2020-2021高中三年级数学下期末模拟试题及答案

2020-2021高中三年级数学下期末模拟试题及答案
一、选择题
1．如图，12,F F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的左、右焦点，过2F 的直线与双曲线C 交于,A B 两点．若11::3:4:5AB BF AF =，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A ．23y x =±
B ．2y x =±
C ．3y x =
D ．2y x =±
2．某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4为朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有
A ．4种
B ．10种
C ．18种
D ．20种 3．在下列区间中，函数()43x f x e x =+-的零点所在的区间为（ ）
A ．1,04⎛⎫- ⎪⎝⎭
B ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭
C ．11,42⎛⎫ ⎪⎝⎭
D ．13,24⎛⎫ ⎪⎝⎭ 4．已知非零向量a b r r ，满足2a b r r =，且b a b ⊥r r r （–），则a r 与b r 的夹角为 A ．π6 B ．π3
C ．
2π3 D ．5π6 5．已知平面向量a v ,b v 是非零向量,|a v |=2,a v ⊥(a v +2b v ),则向量b v 在向量a v 方向上的投影为( )
A ．1
B ．-1
C ．2
D ．-2
6．某单位有职工100人，不到35岁的有45人，35岁到49岁的有25人，剩下的为50岁以上（包括50岁）的人，用分层抽样的方法从中抽取20人，各年龄段分别抽取的人数为（ ）
A ．7，5，8
B ．9，5，6
C ．7，5，9
D ．8，5，7
7．已知函数()(3)(2ln 1)x f x x e a x x =-+-+在(1,)+∞上有两个极值点，且()f x 在(1,2)上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．(,)e +∞
B ．2(,2)e e
C ．2(2,)e +∞
D ．22(,2)(2,)e e e +∞U
8．2n n +<n+1(n∈N *),某同学应用数学归纳法的证明过程如下:
(1)当n=1时211+不等式成立.
(2)假设当n=k(k∈N *)时,不等式成立,<k+1.
那么当n=k+1
时=< 所以当n=k+1时,不等式也成立.
根据(1)和(2),可知对于任何n ∈N *,不等式均成立.
则上述证法（ ）
A ．过程全部正确
B ．n=1验得不正确
C ．归纳假设不正确
D ．从n=k 到n=k+1的证明过程不正确 9．函数()()sin 22f x x πϕϕ⎛
⎫=+< ⎪⎝⎭的图象向右平移6
π个单位后关于原点对称，则函数()f x 在,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
上的最大值为（）
A ．
B
C ．12
D ．12
- 10．已知全集{}1,0,1,2,3U =-，集合{}0,1,2A =，{}1,0,1B =-，则U A B =I ð（ ） A ．{}1-
B ．{}0,1
C ．{}1,2,3-
D ．{}1,0,1,3-
11．在等比数列{}n a 中，44a =，则26a a ⋅=（ ）
A ．4
B ．16
C ．8
D ．32
12．设,a b ∈R ，数列{}n a 中，211,n n a a a a b +==+，N n *∈ ,则（ ）
A ．当101,102b a =>
B ．当101,104
b a => C ．当102,10b a =-> D ．当104,10b a =->
二、填空题
13．设n S 是等差数列{}*()n a n N ∈的前n 项和，且141,7a a ==，则5______S =
14．函数()22,026,0x x f x x lnx x ⎧-≤=⎨-+>⎩
的零点个数是________． 15．已知圆锥的侧面展开图是一个半径为2cm ，圆心角为
23π的扇形，则此圆锥的高为________cm .
16．设正数,a b 满足21a b +=，则11a b
+的最小值为__________． 17．已知复数z=（1+i ）（1+2i ）,其中i 是虚数单位，则z 的模是__________
18．已知函数()(ln )f x x x ax =-有两个极值点,则实数a 的取值范围是__________．
19．抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出.现有抛物线2
2(0)y px p =>，如图一平行于x 轴的光线射向抛物线，经两次反射后沿平行x 轴方向射出，若两平行光线间的最小距离为4，则该抛物线的方程为__________．
20．在ABC ∆中，若13AB =3BC =，120C ∠=︒，则AC =_____．
三、解答题
21．已知数列{}n a 满足1112,22n n n a a a ++==+.
（1）设2n n n
a b =，求数列{}n b 的通项公式； （2）求数列{}n a 的前n 项和n S ；
（3）记()()211422n n
n n n n n c a a +-++=，求数列{}n c 的前n 项和n T .
22．设椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的左焦点为F ，右顶点为A ，离心率为12.已知A 是抛物线22(0)y px p =>的焦点，F 到抛物线的准线l 的距离为
12
. （I ）求椭圆的方程和抛物线的方程；
（II ）设l 上两点P ，Q 关于x 轴对称，直线AP 与椭圆相交于点B （B 异于点A ），直线BQ 与x 轴相交于点D .若APD △6AP 的方程. 23．已知向量()2sin ,1a x =+r ，()2,2b =-r ，()sin 3,1c x =-r ，
()1,d k =u r (),x R k R ∈∈ （1）若,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，且()//a b c +r r r ，求x 的值. （2）若函数()f x a b =⋅r r ，求()f x 的最小值.
（3）是否存在实数k ，使得()()
a d
b
c +⊥+r u r r r ？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，请说明理由.
24．在直角坐标平面内，以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知点
A ，
B 的极坐标分别为()π42，，5π4⎛⎫ ⎪⎝⎭
，，曲线C 的方程为r ρ=（0r >）．
（1）求直线AB 的直角坐标方程；
（2）若直线AB 和曲线C 有且只有一个公共点，求r 的值． 25．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边a ，b ，c ，且a c >，已知2BA BC ⋅=u u u r u u u r ，1cos 3
B =，3b =，求： （1）a 和c 的值；
（2）cos()B C -的值.
26．已知数列{}n a 与{}n b 满足：*1232()n n a a a a b n N ++++=∈L ，且{}n a 为正项等比
数列，12a =，324b b =+.
（1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式；
（2）若数列{}n c 满足*221
1()log log n n n c n N a a +=∈，n T 为数列{}n c 的前n 项和，证明：1n T <.
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一、选择题
1．A
解析：A
【解析】
【分析】 设1123,4,5,AB BF AF AF x ====，利用双曲线的定义求出3x =和a 的值，再利用勾股定理求c ，由b y x a =±
得到双曲线的渐近线方程. 【详解】 设1123,4,5,AB BF AF AF x ====，
由双曲线的定义得：345x x +-=-，解得：3x =，
所以12||F F =
=c ⇒=
因为2521a x a =-=⇒=
，所以b =
所以双曲线的渐近线方程为b y x a =±
=±. 【点睛】
本题考查双曲线的定义、渐近线方程，解题时要注意如果题干出现焦半径，一般会用到双
曲线的定义，考查运算求解能力.
2．B
解析：B
【解析】
【分析】
【详解】
分两种情况：①选2本画册，2本集邮册送给4位朋友，有C 42＝6种方法；②选1本画册，3本集邮册送给4位朋友，有C 41＝4种方法．所以不同的赠送方法共有6＋4＝10(种)．
3．C
解析：C
【解析】
【分析】
先判断函数()f x 在R 上单调递增，由104102f f ⎧⎛⎫< ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪> ⎪⎪⎝⎭⎩
,利用零点存在定理可得结果. 【详解】
因为函数()43x f x e x =+-在R 上连续单调递增， 且114411221143204411431022f e e f e e ⎧⎛⎫=+⨯-=-<⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=+⨯-=-> ⎪⎪⎝⎭
⎩, 所以函数的零点在区间11,42⎛⎫
⎪⎝⎭
内，故选C. 【点睛】 本题主要考查零点存在定理的应用，属于简单题.应用零点存在定理解题时，要注意两点：（1）函数是否为单调函数；（2）函数是否连续.
4．B
解析：B
【解析】
【分析】
本题主要考查利用平面向量数量积计算向量长度、夹角与垂直问题，渗透了转化与化归、数学计算等数学素养．先由()a b b -⊥r r r 得出向量,a b r r 的数量积与其模的关系，再利用向量夹角公式即可计算出向量夹角．
【详解】 因为()a b b -⊥r r r ，所以2()a b b a b b -⋅=⋅-r r r r r r =0，所以2a b b ⋅=r r r ，所以
cos θ=22||122||
a b b b a b ⋅==⋅r r r r r r ，所以a r 与b r 的夹角为3π，故选B ． 【点睛】
对向量夹角的计算，先计算出向量的数量积及各个向量的摸，在利用向量夹角公式求出夹角的余弦值，再求出夹角，注意向量夹角范围为[0,]π．
5．B
解析：B
【解析】
【分析】 先根据向量垂直得到a r g (a r +2b r ),=0，化简得到a r g b r =﹣2，再根据投影的定义即可求出．
【详解】
∵平面向量a r ,b r 是非零向量,|a r |=2,a r ⊥(a r +2b r ),
∴a r g (a r +2b r
),=0， 即()
2·20a a b +=v v v
即a r g b r =﹣2 ∴向量b r 在向量a r 方向上的投影为·22
a b a -=v v v =﹣1， 故选B ．
【点睛】
本题主要考查向量投影的定义及求解的方法，公式与定义两者要灵活运用．解答关键在于要求熟练应用公式．
6．B
解析：B
【解析】
【分析】
分层抽样按比例分配,即可求出各年龄段分别抽取的人数.
【详解】 由于样本容量与总体中的个体数的比值为2011005
=，故各年龄段抽取的人数依次为14595⨯=，12555
⨯=，20956--=.故选：B 【点睛】
本题考查分层抽样方法,关键要理解分层抽样的原则,属于基础题.
7．C
解析：C
【解析】
求得函数的导数()(2)()x xe a f x x x
-'=-⋅，根据函数()f x 在(1,)+∞上有两个极值点，转化为0x xe a -=在(1,)+∞上有不等于2的解，令()x
g x xe =，利用奥数求得函数的单调性，得到()1a g e >=且()222a g e ≠=，又由()f x 在(1,2)上单调递增，得到
()0f x '≥在(1,2)上恒成立，进而得到x a xe ≥在(1,2)上恒成立，借助函数()x g x xe =在(1,)+∞为单调递增函数，求得2(2)2a g e >=，即可得到答案.
【详解】
由题意，函数()(3)(2ln 1)x
f x x e a x x =-+-+， 可得2()(3)(1)(2)()(2)()x x x
x a xe a f x e x e a x e x x x x -'=+-+-=--=-⋅， 又由函数()f x 在(1,)+∞上有两个极值点，
则()0f x '=，即(2)()0x xe a x x
--⋅=在(1,)+∞上有两解， 即0x xe a -=在在(1,)+∞上有不等于2的解，
令()x g x xe =，则()(1)0,(1)x
g x x e x '=+>>， 所以函数()x
g x xe =在(1,)+∞为单调递增函数， 所以()1a g e >=且()2
22a g e ≠=， 又由()f x 在(1,2)上单调递增，则()0f x '≥在(1,2)上恒成立， 即(2)()0x xe a x x
--⋅≥在(1,2)上恒成立，即0x xe a -≤在(1,2)上恒成立， 即x a xe ≥在(1,2)上恒成立，
又由函数()x g x xe =在(1,)+∞为单调递增函数，所以2
(2)2a g e >=， 综上所述，可得实数a 的取值范围是22a e >，即2
(2,)a e ∈+∞，故选C. 【点睛】
本题主要考查导数在函数中的综合应用，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用.
8．D
解析：D
【解析】
【分析】
题目中当n=k+1时不等式的证明没有用到n=k 时的不等式，正确的证明过程如下：
在（2）中假设n k = 1k <+ (1)1k ++成立，即1n k =+时成立，故选D ．
点睛：数学归纳法证明中需注意的事项
(1)初始值的验证是归纳的基础，归纳递推是证题的关键，两个步骤缺一不可．
(2)在用数学归纳法证明问题的过程中，要注意从k 到k ＋1时命题中的项与项数的变化，防止对项数估算错误．
(3)解题中要注意步骤的完整性和规范性，过程中要体现数学归纳法证题的形式.
9．B
解析：B
【解析】
【分析】
由条件根据函数()sin y A ωx φ=+的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性可得3πφk π-+=，k z ∈，由此根据||2
ϕπ<求得ϕ的值，得到函数解析式即可求最值． 【详解】
函数()()sin 22f x x πϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝
⎭的图象向右平移6π个单位后， 得到函数sin 2sin 263ππy x φx φ⎡⎤⎛
⎫⎛⎫=-+=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭
⎣⎦的图象， 再根据所得图象关于原点对称，可得3πφk π-
+=，k z ∈， ∵||2ϕπ<，∴3πϕ=，()sin 23πf x x ⎛⎫=- ⎪⎝
⎭， 由题意,02x ⎡⎤∈-
⎢⎥⎣⎦π，得42,333πππx ⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦，
∴23πsin x ⎡⎛
⎫-∈-⎢ ⎪⎝⎭⎣⎦
，
∴函数()sin 23πf x x ⎛
⎫=-
⎪⎝⎭在区间,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的最大值为2， 故选B ．
【点睛】
本题主要考查函数()sin y A ωx φ=+的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，考查了正弦函数最值的求法，解题的关键是熟练掌握正弦函数的性质，能根据正弦函数的性质求最值，属于基础题．
解析：A
【解析】
【分析】
本题根据交集、补集的定义可得.容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查.
【详解】
={1,3}U C A -，则(){1}U C A B =-I
【点睛】
易于理解集补集的概念、交集概念有误.
11．B
解析：B
【解析】
等比数列的性质可知226416a a a ⋅==,故选B .
12．A
解析：A
【解析】
【分析】
对于B ，令214x λ-+=0，得λ12=，取112a =，得到当b 14
=时，a 10＜10；对于C ，令x 2﹣λ﹣2＝0，得λ＝2或λ＝﹣1，取a 1＝2，得到当b ＝﹣2时，a 10＜10；对于D ，令x 2﹣λ﹣4＝0
，得12λ±=
112
a +=，得到当
b ＝﹣4时，a 10＜10；对于A ，221122a a =+≥，223113()224a a =++≥，4224319117()14216216
a a a =+++≥+=＞，当n ≥4时，1n n a a +=a n 12n
a +＞11322+=，由此推导出104a a ＞（32）6，从而a 1072964
＞
＞10． 【详解】 对于B ，令214x λ-+
=0，得λ12=， 取112a =，∴2111022
n a a ==L ，，＜， ∴当b 14=
时，a 10＜10，故B 错误； 对于C ，令x 2﹣λ﹣2＝0，得λ＝2或λ＝﹣1，
取a 1＝2，∴a 2＝2，…，a n ＝2＜10，
∴当b ＝﹣2时，a 10＜10，故C 错误；
对于D ，令x 2﹣λ﹣4＝0
，得λ=
取1a =
，∴2a =
，…，n a =10， ∴当b ＝﹣4时，a 10＜10，故D 错误；
对于A ，221122a a =+≥，223113()224
a a =++≥， 4224319117()14216216
a a a =+++≥+=＞， a n +1﹣a n ＞0，{a n }递增，
当n ≥4时，1n n a a +=a n 12n
a +＞11322+=， ∴54
4510932323
2
a a a a a a ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⋅⎨⎪⋅⎪⋅⎪⎪⎪⎪⎩＞＞＞，∴104a a ＞（32）6，∴a 1072964＞＞10．故A 正确． 故选A ．
【点睛】
遇到此类问题，不少考生会一筹莫展.利用函数方程思想，通过研究函数的不动点，进一步讨论a 的可能取值，利用“排除法”求解.
二、填空题
13．25【解析】由可得所以
解析：25
【解析】
由141,7a a ==可得11,2,21n a d a n ===-，所以5(19)5252
S +⨯==． 14．2【解析】【详解】当x≤0时由f （x ）=x2﹣2=0解得x=有1个零点；当x ＞0函数f （x ）=2x ﹣6+lnx 单调递增则f （1）＜0f （3）＞0此时函数f （x ）只有一个零点所以共有2个零点故答案为：
解析：2
【解析】 【详解】
当x≤0时，由f （x ）=x 2﹣2=0，解得x=2-，有1个零点； 当x ＞0，函数f （x ）=2x ﹣6+lnx ，单调递增，
则f （1）＜0，f （3）＞0，此时函数f （x ）只有一个零点， 所以共有2个零点． 故答案为：2． 【点睛】
判断函数零点个数的方法
直接法（直接求零点）：令f (x )＝0，如果能求出解，则有几个不同的解就有几个零点， 定理法（零点存在性定理）：利用定理不仅要求函数的图象在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )<0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点，
图象法（利用图象交点的个数）：画出函数f (x )的图象，函数f (x )的图象与x 轴交点的个数就是函数f (x )的零点个数；将函数f (x )拆成两个函数h (x )和g (x )的差，根据f (x )＝0⇔h (x )＝g (x )，则函数f (x )的零点个数就是函数y ＝h (x )和y ＝g (x )的图象的交点个数，
性质法（利用函数性质）：若能确定函数的单调性，则其零点个数不难得到；若所考查的函数是周期函数，则只需解决在一个周期内的零点的个数
15．【解析】【分析】设此圆的底面半径为高为母线为根据底面圆周长等于展开扇形的弧长建立关系式解出再根据勾股定理得即得此圆锥高的值【详解】设此圆的底面半径为高为母线为因为圆锥的侧面展开图是一个半径为圆心角为 解析：
423
【解析】 【分析】
设此圆的底面半径为r ，高为h ，母线为l ，根据底面圆周长等于展开扇形的弧长，建立关系式解出r ，再根据勾股定理得22h l r =- ，即得此圆锥高的值． 【详解】
设此圆的底面半径为r ，高为h ，母线为l ，
因为圆锥的侧面展开图是一个半径为2cm ，圆心角为2
3
π的扇形, 所以2l =，得24233r l πππ=
⨯= ,解之得23
r =，
因此,此圆锥的高cm 3h ===，
故答案为． 【点睛】
本题给出圆锥的侧面展开图扇形的半径和圆心角，求圆锥高的大小，着重考查了圆锥的定义与性质和旋转体侧面展开等知识，属于基础题．
16．【解析】则则的最小值为点睛:本题主要考查基本不等式解决本题的关键是由有在用基本不等式求最值时应具备三个条件：一正二定三相等①一正：关系式中各项均为正数；②二定：关系式中含变量的各项的和或积必须有一个
解析：3+【解析】
21a b Q +=，则1111223+3b a a b a b a b a b +=++=+≥+（）（）11
a b
+的最小值
为3+
点睛:本题主要考查基本不等式，解决本题的关键是由21a b +=，有
1111
2a b a b a b
+=++（）（），在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值.
17．【解析】【分析】利用复数的运算法则模的计算公式即可得出【详解】解：复数z ＝（1+i ）（1+2i ）＝1﹣2+3i ＝﹣1+3i∴|z|故答案为【点睛】对于复数的四则运算要切实掌握其运算技巧和常规思路如其
【解析】 【分析】
利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出． 【详解】
解：复数z ＝（1+i ）（1+2i ）＝1﹣2+3i ＝﹣1+3i ，
∴|z |==
． 【点睛】
对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如
()()a bi c di ++=()()(,,,)ac bd ad bc i a b c d R -++∈．其次要熟悉复数相关概念，如复
数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b (,)a b 、共轭复数为
a bi -．
18．【解析】令函数有两个极值点则在区间上有两个实数根当时则函数在区间单调递增因此在区间上不可能有两个实数根应舍去当时令解得令解得此时函数单调递增令解得此时函数单调递减当时函数取得极大值当近于与近于时要使
解析：.
【解析】
()()()2ln 0,'ln 12f x x x ax x f x x ax =->=+-，令()ln 12,g x x ax =+-Q 函数
()()ln f x x x ax =-有两个极值点，则()0g x =在区间()0,∞+上有两个实数根，
()112'2ax g x a x x
-=
-=，当0a ≤时，()'0g x >，则函数()g x 在区间()0,∞+单调递增，因此()0g x =在区间()0,∞+上不可能有两个实数根，应舍去，当0a >时，令
()'0g x =，解得12x a =，令()'0g x >，解得1
02x a <<，此时函数()g x 单调递增，令()'0g x <，解得12x a >
，此时函数()g x 单调递减，∴当12x a
=时，函数()g x 取得极大值，当x 近于0与x 近于+∞时，()g x →-∞，要使()0g x =在区间()0,∞+有两个实数根，则11ln 022g a a ⎛⎫
=> ⎪⎝⎭，解得10,2
a <<∴实数a 的取值范围是102a <<，故答案为1
02
a <<
. 19．【解析】【分析】先由题意得到必过抛物线的焦点设出直线的方程联立直线与抛物线方程表示出弦长再根据两平行线间的最小距离时最短进而可得出结果【详解】由抛物线的光学性质可得：必过抛物线的焦点当直线斜率存在时 解析：24y x =
【解析】 【分析】
先由题意得到PQ 必过抛物线的焦点，设出直线PQ 的方程，联立直线PQ 与抛物线方程，表示出弦长，再根据两平行线间的最小距离时，PQ 最短，进而可得出结果. 【详解】
由抛物线的光学性质可得：PQ 必过抛物线的焦点(,0)2
p
F ， 当直线PQ 斜率存在时，设PQ 的方程为()2
p
y k x =-
，1122(,),(,)P x y Q x y ， 由2()22p y k x y px ⎧
=-⎪⎨⎪=⎩
得：222()24p k x px px -+=，整理得
2222244)0(8k x k p p x k p -++=，
所以2122
2k p p x x k ++=，2
124p x x =， 所以2122
22
2k PQ x x p p p k
+=++=>； 当直线PQ 斜率不存在时，易得2PQ p =； 综上，当直线PQ 与x 轴垂直时，弦长最短，
又因为两平行光线间的最小距离为4，PQ 最小时，两平行线间的距离最小；
因此min 24PQ p ==，所求方程为2
4y x =.
故答案为2
4y x = 【点睛】
本题主要考查直线与抛物线位置关系，通常需要联立直线与抛物线方程，结合韦达定理、弦长公式等求解，属于常考题型.
20．1【解析】【分析】由题意利用余弦定理得到关于AC 的方程解方程即可确定AC 的值【详解】由余弦定理得解得或（舍去）【点睛】本题主要考查余弦定理解三角形的方法方程的数学思想等知识意在考查学生的转化能力和计
解析：1 【解析】 【分析】
由题意利用余弦定理得到关于AC 的方程，解方程即可确定AC 的值. 【详解】
由余弦定理得21393AC AC =++，解得1AC =或4AC =-（舍去）. 【点睛】
本题主要考查余弦定理解三角形的方法，方程的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
三、解答题
21．（1）n b n =（2）()1
122n n S n +=-+（3）()()()1
1
4123312
n n n n +++---+⋅ 【解析】 【分析】 【详解】
（1）由1
122n n n a a ++=+得11n n b b +=+，得n b n =；
（2）易得2n
n a n =g ，1223112222,212222,n n n n S n S n +=⨯+⨯++⨯=⨯+⨯++⨯L L
错位相减得121
1122222
2212
n
n n n n S n n ++--=+++-⨯=⨯-⨯-L
所以其前n 项和()1
12
2n n S n +=-+； （3）()()
()()(
)()()()(
)()2221
1
1
1422142
121·2?12?12?12n
n
n
n
n n n n n n n n n n n n n
c n n n n n n +++-++-++-++++=
=
=
+++
()()()()()()11
11111111112?21?222?21?2n
n n n n n n n n n n n n n ++++⎛⎫⎛⎫---⎛⎫
⎪=
+-+=-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭
， ()()()()()()2231212231
111111*********?22?22?23?2?21?2n n n n n n T n n ++⎡
⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎡⎤------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪=-+-++-+-+-++-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦
L L ()()1112113621?2n n
n n ++-⎛⎫
=-+-- ⎪+⎝⎭或写成()()()1
1
412331?2
n n n n +++---+. 点睛：用错位相减法求和应注意的问题(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“n S ”与“n qS ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“n n S qS -”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.
22．（Ⅰ）2
2
413
y x +=， 24y x =.
（Ⅱ）330x +-=
，或330x -=.
【解析】
试题分析：由于A 为抛物线焦点，F 到抛物线的准线l 的距离为12
，则1
2a c -=，又椭
圆的离心率为
1
2
，求出,,c a b ，得出椭圆的标准方程和抛物线方程；则(1,0)A ，设直线AP 方程为设1(0)x my m =+≠，解出P Q 、两点的坐标，把直线AP 方程和椭圆方程联立解出B 点坐标，写出BQ 所在直线方程，求出点D 的坐标，最后根据APD △
的面积为
m ，得出直线AP 的方程. 试题解析：（Ⅰ）解：设F 的坐标为(),0c -.依题意，
12c a =，2p a =，1
2
a c -=，解得1a =，12c =
，2p =，于是222
34
b a
c =-=. 所以，椭圆的方程为2
2
413
y x +=，抛物线的方程为24y x =.
（Ⅱ）解：设直线AP 的方程为()10x my m =+≠，与直线l 的方程1x =-联立，可得点
21,P m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，故21,Q m ⎛⎫- ⎪⎝⎭.将1x my =+与22
413
y x +=联立，消去x ，整理得
(
)
223460m y my ++=，解得0y =，或2
634
m
y m -=
+.由点B 异于点A ，可得点
222
346,3434m m B m m ⎛⎫-+- ⎪++⎝⎭
.由21,Q m ⎛
⎫- ⎪⎝⎭，可学*科.网得直线BQ 的方程为()222623*********m m x y m m m m ⎛⎫--+⎛⎫⎛⎫-+-+-= ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭，令0y =，解得2
2
2332m x m -=+，故2
223,032m D m ⎛⎫- ⎪+⎝⎭
.所以2222
23613232m m AD m m -=-=++.又因为APD V ，故
2
21622322m m m ⨯⨯=+，整理得2320m -+=，解得m =m =.
所以，直线AP 的方程为330x -=，或330x -=. 【考点】直线与椭圆综合问题
【名师点睛】圆锥曲线问题在历年高考都是较有难度的压轴题，不论第一步利用椭圆的离心率及椭圆与抛物线的位置关系的特点，列方程组，求出椭圆和抛物线方程，还是第二步联立方程组求出点的坐标，写直线方程，利用面积求直线方程，都是一种思想，就是利用大熟地方法解决几何问题，坐标化，方程化，代数化是解题的关键. 23．（1）6
x π
=-；（2）0；（3）存在[]5,1k ∈--
【解析】 【分析】
（1）由向量平行的坐标表示可求得sin x ，得x 值；
（2）由数量积的坐标表示求出()f x ，结合正弦函数性质可得最值；
（3）计算由()()
0a d b c +⋅+=r u r r r
得k 与sin x 的关系，求出k 的取值范围即可．
【详解】
（1）()sin 1,1b c x +=--r r
Q ，()
//a b c +r r r ，
()2sin sin 1x x ∴-+=-，即1sin 2x =-.又,22x ππ⎡⎤
∈-⎢⎥⎣⎦
，6x π∴=-.
（2）∵()2sin ,1a x =+r ，()2,2b =-r ，()()22sin 22sin 2f x a b x x ∴=⋅=+-=+r r
.
x R ∈Q ，1sin 1x ∴-剟，()04f x ∴剟
，()f x ∴的最小值为0. （3）∵()3sin ,1a d x k +=++r u r ，()sin 1,1b c x +=--r r
， 若()()a d b c +⊥+r u r r r ，则()()
0a d b c +⋅+=r u r r r
，即()()()3sin sin 110x x k +--+=，
()2
2sin 2sin 4sin 15k x x x ∴=+-=+-，由[]sin 1,1x ∈-，得[]5,1k ∈--，
∴存在[]5,1k ∈--，使得()()
a d
b
c +⊥+r u r r r
【点睛】
本题考查平面得数量积的坐标运算，考查正弦函数的性质．属于一般题型，难度不大．
24．（1）340x y -+=；（2）210
5
【解析】 【分析】
（1）求得()04A ，
，()22B --，，问题得解． （2）利用直线AB 和曲线C 相切的关系可得：圆心到直线A B 的距离等于圆的半径r ，列方程即可得解． 【详解】
（1）分别将()π42A ，，()
5π224
B ，转化为直角坐标为()04A ，，()22B --，， 所以直线AB 的直角坐标方程为340x y -+=． （2）曲线
C 的方程为r ρ
=（0r >），其直角坐标方程为222x y r +=．
又直线A B 和曲线C 有且只有一个公共点，即直线与圆相切， 所以圆心到直线A B 的距离等于圆的半径r . 又圆心到直线A B 的距离为222104531=+，即r 的值为2105
．
【点睛】
本题主要考查了极坐标与直角坐标互化，还考查了直线与圆相切的几何关系，考查计算能力及点到直线距离公式，属于中档题． 25．（1）3,2a c ==；（2）2327
【解析】
试题分析：（1）由2BA BC ⋅=u u u r u u u r
和1
cos 3
B =
，得ac=6.由余弦定理，得2213a c +=. 解
，即可求出a ，c ；（2） 在ABC ∆中，利用同角基本关系得
22
sin .3
B =
由正弦定理，得42
sin sin 9
c C B b =
=
，又因为a b c =>，所以C 为锐角，因此27
cos 1sin 9
C C =-=
，利用cos()cos cos sin sin B C B C B C -=+，即可求出结果. （1）由2BA BC ⋅=u u u r u u u r
得，
，又1
cos 3
B =
，所以ac=6. 由余弦定理，得2222cos a c b ac B +=+. 又b=3，所以2292213a c +=+⨯=.
解，得a=2，c=3或a=3，c=2.
因为a>c,∴ a=3，c=2.
（2）在ABC ∆中，2212
sin 1cos 1()33
B B =-=-= 由正弦定理，得22242
sin sin 339
c C B b =
=⋅=
，又因为a b c =>，所以C 为锐角，因此22427cos 1sin 1(
)99
C C =-=-=.
于是cos()cos cos sin sin B C B C B C -=+=1724223
393927
⋅+⋅=
. 考点：1.解三角形；2.三角恒等变换.
26．（1）2n
n a =，21n n b =-；（2）证明见解析.
【解析】 【分析】
（1）由a 1+a 2+a 3+…+a n ＝2b n ①，n ≥2时，a 1+a 2+a 3+…+a n ﹣1＝2b n ﹣1②，①﹣②可得：a n ＝2（b n ﹣b n ﹣1）（n ≥2），{a n }公比为q ，求出a n ，然后求解b n ；（2）化简
221
1
log log n n n c a a +=
（n ∈N *），利用裂项消项法求解数列的和即可．
【详解】
（1）由a 1+a 2+a 3+…+a n ＝2b n ①
n ≥2时，a 1+a 2+a 3+…+a n ﹣1＝2b n ﹣1②
①﹣②可得：a n ＝2（b n ﹣b n ﹣1）（n ≥2）， ∴a 3＝2（b 3﹣b 2）＝8
∵a 1＝2，a n ＞0，设{a n }公比为q ， ∴a 1q 2＝8，∴q ＝2 ∴a n ＝2×2n ﹣1＝2n
∴(
)1231
212222222
212
n n n n b +-=++++==--L ，
∴b n ＝2n ﹣1．
（2）证明：由已知：()2211111
1n n 1
n n n c log a log a n n +=
==-++．
∴1231111111
111223n n 11
n c c c c n L L ++++=-+-++-=-<++ 【点睛】
本题考查数列的递推关系式的应用，数列求和，考查转化思想以及计算能力．数列求和的常见方法有：列项求和，错位相减求和，倒序相加求和.。