2025版高考数学全程一轮复习第五章平面向量与复数第四节复数课件

夯实基础 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)中，虚部为bi.( × ) (2)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小．( × ) (3)原点是实轴与虚轴的交点．( √ ) (4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就 是复数对应的向量的模．( √ )
提示：(a＋c)＋(b＋d)i，(a－c)＋(b－d)i.
关键能力·题型剖析 题型一 复数的概念 例 1 (1)(多选)[2024·江苏南通模拟]设z为复数(i为虚数单位)，下列命 题正确的有( ) A．若z∈R，则z＝zത B．若z2∈R，则z∈R C．若z2＋1＝0，则z＝i D．若(1＋i)z＝1－i，则|z|＝1
答案：D
解析：复数z满足z＝x＋yi(x，y∈R)，则|x－1＋(y＋1)i|＝2， ∴(x－1)2＋(y＋1)2＝4，故选D.
(3)[2024·安徽安庆模拟]设复数z满足条件|z|＝1，那么|z＋ 3＋i|取最
大值时的复数z为( )
A．
3 2
+
12i
C．
3 2
−
12i
B．－
3 2
+
12i
D．－
3 2
答案：B
(2)已知复数z1＝1＋2i，z2＝2－i(i为虚数单位)，z3在复平面上对应的 点分别为A，B，C.若四边形OABC为平行四边形(O为复平面的坐标原 点)，则复数z3为( )
A．1－3i B．1＋3i C．－1＋3i D．－1－3i
答案：A
解析：设z3＝x＋yi(x，y∈R)，则C(x，y)，依题意A(1，2)， B(2，－1)，AB＝(1，－3)，由于四边形OABC是平行四边形， 所以OC＝AB，(x，y)＝(1，－3)，所以z3＝1－3i.故选A.
巩固训练3 (1)[2024·河南南阳模拟]已知i为虚数单位，z＝i+i2+1⋯−+ii2 023，则复数zത 在复平面上所对应的点在( )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
答案：B
解 析 ： (1) 因 为 i4k ＋ 1 ＋ i4k ＋ 2 ＋ i4k ＋ 3 ＋ i4k ＋ 4 ＝ i － 1 － i ＋ 1 ＝ 0 ， k∈N ， 则 z ＝
A．－2＋4i B．－2－4i
C．6＋2i
D．6－2i
答案：D 解析：(2＋2i)(1－2i)＝2＋4－4i＋2i＝6－2i.故选D.
(3)[2024·江西九江模拟]已知复数z＝
i2 1+
023
3i −2i
，
则
8z
的
共
轭
复
数
为
()
A．2－2i C．－14 + 14i
B．2＋2i D．－14 − 14i
A．－1 B．1 C．－2 D．2
答案：D
解析：(2x＋i)(1－i)＝(2x＋1)＋(1－2x)i＝y，
所以ቊ12x−+21x
= =
0y，，解得ቐxy==122，. 故选D.
4．(易错)已知复数z＝1＋i(其中i为虚数单位)，则复数2zത的虚部是 ________．
答案：－2
解析：因为z＝1＋i， 所以2zത＝2(1－i)＝2－2i， 所以复数2zത的虚部是－2.
义．
问题思考·夯实技能 【问题1】 “3＋2i>1＋2i”“2＋i<4＋i”等结论正确吗？为什么？
提示：不正确．两个实数可以比较大小，但两个虚数只能判断它们是否相等， 而不能比较它们的大小．
【问题2】 设向量OZ1，OZ2分别与复数a＋bi，c＋di对应，请你写 出向量OZ1 + OZ2，OZ1 − OZ2对应的复数．
a−+2b==0，0，解得ቊab
= =
1−，2.故选A.
题型二 复数的四则运算 例 2 (1)[2024·河北衡水模拟]已知复数z1，z2，当z1＝1＋2i时，z1zതz12−z1 ＝z1，则z2＝( ) A．8＋6i B．8－6i C．10＋10i D．10－10i
答案：A 解析：(1)由z1zതz12−z1＝z1得z2＝z1(z1zത1－z1)＝(1＋2i)×(4－2i)＝8＋6i.故选A.
5．(易错)若复数(1－2i)(a＋i)是纯虚数，则实数a的值为________．
答案：－2 解析：(1－2i)(a＋i)＝a＋2＋(1－2a)i是纯虚数，所以ቊ1a−+22a=≠00，，即a＝． 2．理解复数的代数表示及其几何意义，理解两个复数相等的含义． 3．掌握复数代数表示式的四则运算，了解复数加、减运算的几何意
(4)除法：zz12＝ac++dbii＝
a+bi c+di
c−di c−di
＝_ac2c_++_bd_d2_+__bc2c_+−_da_d2i (c＋di≠0)．
【常用结论】
(1)in(n∈N*)具有周期性，且最小正周期为4，其性质如下： ①i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i. ②i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0. (2)(1±i)2＝±2i，11+−ii＝i，11−+ii＝－i. (3)复数的模与共轭复数的关系z·zത＝ z 2＝ zത 2.
(3)[2022·全国乙卷]已知z＝1－2i，且z＋azത＋b＝0，其中a，b为实数， 则( )
A．a＝1，b＝－2 B．a＝－1，b＝2 C．a＝1，b＝2 D．a＝－1，b＝－2
答案：A
解析：由z＝1－2i可知zത＝1＋2i.由z＋azത＋b＝0，得1－2i＋a(1＋2i)＋b＝1＋a＋
b＋(2a－2)i＝0.根据复数相等，得ቊ12+a
第四节 复数
课前自主预习案
课堂互动探究案
课前自主预习案
必备知识 1.复数的有关概念 (1) 复 数 的 定 义 ： 形 如 a ＋ bi(a ， b∈R) 的 数 叫 做 复 数 ， 其 中 实 部 是 __a__，虚部是__b__．
实数
纯虚数
非纯虚数
(3)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔__a＝__c_且__b_＝_d_．(a，b，c，d∈R) (4)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔a_＝__c_且__b＝__－__d，(a，b，c，d∈R)
D．
z w
＝
z w
答案：BCD
题后师说
复数代数形式运算的策略
巩固训练2
(1)[2020·新高考Ⅰ卷]12+−2ii＝(
)
A．1 B．－1
C．i D．－i
答案：D
解析：(1)12+−2ii＝
2−i 1+2i
1−2i 1−2i
＝−55i＝－i.
故选D.
(2)[2022·新高考Ⅱ卷](2＋2i)(1－2i)＝( )
3 2
，
12)，故对应的复数为
3 2
+
12i.故选A.
1．[2023·新课标Ⅱ卷]在复平面内，(1＋3i)(3－i)对应的点位于( ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．(教材改编)设z＝(1＋i)(2－i)，则复数z在复平面内所对应的点位 于( )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
答案：A
解析：z＝(1＋i)(2－i)＝3＋i，故复数z在复平面内所对应的点(3，1)位于第一象 限．故选A.
3．(教材改编)已知x，y∈R，i是虚数单位，且(2x＋i)(1－i)＝y，则y 的值为( )
(2)[2024·安徽滁州模拟]已知复数满足z·zത＝4且z＋zത＋|z|＝0，则z2 022
的值为( )
A．±1
B．－22 022
C．±22 022
D．22 022
答案：D
(3)(多选)[2024·九省联考]已知复数z，w均不为0，则( )
A．z2＝|z|2
B．zzത＝
z2 z2
C．z − w＝zത − wഥ
(3)[2024·江西赣州模拟]已知复数z满足|z＋i|＝1(i为虚数单位)，则|z
－i|的最大值为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
答案：C
解析：设复数z在复平面中对应的点为Z，由题意可得：|z＋i|＝|z－(－i)|＝1，表 示复平面中点Z到定点C(0，－1)的距离为1，所以点Z的轨迹为以C(0，－1)为圆心， 半径r＝1的圆，因为|z－i|表示复平面中点Z到定点B(0，1)的距离，所以|ZB|≤|BC| ＋r＝2＋1＝3，即|z－i|的最大值为3.故选C.
题后师说
(1)复数的分类及对应点的位置都可以转化为复数的实部与虚部应该 满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的 方程(不等式)组即可．
(2)解题时一定要先看复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实 部和虚部．
巩固训练1
(1)[2022·新高考Ⅰ卷]若i(1－z)＝1，则z＋zത＝( )
i+i2+⋯+i2 1−i
023
＝1−−1i＝
− 1+i 1−i 1+i
＝－12
−
12i，所以zത＝－12
+
12i在复平面上所对应的点为
(－12 ， 12)位于第二象限．故选B.
(2)[2024·河北沧州模拟]设复数z满足|z－1＋i|＝2，z在复平面内对应 的点为(x，y)，则( )
A．(x＋1)2＋(y－1)2＝4 B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝4 C．(x－1)2＋(y－1)2＝4 D．(x－1)2＋(y＋1)2＝4
(3)[2024·河 北 衡 水 模 拟 ] 已 知 复 数 (m2 ＋ 3m － 4) ＋ (m2 － 2m － 24)i(m∈R)是纯虚数，则m＝________．
答案：1
解 析 ： 因 为 (m2 ＋ 3m － 4) ＋ (m2 － 2m － 24)i(m∈R) 是 纯 虚 数 ， 所 以 ቊmm22−+23mm−−244=≠00，解得m＝1.
题后师说 (1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)、复平面内的点Z(a，b)、复平面内的向量
OZ三者之间建立了一一对应关系，因此解决复数问题时，可考虑运用 数形结合的思想方法．
(2)由于|z1－z2|表示z1，z2在复平面内对应点Z1，Z2之间的距离，因此 可由此判断复数对应点的轨迹问题，并结合平面解析几何知识解决最 值问题．
A．－2 B．－1
C．1
D．2
答案：D
解析：(1)由题设有1－z＝1i ＝ii2＝－i，故z＝1＋i，故z＋zത＝(1＋i)＋(1－i)＝2.故 选D.
(2)[2022·全国甲卷]若z＝1＋i.则|iz＋3zത|＝( )
A．4 5 B. 4 2
C. 2 5
D. 2 2
答案：D
解 析 ： 因 为 z ＝ 1 ＋ i ， 所 以 iz ＋ 3 zത ＝ i(1 ＋ i) ＋ 3(1 － i) ＝ 2 － 2i ， 所 以 |iz ＋ 3 zത | ＝ 4 + 4＝2 2.故选D.
答案：B
解析：因为z＝
i2 023 ＝ −i ＝
1+ 3i −2i 2−2i
−i 2+2i 2−2i 2+2i
＝2−2i＝1
84
−
14i，则8z＝8(14
−
14i)＝2－
2i，所以8z的共轭复数为2＋2i. 故选B.
题型三 复数的几何意义 例 3 (1)[2024·河南开封模拟]“a< 3”是“复数z＝32++aii(i为虚数单位) 在复平面上对应的点在第四象限”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
−
12i
答案：A
解析：复数z满足条件|z|＝1，它是复平面上的单位圆，那么|z＋ 3＋i|表示单位
圆上的点到Q(－ 3，－1)的距离，要使此距离取最大值的复数z，就是(－ 3，－
1)和(0，0)连线和单位圆在第一象限的交点M.∵点(－ 3，－1)到原点距离是2.单
位圆半径是1，又∠MOx＝30°，所以M(
答案：AD
(2)[2024·河北秦皇岛模拟]已知z＝11−+3ii，则z－zത的虚部为(
)
A．－4 B．4
C．－4i D．4i
答案：A
解析：因为z＝11−+3ii＝
1−3i 1+i
1−i 1−i
＝−42i−2＝－1－2i，所以zത＝－1＋2i，所以z－zത＝
－1－2i－(－1＋2i)＝－4i，所以z－zത的虚部为－4.故选A.
(5)复数的模：向量OZ的模叫做复数z＝a＋bi的模，记作|z|或|a＋bi|， 即|z|＝|a＋bi|＝r＝___a2__+_b_2_(r≥0，a，b∈R)．
2．复数的几何意义
3．复数的运算 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则 (1)加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝___(a_＋__c)_＋__(b_＋__d_)i___； (2)减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝___(a_－__c)_＋__(b_－__d_)i__； (3)乘法：z1z2＝(a＋bi)(c＋di)＝___(a_c_－_b_d_)_＋_(_a_d_＋_b_c_)_i _；