四川省遂宁市高三一诊考试试题数学理Word版含答案

遂宁市高中2018届一诊考试
数学（理科）试题
本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。

总分150分。

考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题，满分60分）
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考号用0.5毫米的黑色墨水签字笔填写在答题卡上。

并检查条形码粘贴是否正确。

2．选择题使用2B 铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，非选择题用0.5毫米黑色墨水签字笔书写在答题卡对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

3．考试结束后，将答题卡收回。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每个小题给出的四个选项中，只
有一个是符合题目要求的。

1．已知集合{36},{27}A x x B x x =-<<=<<，则()R A
C B =
A. (2,6)
B. (2,7)
C. (3,2]-
D. (3,2)- 2．已知复数()z a i a R =+∈，若4z z +=，则复数z 的共轭复数z = A. 2i + B. 2i - C. 2i -+ D. 2i -- 3．“11()()3
3
a
b
<”是“22log log a b >”的 A. 充分不必要条件 B. 充要条件
C. 必要不充分条件
D. 既不充分也不必要条件
4．已知随机变量ξ服从正态分布2
(,)N μσ，若(2)(6)P P ξξ<=>0.15=，则
(24)P ξ≤<等于
A. B. C.
D.
5．已知满足3
2
2cos =α，则
A.
B.
C.
D.
6．执行如图所示的程序，若输入的3x =， 则输出的所有x 的值的和为 A ．243 B ．363 C ．729 D ．1092
7．要排出某理科班一天中语文、数学、物理、 英语、生物、化学6堂课的课程表，要求 语文课排在上午(前4节)，生物课排在下午 (后2节)，不同排法种数为
A ．144
B ．192
C ．360
D ．720
8．若0,0,a b >>且函数3
2
()422f x x ax bx =--+在2x =处有极值，则ab 的最大值等于
A ．121
B ．144
C ．72
D ．80
9．已知数列的前项和为
，若
为函数x x x f cos sin 3)(+=
)(R x ∈的最大值，
且满足
，则数列
的前2018项之积=2018A
A ．1
B ．
2
1
C ．1-
D ．2 10．若双曲线C:22221x y a b
-=（0a >，0b >）的一条渐近线被圆22
40x y x +-=所截得
的弦长为2，则双曲线C 的离心率为
A ．
11．已知O 为△ABC 的外心，A
为锐角且sin 3
A =，若AO A
B A
C αβ=+，则αβ
+的最大值为
A ．13
B ．12
C ．23
D ．34
12．定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=，且对任意的不相等的实数1x ，
2[0,)x ∈+∞有1212
()()0f x f x x x -<-成立，若关于x
的不等式(2ln 3)2(3)(2ln 3)f mx x f f mx x --≥--++在[1,3]x ∈上恒成立，则实数m 的取
值范围 A ．1ln 6
[
,1]26
e + B ．1ln 6[,2]3e +
C ．1
ln 3[,2]3e
+ D ．1ln 3[,1]26
e +
第Ⅱ卷（非选择题，满分90分）
注意事项：
1．请用蓝黑钢笔或圆珠笔在第Ⅱ卷答题卡上作答，不能答在此试卷上。

2．试卷中横线及框内注有“▲”的地方，是需要你在第Ⅱ卷答题卡上作答。

本卷包括必考题和选考题两部分。

第13题至第21题为必考题，每个试题考生都作答；第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分。

13．设x ，y 满足约束条件2330233030x y x y y +-≤⎧⎪
-+≥⎨⎪+≥⎩
，则目标函数2z x y =+的最小值是 ▲ .
14．二项式61(2)x x
-的展开式中常数项为 ▲ . （用数字表达）
15．已知点A ，B 的坐标分别为(－1,0)，(1,0)。

直线AM ，BM 相交于点M ，且它们的斜率之
和是2，则点M 的轨迹方程为 ▲ . 16．设函数()2
32(0)2
f x x ax a =
->与()2g x a lnx b =+有公共点，且在公共点处的切线方程相同，则实数b 的最大值为 ▲ .
三、解答题：本大题共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（本小题满分12分）
已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，向量)2,(n S a =，(1,12)n
b =-满足条件a ⊥b
（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设n
n
c a =
，求数列{}n c 的前n 项和n T . 18．（本小题满分12分）
已知函数⎪⎭
⎫
⎝
⎛
-
=6cos sin 4)(πx x x f ，在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c
（1）当0,
2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
时，求函数()f x 的取值范围； （2）若对任意的x R ∈都有()()f x f A ≤，42=
=b c ，点D 是边BC 的中点，求AD 的值.
19．（本小题满分12分）
1993年，国际数学教育委员会（ICMI ）专门召开过“性别与数学教育”国际研讨会，会议讨论内容之一是视觉和空间能力是否与性别有关，某数学兴趣小组为了验证这个结论，从兴趣小组中按分层抽样的方法抽取50名同学（男30女20），给所有同学几何和代数各一
（1（2）经过多次测试后，女生甲每次解答一道几何题所用的时间在5~7分钟，女生乙每次解答一道几何题所用的时间在6~8分钟，现甲、乙各解同一道几何题，求乙比甲先解答完的概率；
（3）现从选择几何题的8名女生中任意抽取两人对她们的答题情况进行全程研究，记甲、乙两女生中被抽到的人数为X ，求X 的分布列及数学期望()E X .
()
()()()()
2n ad bc k a b c d a c b d -=++++
20．（本小题满分12分）
设椭圆22
221(0)x y a b a b +=>>的离心率12
e =，左焦点为F ，右顶点为A ，过点F 的
直线交椭圆于H E ,两点，若直线EH 垂直于x 轴时，有23
=
EH
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线l ：1x =-上两点P ，Q 关于x 轴对称，直线AP 与椭圆相交于点B （B 异于点A ），直线BQ 与x 轴相交于点D .若APD △
AP 的方程. 21．（本小题满分12分）
已知函数x x
p
px e x f x ln 2)(--
+= （1）若2p =，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线；
（2）若函数x
e x
f x F -=)()(在其定义域内为增函数，求正实数p 的取值范围；
（3）设函数x
e
e x g x 2)(+=，若在[1,]e 上至少存在一点0x ，使得00()()
f x
g x
>成立，
求实数p 的取值范围.
请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。

22．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
已知直线l 的参数方程为t t y t x (21323
1⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧+=--=为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为)3
2cos(4π
θρ-=.
（1）求圆C 的直角坐标方程；
（2）若),(y x P 是直线l 与圆面24cos()
π
ρθ≤-的公共点，求y x +3的取值范围.
23．（本小题满分10分）
已知函数x a a x x f -+--=21)( （1）若，求实数的取值范围；
（2）若R
x a ∈≥,3
2
, 判断)(x f 与1的大小关系并证明.
遂宁市高中2018届一诊考试
数学（理科）试题参考答案及评分意见
13．-1514．-160 15. )1(012±≠=--x xy x 16．
21
2e
三、解答题：本大题共6小题，共70分． 17．（本小题满分12分）
【解析】（1）∵a ⊥b ,∴221-=+n n S , …………2分
当2≥n 时，n n n n S S a 21=-=-，
当1=n 时，211==S a 满足上式，∴n n a 2=…………6分 （2）2n n n
c =
1211212222
n n n n n T --=++++两边同乘12，
得231112122222n n n n n
T +-=++++，两式相减得： …………8分211
11112
1222222
n n n n n n T +++=++-=-， ()2
22
n n n T n N ++∴=-∈． …………12分
18．（本小题满分12分）
【解析】（1）()2
2sin cos f x x x x =+=
cos21x x -+=2sin 216x π⎛
⎫-+ ⎪⎝
⎭，
…………2分
当0,
2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
时，52,666x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，1sin 2,162x π⎛⎫⎡⎤-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 所以()[]
0,3f x ∈；…………6分
（2）由对任意的x R ∈都有()()f x f A ≤得：
22,62
3
A k k Z A k k Z π
π
π
ππ-
=
+∈⇒=
+∈.
又
(0,)A π∈
3
A π
∴=
…………8分
()
()
2221
124
2AD A AD AB AC B AB AC AC =+=
⇒=+⨯+ ()2212cos 4c b cb A ++=()
221
74
c b cb ++=，…………10分 所以7AD =…………12分
19．（本小题满分12分）
【解析】（1）由表中数据得2K 的观测值
22
50(221288)50
5.556 5.024*********
K ⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯
所以根据统计有97.5%和空间能力与性别有关. …………3分
（2）设甲，乙解答一道几何题的事件分别为,x y 分钟，则基本事件满足的区域为
5768
x y ≤≤⎧⎨
≤≤⎩，如图所示
设事件A 为“乙比甲先做完此道题”，则满足的区域为x y >
∴由几何概型，得()1
11
12228
P A ⨯⨯==⨯，即乙比甲先解答完的概率为
1
8 …………7分
（3）由题可知在选择做几何题的8名女生中任意抽取两人，抽取方法有2
828C =种，
其中甲、乙两人没有一个人被抽取到有2
615C =种；恰有一人被抽到有112612C C ⋅=；两人都被抽到有221C =种.
X ∴可能取值为0,1,2，()15028P X ==，()1231287P X ===，()1228
P X ==
所以()012287282
E x =⨯+⨯+⨯=． …………12分
20本小题满分12分）
【解析】（1）设(,0)(0)F c c ->，因为12e =所以有2a c =，又由23=EH 得23
22=a b ， 且222c b a +=，得4
3,12
==b a ，因此椭圆的方程为：13422=+y x …4分 （2）设直线AP 的方程为1(0)x my m =+≠，与直线l 的方程1x =-联立，可得点
2(1,)P m --，故2(1,)Q m
-.将1x my =+与22
413y x +=联立，消去x ，整理得22(34)60m y my ++=， …………6分
解得0y =，或2
634
m
y m -=+. 由点B 异于点A ，
可得点222346(,)3434m m B m m -+-++.由2
(1,)Q m
-，可得直线BQ 的方程为
22262342
()(1)(1)()03434m m x y m m m m
--+-+-+-=++，令0y =， 解得222332m x m -=+，故2
2
23(,0)32
m D m -+. …………9分 所以22
22
236||13232
m m AD m m -=-=++.
又因为APD △的面积为222
162232||2m m m ⨯⨯=+，
整理得23|20m m -+=，解得||m =
，所以m =.
所以，直线AP 的方程为330x -=，或330x -=.………12分
21．（本小题满分12分）
【解析】已知函数x x
p
px e x f x ln 2)(--
+=. （1）当2=p 时，x x
x e x f x ln 22
2)(--+=，e f =)1(，
222
()2x f x e x x
'=++-，(1)2f e '=+，
则切线为：)1)(2(-+=-x e e y ，即02)2(=--+y x e . …………3分
（2）x x p px e x f x F x
ln 2)()(--=-=，222
22()p px x p F x p x x x
-+'=+-= 由)(x F 定义域),0(+∞内为增函数，所以()0F x '≥在),0(+∞上恒成立，
所以022
≥+-p x px 即1
22+≥x x p ，对任意0>x 恒成立，
设222
22222
222422()(0),()1(1)(1)
x x x x h x x h x x x x +--'=>==+++ 易知，)(x h 在()1,0上单调递增，在()+∞,1上单调递减，
则1)1()(max ==h x h ，所以1)1(=≥h p ，即),1[+∞∈p . …………7分
（3）设函数2()()()2ln p e
x f x g x px x x
ϕ+=-=--，[1,]x e ∈，
则原问题⇔在[1,]e 上至少存在一点0x ，
使得0max ()0()0([1,])x x x e ϕϕ>⇔>∈.
22
2
222(2)
()p e px x p e x p x x x ϕ+-++'=+-=， …………8分 01当0p =时，2
22()0x e
x x
ϕ-+'=≥，则()x ϕ在[1,]x e ∈上单调递增，max ()()40x e ϕϕ==-<，舍；
02当0p <时，12()()2ln e
x p x x x x
ϕ=---，
∵[1,]x e ∈，∴10x x -≥，20e
x
>，ln 0x >，则()0x ϕ<，舍；
3当0p >时，22
(1)2()
()0p x e x x x
ϕ++-'=>， 则()x ϕ在[1,]x e ∈上单调递增，max ()()40p
x e pe e
ϕϕ==-->， 整理得2
41e
p e >
-， …………11分 综上，24(,)1
e
p e ∈+∞-. …………12分
请考生在第22、23、二题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分。

22．（本小题满分10分） 【解析】（1）∵圆C 的极坐标方程为)3
2cos(4π
θρ-
=， ∴)cos 2
1sin 23(4)32cos(42
θθρπθρρ-=-=， 又∵2
22y x +=ρ，θρcos =x ，θρsin =y ， …………5分
∴x y y x 2322
2-=+，
∴圆C 的普通方程为03222
2=-++y x y x ；
（2）设y x z +=3，
故圆C 的方程4)3()1(03222
222=-++⇒=-++y x y x y x ，
∴圆C 的圆心是)3,1(-，半径是2，
将⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧+=--=t
y t x 213231代入y x z +=3得t z -=，
又∵直线l 过)3,1(-C ，圆C 的半径是2，
∴22≤≤-t ，∴22≤-≤-t ，即y x +3的取值范围是]2,2[-.……10分
23．（本小题满分10分） 【解析】（1）因为，所以
. ① 当时，得
，解得，所以; ② 当时，得，解得，所以; ③ 当
时，得
，解得
，所以
;
综上所述，实数的取值范围是. …………5分
（2）1)(≥x f ，因为R x a ∈≥
,3
2
, 所以x a a x x f -+--=21)(11331)2()1(≥-=-=----≥a a x a a x
…………10分。