统计学故事（例子）

谁获利？
——概率论的产生与发展
街头有人席地设摊，白布上醒目地写着：“有奖抽签销售”，任何人都可以免费从摊主小布口袋中的20个小球（其中有10个红球，10个蓝球）中摸出10个，除摸得5红5蓝这种情况外，其他各种情况均可马上获得奖金（或实物）。

奖金设臵如下：摸得10红或10蓝者奖50元；摸得9红1蓝或9蓝1红者奖25元；摸得8红2蓝或8蓝2红者奖5元；摸得7红3蓝或7蓝3红者奖1.5元；摸得6红4蓝或6蓝4红奖0.5元。

但摸得5红5蓝者必须用6元钱向摊主购买两双袜子。

这种免费抽签的有奖销售谁获利呢？
如果学过概率论与数理统计的有关知识，你就能知道最后获利的是谁。

概率论是研究大量随机现象的统计规律的一门数学。

近几十年来，随着科学技术的飞速发展，概率论大量应用于国民经济、工农业生产、近代物理、气象、地震、生物、医学等部门。

一些新兴的应用数学学科，如信息论、对策论、控制论等，几乎无一不以概率为基础，概率论的发展正方兴未艾。

最早研究概率的，可能要算十六世纪意大利数学和医学教授卡尔达诺，他天资聪明，有着有趣而丰富的经历。

在一生中超过40年的时间里，他几乎每天都参与赌博，而且是带着数学的头脑去观察、去思考。

最终，在一本名叫《机会性游戏手册》的书中，他公布了调查和思考的结果和关于赌博实践的体会。

这本书写于1526年左右，但一直到一百多年后的1663年才出版。

书中已包含了等可能性事件的概率的思想萌芽，即一个特殊结果的概率是所有达到这个结果的可能方法的数目被一个事件的所有可能结果的总和所除。

从书中可以看到关于骰子的问题由经验向理论概率思想的第一次转变。

从这一角度来讲，概率论这一数学分支应当以此作为起点，但是这种观点并未得到广泛的认可。

数学史学家大多赞同这样一个观点：“点数问题”的解法的探讨成为数学化概率学科产生的标志之一。

一个具体的有关“点数问题”的例子是法国的德〃梅勒提出来的。

德〃梅勒是一位军人、语言学家、古典学者，同时也是一个有能力、有经验的赌徒。

虽然他不是一个全职的数学家，但他经常从数学的角度提出和思考赌博中出现的一些有深度的问题。

他提出的“点数问题”的形式是：假设两个赌博者（德〃梅勒和他的一个朋友）每人出30枚金币，两人各自选取一个点数，谁选择的点数首先被掷出3次，谁就羸得全部的赌注。

在游戏进行了一会儿后，德〃梅勒选择的点数“5”出现了2次，而他的朋友选择的点数“3”只出现了1次。

这时候，德〃梅勒由于一个紧急事情必须离开，游戏不得不中止。

他们该如何分配赌桌上60个金币的赌注呢？将这个问题一般化即是“相赌若干局，谁先赢s局谁胜，现一人赢a(a<s)局，另一人赢b(b<s)局，赌止，问赌本怎样分法合理？”两个赌徒各执已见，争论不下。

后来，德〃梅勒将这个问题告诉了帕斯卡，帕斯卡对此也很感兴趣，又写信告诉了费马。

于是在这两位
伟大的法国数学家之间开始了具有划时代意义的通信，他们作了深入的探讨，并相互独立地得到不同的解法及相同的结果。

在概率论的历史上，一般的传统观点则把这一事件看作为概率论的起始标志。

惠更斯知道这个“点数问题”后，也加入讨论并将他的解法写入《论赌博中的计算》一书，这是概率论最早的论著。

十七、十八世纪之交，有不少的数学家从事过概率的研究。

伯努利的巨著《猜度术》就是一项重大的成就，其中的“伯努利定理”就是“大数定理”的最早形式，之后，棣莫佛和辛普生又作了巨大的推进。

十八世纪，法国的布丰在《概率算术试验》中导入“投针问题”，用频率来近似地代替概率，可以完全不借助几何知识和方法，求出“π”的结果。

十九世纪，概率论有了飞跃的进展，拉普拉斯的经典著作《分析概率论》总结了这一时代的概率论的研究，提出了概率的古典定义。

高斯奠定了最小二乘法和误差论的基础。

泊松推广了“大数定律”，引入了十分重要的“泊松分布”，切比雪夫和他的学生马尔可夫分别创建了“大数定律”和“马尔可夫链”。

到二十世纪30年代，苏联的柯尔莫戈洛夫以勒贝格的测度论为基础，给出了概率论的公理体系，影响颇大。

社会在发展，科学在进步，概率论以它特有的魅力激励着越来越多的科学技术工作者不断推广应用和发展创新，它是数学中一门方兴未艾的学科。

让我们来看看本文开头摊主设奖的各种情况的概率：
从20个球中任意摸得10个的组合数为184756；
摸得10红或10蓝的组合数为：2，其概率为0.0000108；
摸得9红1蓝或9蓝1红的组合数为：200，其概率为0.0010825；
摸得8红2蓝或8蓝2红的组合数为：4050，其概率为0.0219208；
摸得7红3蓝或7蓝3红的组合数为：28800，其概率为0.1558813；
摸得6红4蓝或6蓝4红的组合数为：88200，其概率为0.4773864；
摸得5红5蓝的组合数为：65304，其概率为0.3437182。

这就是说，按摸10000次计，出现全红或全蓝的可能性是0.11次；9红1蓝或9蓝1红的可能性是11次；8红2蓝或8蓝2红的可能性是219次；7红3蓝或7蓝3红的可能性是1559次；6红4蓝或6蓝4红的可能性是4774次；5红5蓝的可能性是3437次。

仍按摸一万次计算，摊主的支出部分为：
50元奖金：50元×0.11=5.5元；
25元奖金：25元×11=275元；
5元奖金：5元×219=1095元；
1.5元奖金： 1.5×元1559=2338.5元；
0.5元奖金：0.5元×4774=2387元；
两双袜子的成本为2元，2元×3437=6874元。

摸一万次，摊主的支出部分为12975元，而摊主的收入部分为6元×3437=20622元，这就是说，摸奖一万次，摊主净收入为7647元。

有人在现场作过统计，在一小时内共有42人摸了141次，5红5蓝出现48次，占34%，5元奖金只出现2次，其余都是0.5元和1.5元的奖金，摊主卖出袜子96双，计算百分比，可以发现接近上述的理论数字。

如果每天有人摸500次，则摊主每天有350—400元的纯收入。

【附录】
一、【概率译名种种】
概率（Probability），现在的译名是概率，但过去很长一段时间译名很乱。

清朝的傅兰雅、华蘅芳在1896年合译概率论的书时，取名为《决疑数学》，后来“Probability”又被译为“可遇率”，在段育华、周元瑞的《算学辞典》里又被译为“或是率”，薛德炯等译《代数学辞典》时又译成“或然率”，赵缭的《数学辞典》中译为“公算”，倪德基等《数学辞典》中译为“适遇”，而日本叫做“确率”。

还有多种译名，如“可能率”、“机率”、“盖然率”、“信率”等等。

1935年国立编译馆《数学名词》将译名定为“几率”或“概率”。

解放后，中国科学院1956年编《数学名词》和1958年编《俄中数学名词》仍然是“概率”、“几率”并用，但这段时期的教材和其他书籍大多是用“概率”。

后来，中国科学院于1964年编《数学名词补编》和1974年《英汉数学词汇》将“Probability”定为“概率”，沿用至今。

二、【华蘅芳简介】
华蘅芳（1833年～1902年）我国清代自学成才的数学家。

江苏金匮（今无锡市）人。

14岁时，华蘅芳结识了比他大15岁、无意仕途、专攻古代科学技术的学问的徐寿。

徐寿很快就替华蘅芳借到程大位著的数学书《直指算法统宗》。

华蘅芳如获至宝朝夕研读，闯过一道道难关，弄清了书中道理。

由于从书中尝到了甜头，他逐渐把自己的精力集中到钻研数学上来。

华蘅芳家中有不少藏书，但很少数学书。

喜欢读书的父亲见他对数学有那么强烈的兴趣，就想方设法弄到了《周髀算经》、《九章算术》、《孙子算经》、《测海圆镜》等各种古代算书。

从16岁到19岁，华蘅芳利用三年多时间，对中国古代数学著作进行了认真研读。

他不仅如饥似渴地吸取前人的研究成果，还特别注意独立思考，力求“推理阐发”，提出自己的见解。

后来，华蘅芳深深认识到：“算学的奥秘，真是无穷无尽，要探索这里面的奥秘，就得眼向四方。

”他对近代数学产生了浓厚的兴趣。

他到上海走访了数学家李善兰。

当时，李善兰正和伟烈亚力合作翻译一本外国数学著作《代微积拾级》，但翻译工作尚未完成。

华蘅芳求知心切，自己动手抄录已译好的部分稿本学习。

经过多年自学，进入中年的华蘅芳在继承我国古代数学遗产的基础上，又踏上了世界近代数学的新高点，成为我国近代有名的数学家之一。

华蘅芳致力于科学知识的传播。

他跟人合作，翻译了不少科技书籍。

其中有《代数术》25卷，《微积溯源》8卷，《三角数理》12卷，《合数术》（关于对数表造法）11卷，《代数难题解法》16卷，《决疑数学》（关于概率论的书）10卷，此外还有《金石识别》（关于矿物学的书）《地学浅释》（关于地质学的书）等著作。

从40岁起，华蘅芳怀着“上可无愧于古人，下可有裨于后学”的强烈愿望，在继续从事译书工作的同时，奋力著书立说，他的数学著作，后来汇编成《行素轩算稿》6种共23卷，一直流传到现在。

华蘅芳的数学著作中，有不少具有独创性的研究成果。

特别是在《积较（演）术》（关于“逐差法”的书）中，他提出的某些见解，是前人没有提过的，对“逐差法”的推行起到很好的作用。

55岁以后，华蘅芳把主要精力放在讲学方面。

他到处讲学，“成就学生甚众”，为我国培育了许多科技人才。

华蘅芳一生还有不少其他成就。

如他验证了抛物线说，探索了光的奥秘，跟徐寿合作建造了我国第一艘近代机动轮船等。