高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.3.1 抛物线及其标

抛物线及其标准方程
(25分钟60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1.(2014·安徽高考)抛物线y=x2的准线方程是( )
A.y=-1
B.y=-2
C.x=-1
D.x=-2
【解析】选A.y=x2⇔x2=4y，所以抛物线的准线方程是y=-1.
2.(2015·大连高二检测)点M(5，3)到抛物线y=ax2准线的距离为6，那么抛物线的方程是( )
A.y=12x2
B.y=12x2或y=-36x2
C.y=-36x2
D.y=x2或y=-x2
【解析】选D.分两类a>0，a<0可得y=x2，y=-x2.
3.抛物线y2=ax(a≠0)的焦点到其准线的距离是( )
A. B. C.|a| D.-
【解析】选B.因为y2=ax，所以p=，即焦点到准线的距离为.故选B.
4.探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分,光源位于抛物线的焦点处,已知灯口的直径为60cm,灯深40 cm,则抛物线的标准方程可能是( )
A.y2=x
B.y2=x
C.x2=-y
D.x2=-y
【解析】选C.如果设抛物线的方程为y2=2px(p>0),则抛物线过点(40,30),302=2p×40,2p=,所以抛物线的方程应为y2=x,所给选项中没有y2=x,但方程x2=-y中的“2p”的值为,所以选项C符合题意.
5.(2015·重庆高二检测)O为坐标原点，F为抛物线C：y2=4x的焦点，P为C上一点，若|PF|=4，则△POF的面积为( )
A.2
B.2
C.2
D.4
【解题指南】由|PF|=4及抛物线的定义求出点P的坐标，进而求出面积.
【解析】选C.抛物线C的准线方程为x=-，焦点F(，0)，由|PF|=4及抛物线的定义知，P点
的横坐标x P=3，从而y P=±2，
所以=|OF|·|y P|=××2=2.
二、填空题(每小题5分，共15分)
6.(2015·邢台高二检测)若点P到直线y=-1的距离比它到点(0，3)的距离小2，则点P的轨迹方程是________.
【解析】由题意可知点P到直线y=-3的距离等于它到点(0，3)的距离，故点P的轨迹是以点(0，3)为焦点，以y=-3为准线的抛物线，且p=6，所以其标准方程为x2=12y.
答案：x2=12y
7.若抛物线y2=-2px(p>0)上有一点M，其横坐标为-9，它到焦点的距离为10，则点M的坐标为________. 【解析】由抛物线方程y2=-2px(p>0)，得其焦点坐标为F(-，0)，准线方程为x=，设点M到准线的距离为d，则d=|MF|=10，即-(-9)=10，
所以p=2，故抛物线方程为y2=-4x.
将M(-9，y)代入抛物线方程，得y=±6，
所以M(-9，6)或M(-9，-6).
答案：(-9，-6)或(-9，6)
【补偿训练】(2015·皖南八校联考)若抛物线y2=2x上一点M到坐标原点O的距离为，则点M到抛物线焦点的距离为________.
【解析】设M(x，y)，则由
得x2+2x-3=0.
解得x=1或x=-3(舍).
所以点M到抛物线焦点的距离d=1-=.
答案：
8.已知F是抛物线y=x2的焦点，P是该抛物线上的动点，则线段PF中点的轨迹方程是________.
【解析】由y=x2得x2=4y，所以F(0，1).设线段PF的中点M(x，y)，P(x0，y0)，则
即又P(x0，y0)在x2=4y上，
故4x2=4(2y-1)，得x2=2y-1.
答案：x2=2y-1
三、解答题(每小题10分，共20分)
9.(2015·吉林高二检测)已知动圆M与直线y=2相切，且与定圆C：x2+(y+3)2=1外切，求动圆圆心M的轨迹方程.
【解题指南】设动圆圆心为M(x，y)，半径为r，则由题意可得M到C(0，-3)的距离与到直线y=3的距离相等，则动圆圆心的轨迹是一条抛物线，其方程易求.
【解析】设动圆圆心为M(x，y)，半径为r，
则由题意可得M到C(0，-3)的距离与到直线y=3的距离相等，
则动圆圆心的轨迹是以C(0，-3)为焦点，y=3为准线的一条抛物线，其方程为x2=-12y.
10.某河上有一座抛物线形的拱桥，当水面距拱顶5米时，水面宽8米.一木船宽4米，高2米，载货的木船露在水面上的部分为0.75米，当水面上涨到与拱顶相距多少时，木船开始不能通航？
【解题指南】先建立平面直角坐标系，确定抛物线的方程，由对称性知，木船的轴线与y轴重合，问题转化为求出x=2时的y值.
【解析】以桥的拱顶为坐标原点，拱高所在的直线为y轴建立直角坐标系(如图).
设抛物线的方程是x2=-2py(p>0)，
由题意知(4，-5)在抛物线上，
故：16=-2p×(-5)⇒p=，
则抛物线的方程是x2=-y(-4≤x≤4)，
设水面上涨，木船两侧面与抛物线形拱桥接触于B，B′时，木船开始不能通航.
设B(2，y′)，所以22=-y′⇒y′=-，即水面与拱顶相距为0.75+=2(米)，
故当水面上涨到与抛物线形的拱顶相距2米时，木船开始不能通航.
(20分钟40分)
一、选择题(每小题5分，共10分)
1.(2015·武汉高二检测)若点P到点F(0，2)的距离比它到直线y+4=0的距离小2，则点P的轨迹方程为( )
A.y2=8x
B.y2=-8x
C.x2=8y
D.x2=-8y
【解析】选C.由题意知点P到点F(0，2)的距离比它到直线y+4=0的距离小2，因此点P到点F(0，2)的距离与到直线y+2=0的距离相等，故点P的轨迹是以F为焦点，y=-2为准线的抛物线，其方程为x2=8y.
2.已知点A(2，0)，抛物线C：x2=4y的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，则|FM|∶|MN|= ( )
A.2∶
B.1∶2
C.1∶
D.1∶3
【解题指南】利用射线FA的斜率和抛物线的定义求解.
【解析】选C.射线FA的方程为x+2y-2=0(x≥0).
由条件知tanα=，所以sinα=，
由抛物线的定义知|MF|=|MG|，
所以==sinα==.故选C.
二、填空题(每小题5分，共10分)
3.边长为1的等边三角形AOB,O为原点,AB⊥x轴,以O为顶点,且过A,B的抛物线方程是________.
【解析】根据题意可知抛物线以x轴为对称轴,当开口向右时,A(,),设抛物线方程为y2=2px,则有=2p·,所以p=.
抛物线方程为y2=x,同理可得,当开口向左时,抛物线方程为y2=-x.
答案:y2=±x
4.(2015·上饶高二检测)已知P是抛物线y2=4x上一动点,则点P到直线l:2x-y+3=0和y轴的距离之和的最小值是________.
【解析】由题意知,抛物线的焦点为F(1,0).设点P到直线l的距离为d,由抛物线的定义可知,点P到y轴的距离为|PF|-1,所以点P到直线l的距离与到y轴的距离之和为d+|PF|-1.易知d+|PF|的最小值为点F 到直线l的距离,故d+|PF|的最小值为=,所以d+|PF|-1的最小值为-1.
答案:-1
三、解答题(每小题10分，共20分)
5.(2015·温州高二检测)已知点A(0，4)和抛物线y2=2px(p>0)的焦点F，若线段FA的中点B在抛物线上，求B到该抛物线准线的距离.
【解析】依题意可知F的坐标为(，0)，
所以B的坐标为(，2)代入抛物线方程得p=2，
所以抛物线准线方程为x=-，
所以点B到抛物线准线的距离为+=.
6.抛物线y2=2px(p>0)有一个内接直角三角形，直角顶点是原点，一条直角边所在直线方程为y=2x，斜边长为5，求此抛物线方程.
【解析】设抛物线y2=2px(p>0)的内接直角三角形为AOB，直角边OA所在直线方程为y=2x，另一直角边所在直线方程为y=-x.
解方程组可得点A的坐标为(，p)；
解方程组可得点B的坐标为(8p，-4p).
因为|OA|2+|OB|2=|AB|2，且|AB|=5，
所以(+p2)+(64p2+16p2)=325.
所以p=2，所以所求的抛物线方程为y2=4x.。