2022届高考数学一轮复习第六章数列6.2等差数列及其前n项和课件文新人教版202105131226

由通项公式或前n项和公式转化为方程(组)求解.
2.等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1,an,d,n,Sn,
已知其中三个就能求出另外两个,体现了用方程(组)解决问题的思
想.
3.减少运算量的设元的技巧,若三个数成等差数列,可设这三个数
为a-d,a,a+d;若四个数成等差数列,可设这四个数为a-3d,a-d,a+d,
项为0.
4.等差数列的前n项和公式有两种表达形式,要根据题目给出的
条件判断使用哪一种表达形式.
-12考点1
考点2
考点3
考点 1
考点4
等差数列中基本量的求解
例1(1)在等差数列{an}中,a4=2,且a1+a2+…+a10=65,则公差d的值
是( B )
A.4 B.3
C.1 D.2
(2)设等差数列{an}的前n项和为Sn,若Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,则m等
(4)设Sn是等差数列{an}的前n项和,则数列 Sm,2 -Sm,S3m-2 ,…
也是等差
数列.
(5)若等差数列{an}的前n项和为Sn,则S2n-1=(2n-1)an.
(6)若n为偶数,则 S 偶-S 奇= ;若n为奇数,则S奇-S偶=a中(中间项).
2
-4知识梳理
1
双基自测
2
不是等差数列即可.
-23考点1
考点2
考点3
考点4
对点训练2设数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2n-1.数列{bn}满足
b1=2,bn+1-2bn=8an.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)证明:数列

2
为等差数列,并求{bn}的通项公式.
-24考点1
考点2
考点3
考点4
解 (1)当 n=1 时,a1=S1=21-1=1;
(2)由 S5=10,得 a3=2,
2=-3,即 d=3,故 a =2+3×6=20.
因此
9
(1)C 2-2d+(2-d)
(2)20
关闭
解析
答案
-26考点1
考点2
考点3
考点4
考向二 等差数列前n项和的性质的应用
例4在等差数列{an}中,前m项的和为30,前2m项的和为100,则前
3m项的和为
.
思考本例题应用什么性质求解比较简便?
2

∴2=1+2(n-1)=2n-1.
∴bn=(2n-1)×2n.
-25考点1
考点2
考点3
考点4
考点 3 等差数列性质的应用(多考向)
关闭
(1)∵在等差数列{an}中,a3,a7 是函数 f(x)=x2-4x+3 的两个零点,∴
a3+a7=4,
9
9
9
∴{an}的前 9 项和 S9=2(a1+a9)=2(a3+a7)=2×4=18.故选 C.
考点2
考点3
考点 2
考点4
等差数列的判定与证明
例2已知数列{an}满足a1=1,a2=2,an+2=2an+1-an+2.
(1)设bn=an+1-an,证明{bn}是等差数列;
(2)求{an}的通项公式.
思考判断一个数列为等差数列的基本方法有哪些?
-21考点1
考点2
考点3
考点4
(1)证明 由an+2=2an+1-an+2得
1
2
3
4
5
自测点评
1.用等差数列的定义判断数列是否为等差数列,要注意定义中的
三个关键词:“从第2项起”“每一项与它的前一项的差”“同一个常
数”.
2.等差数列与函数的区别:当公差d≠0时,等差数列的通项公式是n
的一次函数;当公差d=0时,an为常数.
3.公差不为0的等差数列的前n项和公式是n的二次函数,且常数
6.2
等差数列及其前n项和
-2知识梳理
双基自测
1
2
3
4
1.等差数列
(1)定义:一般地,如果一个数列从 第2项 起,每一项与它的前
同一个常数
一项的 差
等于
,那么这个数列就叫做等
差数列,这个常数叫做等差数列的 公差
,公差通常用字母d表
示.数学语言表示为 an+1-an=d
(n∈N*),d为常数.
+
(2)解答选择题、填空题时,也可用通项公式或前n项和公式直接
判断:
①通项法:若数列{an}的通项公式为n的一次函数,即an=An+B,则
{an}是等差数列.
②前n项和法:若数列{an}的前n项和Sn可以化为Sn=An2+Bn的形
式(A,B是常数),则{an}是等差数列.
(3)判断一个数列不是等差数列,只需说明某连续三项(如前三项)
则由题意得,
91 +
9×8
2
= 27,
1 + 9 = 8,
1 = -1,
解得
= 1.
故 a100=a1+99d=-1+99=98.
( 1 + 9 )×9
(方法二)因为 S9=
=27,a1+a9=2a5,所以 a5=3.
2
10 - 5
又因为 a10=8,所以 d=
10-5
=1.
当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=(2n-1)-(2n-1-1)=2n-1.
∵a1=1 适合通项公式 an=2n-1,∴an=2n-1.
(2)∵bn+1-2bn=8an,∴bn+1-2bn=2
1
又 1 =1,∴

2
+ 2
+1

,即 +1 − =2.
2
2
是首项为 1,公差为 2 的等差数列.
少织同样多的布,则此问题的答案是(
)
A.25日
B.40日
C.35日
D.30日
关闭ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
由题意可知,设 n 日织布的总数为九十尺,则此女每天织布的尺数构
成首项为 a1=5,an=1 的等差数列,
( + )
(5+1)
且 Sn= 12 = 2 =90,
解得 n=30,故选 D.
D
关闭
解析
答案
-8知识梳理
25
a2+a6=2,则S10=
.
解析:设等差数列{an}的公差为d.
∵a1=-2,∴a2+a6=a1+d+a1+5d=2a1+6d=-4+6d=2,解得d=1.
10×9
∴S10=10a1+
2
d=-20+45=25.
-10知识梳理
双基自测
1
2
3
4
5
5.记等差数列{an}的前n项和为Sn,若a3=0,a6+a7=14,则
解得 1
= 5.
-15考点1
考点2
考点3
考点4
(方法三)∵数列{an}为等差数列,且前n项和为Sn,
∴数列
-1

也为等差数列.

+1
∴ -1 + +1 =
2

,即
-2
-1
+
3
+1
=0,解得 m=5.
经检验m=5是原方程的解.故选C.
-16考点1
考点2
考点3
考点4
解题心得1.等差数列运算问题的一般求法是设出首项a1和公差d,
得 am=Sm--1 =2, +1 = +1 -Sm=3,
∴等差数列的公差为 d=+1 -am=3-2=1.
由
得
= 1 + (-1) = 2,
1
= 1 + (-1) = 0,
2
1 + -1 = 2,
1
1 + (-1) = 0,
2
= -2,
双基自测
1
2
3
4
5
3.在等差数列{an}中,a3+a6=11,a5+a8=39,则公差d为(
A.-14 B.-7
C.7 D.14
)
关闭
∵a3+a6=11,a5+a8=39,∴4d=28,解得d=7.故选C.
关闭
C
解析
答案
-9知识梳理
1
双基自测
2
3
4
5
4.(2020全国Ⅱ,文14)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a1=-2,
(5)等差数列{an}的单调性是由公差d决定的. ( √ )
(6)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数. ( × )
-7知识梳理
双基自测
1
2
3
4
5
2.《张丘建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有
如下问题:“今有女不善织,日减功迟,初日织五尺,末日织一尺,今共
织九十尺,问织几日?”.已知“日减功迟”的具体含义是每天比前一天
故 a100=a10+(100-10)×1=98.
-19考点1
考点2
考点3
考点4
(2)设等差数列{an}的公差为d,
3 = 1 + 2 = 5,
= 1,
则
解得 1
7 = 1 + 6 = 13,
= 2.
10×9
10×9
2
2
故 S10=10a1+
d=10×1+
×2=100.
-20考点1
这个数列是等差数列. ( × )
(2)已知数列{an}的通项公式是an=pn+q(其中p,q为常数),则数列
{an}一定是等差数列. ( √ )
(3)数列{an}为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数.
( × )
(4)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*,都有
2an+1=an+an+2. ( √ )
an+2-an+1=an+1-an+2,即bn+1=bn+2.
又因为b1=a2-a1=1,
所以{bn}是首项为1,公差为2的等差数列.
(2)解 由(1)得bn=1+2(n-1)=2n-1,
即an+1-an=2n-1.

n
=1
k=1
于是 ∑ (ak+1-ak)= ∑ (2k-1),
故an+1-a1=n2,即an+1=n2+a1.
a+3d.
-17考点1
考点2
考点3
考点4
对点训练1(1)已知等差数列{an}前9项的和为27,a10=8,则
a100=( C )
A.100
B.99
C.98D.97
(2)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a3=5,a7=13,则S10= 100
.
-18考点1
考点2
考点3
考点4
解析: (1)(方法一)设等差数列{an}的公差为 d,
等差数列⇔Sn=An2+Bn(A,B为常数).
-5知识梳理
双基自测
1
2
3
4
4.等差数列的前n项和的最值
在等差数列{an}中,a1>0,d<0,则Sn存在最 大
则Sn存在最 小 值.
值;若a1<0,d>0,
-6知识梳理
双基自测
1
2
3
4
5
1.下列结论正确的打“√”,错误的打“×”.
(1)若一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都是常数,则
关闭
记数列{an}的前 n 项和为 Sn,由等差数列前 n 项和的性质知
Sm,2 -Sm,S3m-2 成等差数列,则 2(2 -Sm)=Sm+(S3m-2 ).又
Sm=30,2 =100,2 -Sm=100-30=70,
∴S3m-2 =2(2 -Sm)-Sm=110,∴S3m=110+100=210.
3
4
3.等差数列的通项公式及前n项和公式与函数的关系
(1)an=a1+(n-1)d可化为an=dn+a1-d的形式.当d≠0时,an是关于n的
一次函数;当d>0时,数列{an}为递增数列;当d<0时,数列{an}为递减
数列.

2
(2) Sn= n2+ 1 -

2
n. 当d≠0时,它是关于n的二次函数.数列{an}是
S7=
.
关闭
设{an}的公差为 d.
∵等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,a3=0,a6+a7=14,
1 + 2 = 0,
= -4,
∴
解得 1
1 + 5 + 1 + 6 = 14,
= 2,
7×6
∴
S
=7a
+
d=-28+42=14.
1
14 7
关闭
2
解析
答案
-11知识梳理
双基自测
am+an=ap+aq
(1)若m+n=p+q,则
(m,n,p,q∈N*);m+n=2p,则
am+an=2ap(m,n,p∈N*).
(2)若{an}是等差数列,公差为d,则ak,ak+m,ak+2m,…(k,m∈N*)是公差
为 md 的等差数列.
(3)若{an},{bn}是等差数列,p,q∈R,则{pan+qbn}也是等差数列.
因为a1=1,所以{an}的通项公式为an=n2-2n+2.
-22考点1
考点2
考点3
考点4
解题心得等差数列的判定方法:
(1)证明数列{an}为等差数列的基本方法有两种:
①利用等差数列的定义证明,即证明an+1-an=d(n∈N*);
②利用等差中项证明,即证明an+2+an=2an+1(n∈N*).
于( C )
A.3 B.4
C.5 D.6
思考求等差数列基本量的一般方法是什么?
-13考点1
考点2
考点3
考点4
解析: (1)∵在等差数列{an}中,a4=2,且a1+a2+…+a10=65,
∴
1 + 3 = 2,
101 +
10×9
2
解得 1 = -7,
= 65,
= 3.
∴公差d的值是3.故选B.
A=
(2)等差中项:数列a,A,b成等差数列的充要条件是
,
2
其中A叫做a,b的 等差中项
.
a1+(n-1)d
(3)等差数列的通项公式:an=
,可推广为
an= am+(n-m)d
.
(1 + )
(-1)
=na
d.
1+
2
2
(4)等差数列的前 n 项和公式:Sn=
-3知识梳理
双基自测