用匀速圆周运动的分运动导出简谐运动的严格解

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2018年第10期
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文章编号：2095－6835（2018）10－0039－02
用匀速圆周运动的分运动导出简谐运动的严格解
庄洋1，雷家睿1，赵博涵1，黄敏1，赵芸赫2
（1.四川省成都市新都一中铭章学院，四川成都610500；2.北京师范大学物理学系，北京100875）
摘要：在高中物理教学中，简谐振动是振动与波部分重要的知识内容。

例如弹簧一端连接的物体被拉离平衡位
置后将会做简谐震动，这是力学中经典的弹簧振子模型。

但是由于高中阶段数学工具的局限，我们无法直接求解弹簧振子的二阶常微分运动方程。

通过分析圆周运动在某一方向的分运动，证明了该运动满足和弹簧振子相同的动力学方程，进而直接利用圆周运动合成与分解得到了弹簧振子的运动方程。

这一等效替代的思想，定量地阐述了圆周运动和简谐振动的关系，也可以让学生定量地了解简谐振动的运动规律与运动方程。

关键词：简谐振动；微分方程求解；圆周运动；等效替代中图分类号：O411.1
文献标识码：A
DOI ：10.15913/ki.kjycx.2018.10.039
在力学中，简谐运动是一种周期运动或振荡运动，其对应的振子或运动物块所受的恢复力与位移成正比，方向与位移方向相反。

简谐运动可以作为各种运动的数学模型，例如弹簧的振动。

另外，其他现象可以用简谐运动来近似，例如单摆运动和分子振动。

简谐运动是关于时间的正弦函数，演示了一个单一的谐振频率。

简谐运动是小幅震动单摆的精近似型，摆在物体末端的净力必须与位移成正比。

这是一个很好的近似，摆动的角度是小的。

在现在的科学中，基于简谐运动衍生的信号波处理，即通过傅立叶分析技术为更复杂运动的表征提供了基础。

高中阶段，简谐运动的教学是基于实验现象的[1-11]，根本原因是简谐运动物体的动力学方程是一个二阶微分方程，而这一方程的严格求解并不是高中数学的教学内容。

而中学物理在振动与波章节进行的教学，以及对于单摆运动的学习都需要基于简谐运动的学习和内容。

在教学中，学生难免对不能求解的方程有疑惑。

当然，在进行了求导的学习后，学生可以通过猜测解的形式并利用导数的相关方式对“简谐运动的运动方程是三角函数”这一结论进行验证，但是依然不是一种直接的方式。

对于学有余力的学生，可以通过高等数学的学习了解微分方程的求解，进而对简谐运动的运动方程加以求解。

本文试图在高中物理数学体系内给出一种求解简谐运动的办法。

1模型建立
我们首先考虑一根轻弹簧连接的一个可视为质点的物块的运动。

根据牛顿第二定律，该连接劲度系数为k 、弹簧质量为m 的物体的运动方程为：
kx ma -=.（1）
其中，x 是这一弹簧偏离平衡位置的距离。

则我们需要
求解微分方程：
x m
k
x
-= .（2）
这一方程的解为三角函数，然而这一方程的求解并不在高中学生的数学教学大纲内[1-2]。

也就是说，在现有高中阶段的教学中，学生无法基于已有数学知识求解弹簧振子的运动方程。

因此在高中的物理教学中，只能通过实验来理解“弹簧振子的运动是简谐振动”这一重要的物理现象，并且没办法通过直接的数学求解建立其运动和三角函数所体现的运动规律直接对应。

我们注意到，不少教材和科普材料提到匀速圆周运动的分运动是简谐运动，也有相应的实验佐证。

而匀速圆周运动的运动规律和受力分析是高中物理的教学内容，也是直观便于学生理解的知识点。

质点在以某点为圆心、半径为r 的圆周上运动，即质点运动时其轨迹是圆周的运动叫“圆周运动”，它是一种最常见的曲线运动，例如电动机转子、车轮、皮带轮等都做圆周运动。

圆周运动分为匀速圆周运动和变速圆周运动，比如竖直平面内绳/杆转动小球、竖直平面内的圆锥摆运动。

在圆周运动中，最常见和最简单的是匀速圆周运动（因为速度是矢量，所以匀速圆周运动实际上是指匀速率圆周运动）。

我们希望通过建立匀速圆周运动和简谐运动的定量规律，以期在运动圆周运动的基础上让学生理解并且求解简谐振动的运动规律。

接下来，我们通过分析做匀速圆周运动物体的分运动来等效解决这一问题。

我们考虑在水平圆环上做匀速圆周运动的物体具有质量m ，其圆环半径为r ，角速度为ω.这一物体受到圆环的支持力提供向心力，该力的大小为：
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2018年第10期
.
r m r
v m F 22
ω==（3）
考虑圆周运动的物体受到的支持力提供向心力且方向
指向圆心，则该力的矢量表示为：
r m F 2ω-=.
（4）
图1水平面内做匀速圆周运动的物体
我们将上述分析画入图，如图1所示，该力在横轴上的投影为：
θωcos 2x r m F -=.（5）根据几何关系，注意到半径、角度和横坐标的关系为：
x r =θcos .
（6）于是我们有：
x m F 2x ω-=.
（7）
考虑上式中关于横坐标的系数（转速、质量均恒定）为常数，我们定义k ≡m ω2为该圆周运动分运动所对应的等效劲度系数，则上式可以改写为：
kx F -=x .（8）
这意味着我们考虑的做匀速圆周运动物体的水平方向受力大小与水平方向位移成正比，方向相反。

这恰好与一个连接劲度系数为k 的弹簧的物体受力一致。

另外，注意到圆周运动的物体转过的角度与转速具有关系：
.
t ωθ=（9）
于是对比可知，连接弹簧的物体被拉开远离平衡位置r
后释放，其做简谐震动的位移随时间的变化为：
.
t r x ）（ωcos =（10）
对比关于圆周运动中“等效劲度系数”的定义，得到ω=
m
k
，这正是简谐运动的周期。

综上，我们可以得到方程（2）的一般解为：
.
t m k A x ⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛+=0cos θ（11）
其中，振幅A 和相位θ0由所考察简谐振动的初始条件给定（在圆周运动中对应着物体0时刻所处的角位置）。

2结论与讨论
我们给出的这种等效替代——利用圆周运动在某一方向的投影运动为简谐震动的办法巧妙地避免了高中阶段求解微分方程的困扰，让学生直观地利用圆周运动和运动分解的知识，得到“简谐振子的运动方程的解就是三角函数”这一
结论。

此外，圆周运动的分运动就是简谐振动这一直观的证明，也给我们提出了一种简单的观察简谐振动的办法，比如在匀速转动的转盘边缘连接一小灯珠，观察灯珠在一维上的分运动，并记录。

对于简谐运动直观图像的建立和求解，也给我们利用简谐运动进行相关的探究性实验提供了思路，比如文献[12]研究了水滴在简谐振动平面上的运动，发现因为简谐振动的平面诱导，水滴会呈现出规律的星形振荡图样。

此外，生活中的一些微小振动都可以在一定程度上近似为简谐振动。

本文关于简谐振动和圆周运动的联系也给我们了解生活中的复杂运动提供了一种等效且定量分析的思路。

参考文献：
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第一作者：庄洋（2001—），四川省成都市新都一中铭章学院高2016级学生。

通讯作者：赵芸赫（1993—），北京师范大学物理学系2016级在读硕士生，研究方向为物理课程与教学论、IYPT 问题解决。

〔编辑：刘晓芳〕
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