2019年全国中考解析 四川成都中考数学试题(精品文档)

2019年四川省成都市初中毕业、升学考试
数学
（满分150分，考试时间120分钟）
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请把最后结果填在题后括号内．1．（2019四川省成都市，1，3）比-3大5的数是
（A）-15 （B）-8 （C）2 （D）8
【答案】C
【解析】列式子计算：-3+5=2，故选C
【知识点】有理数加法
2．（2019四川省成都市，2，3）如图所示的几何体是由6个大小相同的小立方块搭成，它的左视图是
（A）（B）（C）（D）
【答案】B
【解析】从左面看，上层有1个，下层有2个，故选B.
【知识点】三视图
3．（2019四川省成都市，3，3）2019年4月10日，人类首张黑洞照片面世，该黑洞位于室女座一个巨椭圆星系M87的中心，距离地球约5500万光年，将数据5500万用科学记数法表示为
（A）5500×104（B）55×106（C）5.5×107（D）5.5×108
【答案】C
【解析】用科学记数法可以把一个数表示a×10n的形式，其中1≤a＜10，n的值可由小数点移动情况来决定，若原数大于1，n为正整数；若原数小于1，则n为负整数；小数点移动几位，n的绝对值就是几.
【知识点】科学记数法
4．（2019四川省成都市，4，3）在平面直角坐标系中，将点（-2，3）向右平移4个单位长度后得到的点的坐标为
（A）（2，3）（B）（-6，3）（C）（-2，7）（D）（-2，-1）
【答案】A
【解析】点的坐标向右（左）平移a个单位，则点的横坐标加（减）a，本题中点向右平移了4个单位，故横坐标加4，纵坐标不变，选A.
【知识点】点平移的坐标变化规律
5．（2019四川省成都市，5，3）将等腰直角三角形纸片和矩形纸片按如图方式叠放在一起，若∠1=30°，则∠2的度数为
（A）10°（B）15°（C）20°（D）30°
【答案】B
【解析】由平行线的性质可得∠1的内错角也为30°，再用45°减去30°即得∠2度数，故选B . 【知识点】平行线的性质；等腰直角三角形的性质 6．（2019四川省成都市，6，3）下列计算正确的是 （A ）5ab-3a=2b （B ）（-3a 2b ）2=6a 4b 2 （C ）（a-1）2=a 2-1 （D ）2a 2b ÷b=2a 2 【答案】D
【解析】选项A 不是同类项，不能合并；选项B 中-3的平方不能是6；选项C 中完全平方公式用错；D 选项符合单项式除法法则，故选D.
【知识点】幂的乘方；积的乘方；合并同类项；单项式除法法则
7．（2019四川省成都市，7，3）分式方程
12
15=+--x
x x 的解为 （A ）x=-1 （B ）x=1 （C ）x=2 （D ）x=-2
【答案】A
【解析】通过去分母在方程两边同时乘以x （x-1），将分式方程转化为一元一次方程，通过解一元一次方程求得分式方程的解，通过检验验证是否有解. 【知识点】解分式方程 8．（2019四川省成都市，8，3）某校开展了主题为“青春·梦想”的艺术作品征集活动，从九年级五个班收集到的作品数量（单位：件）分别为：42，50，45，46，50，则这组数据的中位数是 （A ）42件 （B ）45件 （C ）46件 （D ）50件 【答案】C
【思路分析】将所有数据按照从小到大（或从大到小）排列，位于最中间的数或者位于最中间的两个数的平均数即为所求中位数.
【解题过程】将5个数据按照从小到大排列：42，45，46，50，50.位于最中间的数是46，故选C. 【知识点】中位数
9．（2019四川省成都市，9，3）如图，正五边形ABCDE 内接于⊙O ，P 为DE 上的一点（点P 不与点D 重合），则∠CPD 的度数为
（A ）30° （B ）36° （C ）60° （D ）72°
E
D
C
B
O
P
【答案】B
【思路分析】求圆周角的度数，可以考虑求所对弧对的圆心角的度数，利用一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半求解.
【解题过程】连接OC、OD，∵五边形ABCDE是正五边形，∴∠COD=72°，∴∠CPD=36°,故选B.
【知识点】正多边形与圆；圆周角定理
E
D
C
B
O
P
10．（2019四川省成都市，10，3）如图，二函数y=ax2+bx+c的图象经过点A（1，0），B（5，0），下列说法正确的是
（A）c＜0 （B）b2-4ac＜0 （C）a-b+c＜0 （D）图象的对称轴是直线x=3
【答案】D
【思路分析】根据二次函数图象的性质及特征点的坐标判断选项的正确性.
【解题过程】根据图象，显然c＞0，故A错；抛物线与x轴有两个交点，则Δ＞0，故B错；当x=-1时，函数值y＞0，所以a-b+c＞0，故C错；A、B两点的纵坐标相同，其中点横坐标为3，故D正确.
【知识点】二次函数图象的性质
二、填空题：本大题共4小题，每小题3分，共12分．不需写出解答过程，请把最后结果填在题中横线上．11．（2019四川省成都市，11，3）若m-1与-2互为相反数，则m的值为_______.
【答案】1
【解析】由两数互为相反数，其和为零列出方程：m+1-2=0，解m=1.
【知识点】相反数；一元一次方程应用
12．（2019四川省成都市，12，3）如图，在△ABC中，AB=AC，点D，E都在边BC上，∠BAD=∠CAE，若BD=9，则CE点长为_________.
B
【答案】9
【解析】∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵∠BAD=∠CAE，∴△ABD≌△AEC，∴CE=BD=9.
【知识点】等腰三角形的性质；全等三角形的判定和性质
13．（2019四川省成都市，13，3）已知一次函数y=（k-3）x+1的图象经过一、二、四象限，则k的取值范围是_______.
【答案】k＜3
【解析】一次函数同时经过了二、四象限，所以k-3＜0，解得k＜3.
【知识点】一次函数图象的性质
14．（2019四川省成都市，14，3）如图，ABCD的对角线AC与BD相交于点O，按以下步骤作图：①以点A为
圆心，以任意长为半径作弧，分别交AO，AB于点M，N；②以点O为圆心,以AM长为半径作弧，交OC于点M′；
③以点M′为圆心，以MN长为半径作弧，在∠COB内部交前面的弧于点N′；④过点N′作射线ON′交BC 于点E.若AB=8，则线段OE的长为________.
A
【答案】4
【解析】根据尺规作图可以判定∠COE=∠CAB，所以OE∥AB，可得OE为△CAB的中位线，从而得到OE等于AB的一半.
【知识点】尺规作图；三角形中位线
三、解答题（本大题共6小题，满分102分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15．（2019四川省成都市，15，12）（本小题满分12分，每题6分）
（1）计算：（π-2）0-2cos30°-16+3-1. （2）解不等式组：⎪⎩⎪
⎨⎧+--≤-②①（x x x x 21
14
2554)23
【思路分析】（1）利用零指数幂、特殊角三角函数值、二次根式化简、去绝对值等知识逐项求得各项结果，相加即可；（2）通过解不等式①和不等式②得到两个解集，求公共解集即可. 【解题过程】（1）原式=1-2×
2
3
-4+3-1=-4 （2）解不等式①得x ≥-1，解不等式②得x ＜2，故不等式组的解集为-1≤x ＜2. 【知识点】零指数幂；特殊角三角函数值；二次根式化简；绝对值；解不等式组
16．（2019四川省成都市，16，6）（本小题满分6分）
先化简，再求值：621234-12++-÷
⎪⎭
⎫ ⎝⎛+x x x x ，其中x=2+1.
【思路分析】先利用分式的加减乘除运算法则将分式化简，再将x 值代入求解. 【解题过程】
()()1
213231)3(2)1(3433
621234-1222-=-+⨯
+-=+-÷
⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++=++-÷
⎪⎭
⎫ ⎝⎛+x x x x x x x x x x x x x x 当x=2+1时，原式=
2
2=2
【知识点】分式的加减；分式的乘除；二次根式化简 17．（2019四川省成都市，17，8）（本小题满分8分）随着科技的进步和网络资源的丰富，在线学习已经成为更多人的自主学习选择，某校计划为学生提供以下四类在线学习方式：在线阅读，在线听课，在线答题和在线讨论，为了解学生需求，该校随机对本校部分学生进行了“你对哪类在线学习方式最感兴趣”的调查，并根据调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图. 根据图中信息解答下列问题：
（1）求本次调查的学生总人数，并补全条形统计图；
（2）求扇形统计图中“在线讨论”对应的扇形圆心角的度数；
（3）该校共有学生2100人，请你估计该校对“在线阅读”最感兴趣的学生人数.
36
42
48
30
24
18
12
6
在线
答题
在线
讨论
在线
阅读
在线
听课
人数
【思路分析】（1）由在线答题的人数占总人数的百分比及人数求出总人数，再求出在线听课的人数，补充完整条形统计图；（2）用在线讨论的人数除以总人数求出百分比，用这个百分比乘以360°得到圆心角度数；（3）求出在线阅读人数的百分比，乘以该校总人数即可.
【解题过程】（1）18÷20%=90；90-24-18-12=36，补全图如下：
36
42
48
30
24
18
12
6
在线
答题讨论
在线
阅读
在线
听课
人数
（2）360×
90
12
=48°
（3）2100×
90
24
=560
答：估计该校对“在线阅读”最感兴趣的学生人数大约有560人.
【知识点】条形统计图；扇形统计图；用样本估计总体
18．（2019四川省成都市，18，8）（本小题满分8分）2019年成都马拉松成为世界马拉松大满贯联盟的候选赛事，这大幅提升了成都市的国际影响力.如图，在一场马拉松比赛中，某人在大楼A处测得起点拱门CD的顶部C 的俯角为35°，底部D的俯角为45°，如果A处离地面的高度AB=20米，求起点拱门CD的高度.（结果精确到1米：参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70）
【思路分析】过点C 作CE ⊥AB 于点E ，在Rt △ADB 中求出BD ，在Rt △ACE 中求AE ，用AB 减去AE 即可. 【解题过程】过点C 作CE ⊥AB 于点E ，在RtABD 中，BD=
45tan AB
=20，∴CE=20，在Rt △ACE 中，AE=CE · tan35°
=20×0.70=14，∴CD=BE=20-14=6.答：拱门高6米.
【知识点】解直角三角形的应用
19．（2019四川省成都市，19，10）（本小题满分10分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y=
2
1
x+5和y=-2x 的图象相交于点A ，反比例函数y=x
k
的图象经过点A. （1）求反比例函数的表达式； （2）设一次函数y=
21x+5点图象与反比例函数y=x
k
的图象的另一个交点为B ，连接OB ，求△ABO 的面积. A
B
O
x
y
E
【思路分析】（1）先通过一次函数y=
21x+5和y=-2x 的图象求出交点A 的坐标，将点A 坐标代入y=x
k
求出k 值；（2） 通过一次函数y=
2
1
x+5与反比例函数组成的方程组求出B 点坐标，进而求△OAB 的面积. 【解题过程】解：（1）解方程组⎪⎩
⎪⎨⎧
-=+=x y x y 252
1得⎩⎨⎧=-=42
y x ，∴点A （-2，4），将点A 坐标代入y=x k 得k=-8，故反比例函数解析式为y=x
8
-
（2）解方程组⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧-=+=x y x y 8
52
1得⎩⎨⎧==1y 8-x ，∴点B （-8,1），设直线AB 与x 轴交于点F ，与y 轴交于点G ，当x=0
时，y=5，当y=0时，x=-10，故F （-10,0），G （0,5），∴S △FOG =21×5×10=25，S △FBO =21×1×10=5，S △AOG =2
1
×2
△x
【知识点】一次函数；反比例函数
20．（2019四川省成都市，20，10）（本小题满分10分）如图，AB 为⊙O 的直径，C ，D 为圆上的两点，OC ∥BD ，弦AD ，BC 相交于点E. （1）求证：=AC CD
（2）若CE=1，EB=3，求⊙O 的半径；
（3）在（2）的条件下，过点C 作⊙O 的切线，交BA 的延长线于点P ，过点P 作PQ ∥CB 交⊙O 于F ，Q 两点（点F 在线段PQ 上），求PQ 的长.
E
B
O
A
D
C
【思路分析】（1）连接OD，利用证明两条弧所对的圆心角相等证明弧等；（2）通过已知证明△CBA∽△CAE得比例式求CA，再进一步利用勾股定理求解；（3）根据已知证明PC∥AE，得比例式求PA，进而求PO，再证△OHP∽△ACB列比例式求OH、PH，进而利用勾股定理求HQ，得PQ.
【解题过程】解：（1）连接OD
∵OC∥BD，
∴∠OCB=∠DBC
∵OB=OC,
∴∠OCB=∠OBC
∴∠OBC=∠DBC
∴∠AOC=∠COD
∴=
AC CD
（2）连接AC，∵=
AC CD
∴∠CBA=∠CAD
∵∠BCA=∠ACE
∴△CBA∽△CAE
∴
CA CB
CE CA
=
∴CA2=CE·CB=CE·（CE+EB）=1×（1+3）=4
∴CA=2
∵AB为⊙O的直径
∴∠ACB=90°
在Rt△ACB中，由勾股定理，得2222
=2+4=25
CA CB
+
∴⊙O5
（3）如图，设AD与CO相交于点N.
∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=90°
∵OC∥BD，
∴∠ANO=∠ADB=90°∵PC为⊙O的切线∴∠PCO=90°
∴∠ANO=∠PCO
∴PC∥AE
∴
1
==
3 PA CE AB EB
∴PA=1
3
AB=
1
3
×25
=
25
3
∴PO=PA+AO=
25
+5=
55
过点O作OH⊥PQ于点H，则∠OHP=90°=∠ACB
∵PQ∥CB
∴∠BPQ=∠ABC
∴△OHP∽△ACB
∴
OP OH PH
AB AC BC
==
∴OH=
55
25
3
==
3
25
AC OP
AB
⨯
，PH
55
410
3
==
3
25
BC OP
AB
⨯
连接OQ
在Rt△OHQ中，由勾股定理，得HQ=()
2
2
22
525
-=5-=
33
OQ OH
⎛⎫
⎪
⎝⎭
∴PQ=PH+HQ=
10+25
3
【知识点】圆中三组量关系；圆周角定理；切线的性质；相似三角形的判定和性质；勾股定理
B 卷（共50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）
21．（2019四川省成都市，21，4） 估算：7.37≈________（结果精确到1）.
【答案】 6 【解析】从被开方数看，值在6~7之间，而6.5的平方为42.25，故其值在6~6.5之间，四舍五入，故精确后为6.
【知识点】算术平方根
22．（2019四川省成都市，22，4）已知x 1、x 2是关于x 的一元二次方程x 2+2x+k-1=0的两个实数根，且x 12+x 22-x 1x 2=13，则k 的值为________.
【答案】-2
【解题过程】利用根与系数关系可得x 1+x 2=-2，x 1·x 2=k-1，∴x 12+x 22-x 1x 2=（x 1+x 2）2-3x 1x 2=13，即（-2）2-3（k-1）
=13，解得k=-2.
【知识点】根与系数关系；解一元一次方程；配方
23．（2019四川省成都市，23，4）一个盒子中装有10个红球和若干个白球，这些球除颜色外都相同，再往该盒子中放入5个相同的白球，摇匀后从中随机摸出一个球，若摸到白球的概率为
75，则盒子中原有的白球的个数为_______.
【答案】20
【解题过程】设原来有白球x 个，根据题意列方程5+51057
x x =++，解x=20 【知识点】概率的求法
24．（2019四川省成都市，24，4）如图，在边长为1的菱形ABCD 中，∠ABC=60°，将△ABD 沿射线BD 的方向平移得到△A ′B ′D ′，分别连接A ′C ，A ′D ，B ′C ，则A ′C+B ′C 的最小值为________.
D′
A'
D A
B B′
【答案】3
【解题过程】解：∵在边长为1的菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，∴AB ＝1，∠ABD ＝30°，∵将△ABD 沿射线BD 的方向平移得到△A 'B 'D '，∴A ′B ′＝AB ＝1，∠A ′B ′D ＝30°，当B ′C ⊥A ′B ′时，A 'C +B 'C 的值最小，∵AB ∥A ′B ′，AB ＝A ′B ′，AB ＝CD ，AB ∥CD ，∴A ′B ′＝CD ，A ′B ′∥CD ，∴四边形A ′B ′CD 是矩形，∠B ′A ′C ＝30°，∴B ′C ＝
，A ′C ＝，∴A 'C +B 'C 的最小值为，故答案为：．
D′
A'
D A
B B′
F
【知识点】菱形的性质；解直角三角形；矩形的性质
25．（2019四川省成都市，25，4） 如图，在平面直角坐标系xOy 中，我们把横、纵坐标都是整数的点称为“整点”，已知点A 的坐标为（5，0），点B 在x 轴的上方，△OAB 的面积为
2
15，则△OAB 的内部（不含边界）的整点的个数为____________.
【答案】4或5或6 【解题过程】解：设B （m ，n ），∵点A 的坐标为（5，0），∴OA ＝5，∵△OAB 的面积＝
5•n ＝， ∴n ＝3，
结合图象可以找到其中的一种情况：（以一种为例）
当2＜m ＜3时，有6个整数点；
当3＜m ＜时，有5个整数点；
当m ＝3时，有4个整数点；
可知有6个或5个或4个整数点；
故答案为4或5或6；
【知识点】点的坐标
二、解答题（本大题共三个小题，共30分，解答过程写在答题卡上）
26．（2019四川省成都市，26，8）（本小题满分8分）随着5G 技术的发展，人们对各类5G 产品的使用充满期待，某公司计划在某地区销售一款5G 产品，根据市场分析，该产品的销售价格将随销售周期的变化而变化，设该产品在第x （x 为整数）个销售周期每台的销售价格为x 元，y 与x 之间的满足如图所示的一次函数关系.
（1）求y 与x 之间的关系式；
（2）设该产品在第x 个销售周期的销售数量为p （万台），p 与x 的关系可以用p=
21x+2
1来描述，根据以上信息，试问：哪个销售周期的销售收入最大？此时该产品每台的销售价格是多少元？
【思路分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）设销售收入为w ，列出w 关于x 的函数关系式，利用二次函数顶点坐标公式求出最大销售收入时x 的值，再代入（1）中函数关系式求y 值即可.
【解题过程】（1）设函数解析式为y=kx+b
则700055000k b k b +=⎧⎨+=⎩解得5007500k b =-⎧⎨=⎩
，∴函数关系式为y=-500x+7500 （2）设第x 个销售周期的销售收入为w ，则w=（-500x+7500）（21x+21）=-250x 2+3500x+3750 当x=7时，w 有最大值为4000
答：第7个销售周期的销售收入最大，此时该产品每台的销售价格是4000元
【知识点】一次函数；待定系数法；二次函数顶点坐标
27．（2019四川省成都市，27，10）（本小题满分10分）如图1，在△ABC 中，AB=AC=20，tanB=4
3，点D 为BC 边上的动点（点D 不与点B 、C 重合），以D 为顶点作∠ADE=∠B ，射线DE 交AC 边于点E ，过点A 作AF ⊥AD 交射线DE 于点F ，连接CF.
（1）求证：△ABD ∽△DCE ；
（2）当DE ∥AB 时（如图2），求AE 的长；
（3）点D 在BC 边上运动的过程中，是否存在某个位置，使得DF=CF ？若存在，求出此时BD 的长；若不存在，请说明理由.
【思路分析】（1）利用一线三等角证明出∠BAD=∠CDE ，再利用等腰三角形得到角等证明相似；（2）作AM ⊥BC
于点M ，解直角三角形求出BM ，进而求得BC ，易证∠BAD=∠ADE=∠EDC=∠B=∠ACB ，从而得∴△ABD ∽△CBA ，通过比例式求BD ，再利用平行线得比例式求AE 长；（3）过点F 作FH ⊥BC 于点H ，过点A 作AM ⊥BC 于点M ，AN ⊥FH 于点N ，易得△AFN ∽△ADM ，从而利用AM 、BM 的值求得tanB 的值，进而求得AN 、CH ，利用DF=CF 条件求出CD ，进而求BD 长.
【解题过程】解：（1）∵AB=AC
∴∠B=∠ACB
∵∠ADE+∠CDE=∠B+∠BAD ，∠ADE=∠B
∴∠BAD=∠CDE
∴△ABD∽△DCE.
（2）过点A作AM⊥BC于点M.
在Rt△ABM中，设BM=4k，则AM=BM·tanB=4k ·3
4
=3k
由勾股定理，得AB2=AM2+BM2
∴202=（3k）2+（4k）2
∴k=4
∵AB=AC，AM⊥BC
∴BC=2BM=2·4k=32
∵DE∥AB
∴∠BAD=∠ADE
又∵∠ADE=∠B，∠B=∠ACB
∴∠BAD=∠ACB
∵∠ABD=∠CBA
∴△ABD∽△CBA
∴
AB DB
CB AB
=
∴DB=
22
2025
322
AB
CB
==
∵DE∥AB
∴
AE BD
AC BC
=
∴AE=
25
20
2
=
32
AC BD
BC
⨯
=
125
16
（3）点D在BC边上运动的过程中，存在某个位置，使得DF=CF.
过点F作FH⊥BC于点H，过点A作AM⊥BC于点M，AN⊥FH于点N，则∠NHM=∠AMH=∠ANH=90°.
∴四边形AMHN为矩形，
∴∠MAN=90°，MH=AN，
∵AB=AC，AM⊥BC，
∴BM=CM=
1
2
BC=
1
2
×32=16
在Rt△ABM中，由勾股定理，得2222
201612
AB BM
-=-=
∵AN⊥FH，AM⊥BC
∴∠ANF=90°=∠AMD
∵∠DAF=90°=∠MAN
∴∠NAF=∠MAD ∴△AFN∽△ADM
∴
3 ==tan=tan=
4 AN AF
ADF B AM AD
∠
∴AN=3
4
AM=
3
4
×12=9
∴CH=CM-MH=CM-AN=16-9=7
当DF=CF时，由点D不与点C重合，可知△DFC为等腰三角形
又∵FH⊥DC
∴CD=2CH=14
∴BD=BC-CD=32-14=18
所以，点D在BC边上运动的过程中，存在某个位置，使得DF=CF，此时BD=18
【知识点】相似三角形的判定和性质；解直角三角形；矩形的性质和判定；等腰三角形的性质
28．（2019四川省成都市，28，12）（本小题满分12分）如图，抛物线y=ax2+bx+c经过点A（-2，5），与x轴相交于B（-1，0），C（3，0）两点.
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）点D在抛物线的对称轴上，且位于x轴的上方，将△BCD沿直线BD翻折得到△BC′D，若点C′恰好落在抛物线的对称轴上，求点C′和点D的坐标；
（3）设P是抛物线上位于对称轴右侧的一点，点Q在抛物线的对称轴上，当△CPQ为等边三角形时，求直线BP 的函数表达式.
【思路分析】（1）直接利用待定系数法求解；（2）设抛物线的轴对称性与x轴交于点H，可得BH=1
2
BC=
1
2
BC′，
则利用三角函数易得∠ABC=60°，从而通过直角三角形和等腰三角形易得C′和D点坐标；（3）分类讨论：①当点P在x轴上方时，点Q在x轴上方，连接BQ，C′P，利用（2）条件构造△BCQ≌△C′CP，进而得到C′P=CQ=CP，从而得到BP是CC′垂直平分线，可得D点在BP上，利用B、D坐标求直线解析式；②当
点P在x轴下方时，点Q在x轴下方同理可求. 【解题过程】
解：（1）由题意，得
425
0 930 a b c
a b c
a b c
-+=⎧
⎪
-+=
⎨
⎪++=⎩
解得
1
2
3 a
b
c
=
⎧
⎪
=-⎨
⎪=-⎩
∴抛物线的函数表达式为y=x2-2x-3
（2）∵抛物线与x轴的交点为B（-1,0）、C（3,0）
∴BC=4，抛物线的对称轴为直线x=1
设抛物线的对称轴与x轴交于点H，则H点的坐标为（1,0），BH=2 由翻折得C′B=CB=4
在Rt△BHC′中，由勾股定理，得C′
∴点C′的坐标为（
），tan∠C′
BH=
C H
BH
′
∴∠C′BH=60°
由翻折得∠DBH=1
2
∠C′BH=30°
在Rt△BHD中，DH=BH·tan∠DBH=2·tan30°
=
3
∴点D的坐标为（1
）
（3）取（2）中的点C′，D，连接CC′
∵BC′=BC，∠C′BC=60°，∴△C′CB为等边三角形分类讨论如下：
①当点P在x轴上方时，点Q在x轴上方
连接BQ，C′P，∵△PCQ，△C′CB为等边三角形
∴CQ=CP，BC=C′C，∠PCQ=∠C′CB=60°
∴∠BCQ=∠C′CP
∴△BCQ≌△C′CP
∴BQ=C′P
∵点Q在抛物线的对称轴上，
∴BQ=CQ
∴C′P=CQ=CP
又∵BC′=BC
∴BP垂直平分CC′
由翻折可知BD垂直平分CC′
∴点D在直线BP上
设直线BP的函数表达式为y=kx+b
则
0=-k+b
23
3
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
解得
3
3
3
k
b
⎧
=
⎪⎪
⎨
⎪=
⎪⎩
∴直线BP的函数表达式为y=
3
3
x+
3
3
②当点P在x轴下方时，点Q在x轴下方∵△QCP，△C′CB为等边三角形
∴CP = CQ，BC=C′C，∠C′CB=∠QCP=60°∴∠BCP=∠C′CQ
∴△BCP≌△C′CQ
∴∠CBP=∠CC′Q
∵BC′=CC′，C′H⊥BC
∴∠CC′Q=1
2
∠CC′B=30°
∴∠CBP=30°
设BP与y轴相交于点E
在Rt△BOE中，OE=OB·tan∠CBP=OB·tan30°=1
33∴点E的坐标为（0，
3
设直线BP的函数表达式为y=k′x+b′
则
0-+
3
-=
k b
b
=
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
′′
解得
3
=-
3
=-
3
k
b
⎧
⎪⎪
⎨
⎪
⎪⎩
′
′
∴直线BP的函数表达式为y=-
3
3
x-
3
3
综上所述，直线BP的函数表达式为y=
3
x+
3
或y=-
3
x-
3
【知识点】待定系数法；轴对称性；等边三角形的性质；全等三角形的判定和性质；解直角三角形。