值的问题，解答本题的关键是熟练应用对数的运算性质，属于基础题．
17．【解析】【分析】先还原几何体再从底面外心与侧面三角形的外心分别作相应面的垂线交于O 即为球心利用正弦定理求得外接圆的半径利用垂径定理求得球的半径即可求得表面积【详解】由该四棱锥的三视图知该四棱锥直观图 解析：
1015
π
【解析】 【分析】
先还原几何体，再从底面外心与侧面三角形SAB 的外心分别作相应面的垂线交于O ，即为球心，利用正弦定理求得外接圆的半径，利用垂径定理求得球的半径，即可求得表面积. 【详解】
由该四棱锥的三视图知，该四棱锥直观图如图，
因为平面SAB ⊥平面ABCD ，连接AC,BD 交于E ，过E 作面ABCD 的垂线与过三角形ABS 的外心作面ABS 的垂线交于O ，即为球心，连接AO 即为半径，
令1r 为SAB ∆外接圆半径，在三角形SAB 中，SA=SB=3,AB=4,则cos 23
SBA ∠=, ∴sin 5SBA ∠=
，∴132sin 5r SBA ==∠，∴125r =，又OF=12AD =, 可得222
1R r OF =+，
计算得，2
81101
12020R =
+= ， 所以2
101
45
S R ππ==. 故答案为
101
.5
π 【点睛】
本题考查了三视图还原几何体的问题，考查了四棱锥的外接球的问题，关键是找到球心，属于较难题.
18．【解析】【分析】对于①可由线面垂直证两线垂直；对于②可由线面平行的定义证明线面平行；对于③可证明棱锥的高与底面积都是定值得出体积为定值；对于④可由两个特殊位置说明两异面直线所成的角不是定值【详解】对 解析：①②③
【解析】 【分析】
对于①，可由线面垂直证两线垂直；对于②，可由线面平行的定义证明线面平行；对于③，可证明棱锥的高与底面积都是定值得出体积为定值；对于④，可由两个特殊位置说明两异面直线所成的角不是定值． 【详解】
对于①，由1,AC BD AC BB ⊥⊥，可得AC ⊥面11DD BB ，故可得出AC BE ⊥，此命题正确；
对于②，由正方体1111ABCD A B C D -的两个底面平行，EF 在平面1111D C B A 内，故EF 与平面ABCD 无公共点，故有//EF 平面ABCD ，此命题正确；
对于③，EF 为定值，B 到EF 距离为定值，所以三角形BEF 的面积是定值，又因为A 点到面11DD BB 距离是定值，故可得三棱锥A BEF -的体积为定值，此命题正确；
对于④，由图知，当F 与1B 重合时，此时E 与上底面中心为O 重合，则两异面直线所成的角是1A AO ∠，当E 与1D 重合时，此时点F 与O 重合，则两异面直线所成的角是
1OBC ∠，此二角不相等，故异面直线,AE BF 所成的角不为定值，此命题错误．
综上知①②③正确，故答案为①②③ 【点睛】
本题通过对多个命题真假的判断，综合考查线面平行的判断、线面垂直的判断与性质、棱锥的体积公式以及异面直线所成的角，属于难题.这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题.
19．【解析】由题意可得函数满足即解得即函数的定义域为
解析：513|22,66x k x k k Z ππππ⎧⎫+<<+∈⎨⎬⎩⎭
【解析】
由题意可得，函数lg(12sin )y x =-满足12sin 0x ->，即1
sin 2
x <， 解得
51322,66
k x k k Z ππππ+<<+∈， 即函数lg(12sin )y x =-的定义域为513{|
22,}66
x k x k k Z ππ
ππ+<<+∈. 20．1【解析】【分析】由题意利用余弦定理得到关于AC 的方程解方程即可确定AC 的值【详解】由余弦定理得解得或（舍去）【点睛】本题主要考查余弦定理解三角形的方法方程的数学思想等知识意在考查学生的转化能力和计
解析：1 【解析】 【分析】
由题意利用余弦定理得到关于AC 的方程，解方程即可确定AC 的值. 【详解】
由余弦定理得21393AC AC =++，解得1AC =或4AC =-（舍去）. 【点睛】
本题主要考查余弦定理解三角形的方法，方程的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
三、解答题
21．（Ⅰ）2
2
413
y x +=， 24y x =.（Ⅱ）330x +-=，或330x -=.
【解析】
试题分析：由于A 为抛物线焦点，F 到抛物线的准线l 的距离为12
，则1
2a c -=，又椭
圆的离心率为
1
2
，求出,,c a b ，得出椭圆的标准方程和抛物线方程；则(1,0)A ，设直线AP 方程为设1(0)x my m =+≠，解出P Q 、两点的坐标，把直线AP 方程和椭圆方程联立解出B 点坐标，写出BQ 所在直线方程，求出点D 的坐标，最后根据APD △的面积为
m ，得出直线AP 的方程. 试题解析：（Ⅰ）解：设F 的坐标为(),0c -.依题意，
12c a =，2p a =，1
2
a c -=，解得1a =，12c =
，2p =，于是222
34
b a
c =-=. 所以，椭圆的方程为2
2
413
y x +=，抛物线的方程为24y x =.
（Ⅱ）解：设直线AP 的方程为()10x my m =+≠，与直线l 的方程1x =-联立，可得点
21,P m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，故21,Q m ⎛⎫- ⎪⎝⎭.将1x my =+与2
2
413
y x +=联立，消去x ，整理得
()
2
23460m
y my ++=，解得0y =，或2634
m
y m -=
+.由点B 异于点A ，可得点
222
346,3434m m B m m ⎛⎫-+- ⎪++⎝⎭
.由21,Q m ⎛
⎫- ⎪⎝⎭，可学*科.网得直线BQ 的方程为()222623*********m m x y m m m m ⎛⎫--+⎛⎫⎛⎫-+-+-= ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭，令0y =，解得2
2
2332m x m -=+，故2
223,032m D m ⎛⎫- ⎪+⎝⎭.所以2222
23613232m m AD m m -=-=++.又因为APD V ，故
2
2162232m m m ⨯⨯=+，整理得2320m -+=，解得m =3m =±.
所以，直线AP 的方程为330x -=，或330x -=. 【考点】直线与椭圆综合问题
【名师点睛】圆锥曲线问题在历年高考都是较有难度的压轴题，不论第一步利用椭圆的离心率及椭圆与抛物线的位置关系的特点，列方程组，求出椭圆和抛物线方程，还是第二步联立方程组求出点的坐标，写直线方程，利用面积求直线方程，都是一种思想，就是利用大熟地方法解决几何问题，坐标化，方程化，代数化是解题的关键. 22．（1）6
x π
=-；（2）0；（3）存在[]5,1k ∈--
【解析】
【分析】
（1）由向量平行的坐标表示可求得sin x ，得x 值；
（2）由数量积的坐标表示求出()f x ，结合正弦函数性质可得最值；
（3）计算由()()
0a d b c +⋅+=r u r r r
得k 与sin x 的关系，求出k 的取值范围即可．
【详解】
（1）()sin 1,1b c x +=--r r
Q ，()
//a b c +r r r ，
()2sin sin 1x x ∴-+=-，即1sin 2x =-.又,22x ππ⎡⎤
∈-⎢⎥⎣⎦
，6x π∴=-.
（2）∵()2sin ,1a x =+r ，()2,2b =-r ，()()22sin 22sin 2f x a b x x ∴=⋅=+-=+r r
.
x R ∈Q ，1sin 1x ∴-剟，()04f x ∴剟
，()f x ∴的最小值为0. （3）∵()3sin ,1a d x k +=++r u r ，()sin 1,1b c x +=--r r
， 若()()a d b c +⊥+r u r r r ，则()()
0a d b c +⋅+=r u r r r
，即()()()3sin sin 110x x k +--+=，
()2
2sin 2sin 4sin 15k x x x ∴=+-=+-，由[]sin 1,1x ∈-，得[]5,1k ∈--，
∴存在[]5,1k ∈--，使得()()
a d
b
c +⊥+r u r r r
【点睛】
本题考查平面得数量积的坐标运算，考查正弦函数的性质．属于一般题型，难度不大． 23．（Ⅰ）59[,]22；（Ⅱ）1
(,2[,)2
-∞-⋃+∞）． 【解析】 【分析】 【详解】
试题分析：（Ⅰ）先用零点分段法将()f x 表示分段函数的形式，然后再求定义域；（Ⅱ）利用函数图象求解．
试题解析：（Ⅰ）72,3
()34{1,3427,4
x x f x x x x x x -<=-+-=->剟，它与直线2y =交点的横坐标
为52和92
，
∴不等式()g x 59
[,
]22
． （Ⅱ）函数1y ax =-的图象是过点(0,1)-的直线，
结合图象可知，a 取值范围为1(,2)[,)2
-∞-⋃+∞．
考点：1、分段函数；2、函数的定义域；3、函数的图象． 24．（1）12x x ⎧⎫
>
⎨⎬⎩⎭
；（2）(]0,2 【解析】
分析：(1)将1a =代入函数解析式，求得()11f x x x =+--，利用零点分段将解析式化
为()2,1,2,11,2, 1.x f x x x x -≤-⎧⎪
=-<<⎨⎪≥⎩
，然后利用分段函数，分情况讨论求得不等式()1f x >的解集
为12x x
⎧⎫⎨⎬⎩⎭
； (2)根据题中所给的()0,1x ∈，其中一个绝对值符号可以去掉，不等式()f x x >可以化为
()0,1x ∈时11ax -<，分情况讨论即可求得结果.
详解：（1）当1a =时，()11f x x x =+--，即()2,1,2,11,2, 1.x f x x x x -≤-⎧⎪
=-<<⎨⎪≥⎩
故不等式()1f x >的解集为12x x
⎧⎫⎨⎬⎩⎭
． （2）当()0,1x ∈时11x ax x +-->成立等价于当()0,1x ∈时11ax -<成立． 若0a ≤，则当()0,1x ∈时11ax -≥； 若0a >，11ax -<的解集为20x a <<，所以2
1a
≥，故02a <≤． 综上，a 的取值范围为(]
0,2．
点睛：该题考查的是有关绝对值不等式的解法，以及含参的绝对值的式子在某个区间上恒成立求参数的取值范围的问题，在解题的过程中，需要会用零点分段法将其化为分段函
数，从而将不等式转化为多个不等式组来解决，关于第二问求参数的取值范围时，可以应用题中所给的自变量的范围，去掉一个绝对值符号，之后进行分类讨论，求得结果. 25．（1）15[,]42
（2）(5,3)- 【解析】 【分析】
（1）通过讨论x 的范围，求出不等式的解集即可；
（2）问题等价于关于x 的不等式14x x a ++-<有解，()
min
14x x a ++-<，求出a
的范围即可． 【详解】
解：（1）()1323f x x x a x =++-≤+可转化为
14223x x x ≥⎧⎨
-≤+⎩或114223x x x -<<⎧⎨-≤+⎩或12423x x x ≤-⎧
⎨-≤+⎩
， 解得512x ≤≤或1
14
x ≤<或无解.
所以不等式的解集为15,42⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
.
（2）依题意，问题等价于关于x 的不等式14x x a ++-<有解， 即()
min
14x x a
++-<，
又111x x a x x a a ++-≥+-+=+，当()()10x x a +-≤时取等号. 所以14a +<，解得53a -<<，所以实数a 的取值范围是()5,3-. 【点睛】
含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用。

26．（1）()8004cos cos sin θθθ+， ()1600cos cos ,sin θθθ- 1,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭
；（2）6
π． 【解析】
分析：（1）先根据条件求矩形长与宽，三角形的底与高，再根据矩形面积公式以及三角形面积公式得结果，最后根据实际意义确定sin θ的取值范围；（2）根据条件列函数关系式，利用导数求极值点，再根据单调性确定函数最值取法.
详解：
解：（1）连结PO 并延长交MN 于H ，则PH ⊥MN ，所以OH =10． 过O 作OE ⊥BC 于E ，则OE ∥MN ，所以∠COE =θ， 故OE =40cos θ，EC =40sin θ，
则矩形ABCD 的面积为2×40cos θ（40sin θ+10）=800（4sin θcos θ+cos θ）， △CDP 的面积为
12
×2×40cos θ（40–40sin θ）=1600（cos θ–sin θcos θ）． 过N 作GN ⊥MN ，分别交圆弧和OE 的延长线于G 和K ，则GK =KN =10． 令∠GOK =θ0，则sin θ0=14，θ0∈（0，π
6
）． 当θ∈[θ0，
π
2
）时，才能作出满足条件的矩形ABCD ， 所以sin θ的取值范围是[
1
4
，1）． 答：矩形ABCD 的面积为800（4sin θcos θ+cos θ）平方米，△CDP 的面积为 1600（cos θ–sin θcos θ），sin θ的取值范围是[
1
4
，1）． （2）因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4∶3，
设甲的单位面积的年产值为4k ，乙的单位面积的年产值为3k （k >0）， 则年总产值为4k ×
800（4sin θcos θ+cos θ）+3k ×1600（cos θ–sin θcos θ） =8000k （sin θcos θ+cos θ），θ∈[θ0，π
2
）． 设f （θ）= sin θcos θ+cos θ，θ∈[θ0，
π
2
）， 则()()
()()2
2
2
'sin sin 2sin 1211f cos sin sin sin θθθθθθθθ=--=-+-=--+．
令()'=0f θ，得θ=π6
， 当θ∈（θ0，π
6
）时，()'>0f θ，所以f （θ）为增函数； 当θ∈（
π6，π
2
）时，()'<0f θ，所以f （θ）为减函数， 因此，当θ=π
6
时，f （θ）取到最大值． 答：当θ=
π
6
时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．
点睛：解决实际应用题的步骤一般有两步：一是将实际问题转化为数学问题；二是利用数学内部的知识解决问题.。