(整理)极坐标---摆线

設滾動圓的半徑為a，固定圓的半徑為ka，其中k是比 1 大的一個固定數。

又設固定圓的圓心是原點O，而滾動圓上的定點在出發時的位置是A(ka,0)。

設滾動圓到達某個位置時，其圓心為J、與固定圓的切點為I，而滾動圓上的定點移動到P(x,y)。

設以為始邊、為終邊的有向角為t弧度，我們以t為參數（見圖九）。

圖九
因為弧IP與弧IA的長度相等，所以，有向角是kt弧度。

過P與J分別作水平直線與鉛垂直線，則可就t的值所屬的各種範圍分別討論（例如：圖
九是的情形），而得
這就是內擺線的參數方程式。

若將上述情形中的定點換成與滾動圓的圓心相距為d，且在出發時的坐標為((k-1)a+d,0)，則此定點在
滾動過程中，所描繪曲線的參數方程式為
其次，若將圖九中的滾動圓改成與固定圓外切，則仿照上面的處理方法，即可得外擺線的參數方程式為
其中k表示固定圓與滾動圓的半徑之比，。

同理，將定點改成與滾動圓圓心的距離為d，且在出發時的坐標為[(k+1)a-d,0]，則可得外次擺線的參數方程式為
上述四組參數方程式可合併成下述形式：
其中或 -1，而、且。

當，上述參數方程式，依d=a或分別表示內擺線或內次擺線；當時，上述參數方程式，依d=a或分別表示外擺線或外次擺線。

在圖二中，設A點是滾動圓上的定點在出發時的位置。

我們選取一個坐標系，使得A點為原點而且滾動圓在x軸上向右滾動。

假設動圓滾動到某位置時，圓
心為O，O點至x軸的垂足為I，圓上的定點的位置為P(x,y)，以為始邊，為終邊的有向角為t弧度，P點至直線OI的垂足為M。

又設滾動圓的半徑為a。

因為滾動圓上的定點已由A點移動到P點，而滾動圓與x軸的切點已由A點轉移到I點，所以，滾動圓上的弧PI滾過線段，亦即： = 弧PI的長 = at。

於是，可得
上面的表示法就是擺線的參數方程式。

請注意：當時，
；當時，。

不過，與
兩式卻對所有t值都成立。

我們甚至可讓參數t代表任意實數，如此，擺線成為可向兩邊無限延伸的週期曲線。

x坐標每經歷一段長度為的區間，圖形就恢復原狀。

擺線與底線相交的點都是尖點 (cusp)。

當參數t由 0 增至時，擺線就是圖二中由A至C至B的部分，其中，這一部分圖形稱為擺線的一拱 (arch)。

同理，t由2π 至4π、由4π 至6π、……等所對應的圖形也都是一拱。

仿照前面的方法，我們也可求次擺線的參數方程式。

假設一定點與滾動圓的圓心的距離為d，底線是x軸，出發時定點的坐標為(0,a-d)，其中d是滾動圓的
半徑。

當動圓滾到圖二所示的位置時，定點的位置在上且與O點的距離為d。

由此可知其參數方程式為
習題：試根據上面參數方程式，說明長擺線(d>a) 為什麼會與本身相交而形成迴圈（見圖一的下圖）。

在圖二中，當圓向前滾動時，P點描繪出擺線，那麼P點在直線OI上的垂足M點會描繪出什麼圖形呢？1634年，Gilles Persone de Roberval（1602～1675年，法國人）考慮這條曲線，而利用它求出擺線的一拱與其底線間的面積。

所以，後世將這條曲線稱為 Roberval 曲線。

圖二中的虛線，就是 Roberval 曲線在擺線一拱內的部分，根據前一小節所討論的結果，不難發現 Roberval 曲線的方程
式為。

在圖二中，的中點是，而當時，Roberval 曲線上的
點對的對稱點是。

因為此對稱點也在 Roberval 曲線上，所以，Robertval 曲線在A與C間的部分對於點
成對稱。

（圖二中的M與N就是一對對稱點。

）由此可知：在以
與為鄰邊的矩形中，Roberval 曲線將此矩形分成面積相等的兩個區域。

更進一步可得：Roberval 曲線與AB所圍區域的面積，等於以與為鄰邊的矩形面積的一半，此值等於。

其次，我們討論擺線與 Roberval 曲線間的區域面積。

此區域在C點的左、右兩側的面積顯然相等，所以，我們只須討論此區域左側部分的面積。

圖二中以為直徑的半圓，乃是滾動圓在出發時的左半部分，直線PM被此半圓截出
一線段。

因為兩圓大小相等，而直線PM與兩圓圓心等距離，所以， = 。

因為每一條水平直線在兩區域上所截出的線段都等長，所以，依據
Bonaventura Cavalieri（1598～1647年，義大利人）在1629年所提出的Cavalieri 原理，這兩個區域的面積相等。

因此，擺線與 Roberbval 曲線所圍的區域（左、右兩部分）與滾動圓面積相等，此值等於。

綜合前兩段的結果，可知擺線的一拱與其底線間的面積，等於滾動圓面積的三倍，亦即：。

圖二
附帶一提：Cavalieri 所提的原理，中國數學家祖沖之在西元五世紀就已用來計算球體的體積。

習題：試仿照本小節的方法，證明次擺線, 的一拱與直線y=a-d所圍區域的面積為：。

習題：試使用定積分計算上述所提的面積。

若曲線C的所有法線都是某一曲線E的切線，則曲線E稱為曲線C的「漸屈線」(evolute)。

要討論曲線C的漸屈線，自然需要先討論曲線C的法線，但因法線是切線的垂直線，所以，我們需要先討論曲線C的切線。

擺線的切線如何求呢？我們知道當一動點P繞一固定點I旋轉時，P點的軌跡是一圓弧，此圓弧在P點的切線就是過P點而與垂直的直線。

當一滾動
圓在一直線上作不滑的滾動時，我們沒有一個可做為旋轉中心的固定點，但是，在滾動過程中，滾動圓與底線在每個時刻都有一個切點，這個切點就是該時刻的瞬間旋轉中心。

若在某個時刻的瞬間旋轉中心是I，而圓上某定點在此時刻已移動到P點，則此定點所描繪的擺線在P點的切線，就是過P點而與垂直的直線PJ，其中J是滾動圓過I的直徑的另一端點，直線PI則是此擺線過P 點的法線。

在直線上選取一點P'，使I點成為的中點。

若P點的坐
標是 ( )，則因為I點的坐標是 (as,0)，所以，P'點的
坐標是 ( )。

當P點描繪出擺線時，所有對應的P'點描繪出什麼圖形呢？觀察A與P'的相關位置，不難發現它們的位置關係，與擺線上的C點與參數是的Q點位置關係相同，因為C的坐標是()，而Q點的坐標是 ( )。

換言之，當P點
描繪圖三中的擺線弧APC時，對應的P'點就會描繪出與擺線CQB全等的弧AP'A。

事實上，弧AP'A'乃是將弧CQB平移而得的（左移單位、下移2a單位）。

同理，當P點描繪出擺線弧CQB時，對應的P'點就會描繪出弧A'Q'B，此弧乃是將擺線的下一拱的左半部分作同樣平移而得的。

因此，對整個擺線而言，當P點描繪出整個擺線時，對應的P'點會描繪出一個全等的擺線。

若前者的
參數方程式是,，則後者的參數方程式為
,，後者乃是將前者先向左平移單位，再向下平移2a單位而得的。

我們將說明後者是前者的漸屈線。

因為P'點的軌跡是一個全等的擺線，所以它必是當一個半徑為a的圓在直線y=-2a上滾動時，由圓周上某定點描繪而成的。

因為P點與P'點對I點對稱，所以當兩個滾動圓在I點相切時，上滾動圓通過P點而下滾動圓通過P'點。

此時，P'點的瞬間旋轉中心是直線P'I'與直線y=-2a的交點I'。

於是，直線P'I'是第二個擺線在P'點的法線，直線P'IP是第二擺線在P'點的切線。

由此可知：原擺線的每條法線PI都與第二擺線相切。

換言之，第二擺線是原擺線的漸屈線。

曲線的漸屈線在弧長方面有一個重要性質，這個性質對擺線的討論特別有用，我們先介紹這項性質。

此性質的證明只需使用微積分的方法即可。

設曲線E是曲線C的漸屈線，P與Q是曲線C上兩點，曲線C過P、Q的法線分別與漸屈線E相切於P'、Q'，則在漸屈線E上，弧P'Q'的長等於
與兩線段長的差。

在圖四中，比小，所以，P'Q'弧的長等於。

這個性質可以作下面的幾何解說：假設有一條線纏繞在漸屈線E上，現在將一端點拉緊在P點，此時，在P'往Q'的部分，線仍然纏在漸屈線上，但在P'往P的部分，則已經拉直成線段。

接著，將線繼續拉緊解開，纏在P'Q'弧上的線逐漸被拉成線段，此時，因為有前面所提的性質，所以，在將線拉緊解開的過程中，線的端點必定沿著曲線C由P點移向Q'點。

以擺線為例，在圖三中的漸屈線弧AP'A'中，不論P'點的位置在弧上何處，AP'A'弧的長度都是等於P'A'弧的長加上線段的長。

將P'趨近A'，則P 趨近C。

因此，擺線弧AP'A'的長等於線段的長，此值為4a。

因為擺線
弧AP'A'與擺線弧CQB全等，其長是擺線一拱ACB的一半，所以，可知：若滾動圓的半徑為a，則擺線一拱的長度為8a。

圖三
同理，在圖三中，PC弧的長等於Q'B弧的長，此值等於線段的長，也等於前的兩倍。

因此，若P點的坐標是 ( )，則因為J的坐標是 (as,2a)，所以，PC弧的長等於。

於是，AP弧的長為。

習題：試使用微積分方法證明上述有關擺線的弧長公式。

在力學上，擺線具有很重要的性質，我們首先介紹它的等時性質 (tautochrone property)。

將擺線的一拱倒轉，亦即：對其底線作鏡射，則此段擺線的最高點C變成最低點，見圖三與五。

此時，若一質點從此段擺線上任意點出發，在重力作用下沿擺線向下滑，則此質點到達最低點C所需的時間與出發點的位置無關，亦即：從任意兩相異點出發，它們到達C點的時間相同。

這就是擺線的等時性質。

圖五是由擺線的一拱及其漸屈線等倒置而成，若我們以一條長為擺線一拱長之半的線繫住一個擺錘，另一端固定在漸屈線弧AA'B的中點A'。

當擺錘擺動時，線的上端纏在漸屈線上，而下端有一段拉直。

由於線長等於擺線一拱長的一半，根據前小節的說明，擺錘擺動的路線就是圖五中的擺線孤。

前段所提的等時性，
則是表示：不論振幅為何，其週期是個定值，此定值等於，其中a 是擺線的滾動圓的半徑，g是重力加速度。

前段所提的設置，稱為擺線鐘 (cycloidal pendulum)，這是 Christiaan Huygens （1629～1695年，荷蘭人）在1673年所發明的，它是其有真正等時性的鐘擺。

要證明前面所提的等時性質，必須使用一些物理與微積分知識，讓我們略作說明如下：設倒置的擺線的參數方程式為，質點下
滑的出發點P所對應的參數為。

（我們將參數t換成θ，以免誤以為它就是時間。

）當質點下滑到參數為θ 的點時，根據能量守恆定律，質點喪失的位能轉變成動能，所以質點在該處的瞬時速度為。

圖四
另一方面，弧長s的微分為
於是，質點滑落到最低點C（見圖五）所需的時間為
此值等於，與無關，而擺線鐘的週期則是此值的四倍。

前段證明的細節留給有興趣的讀者自行補足。

圖五
擺線在力學上的另一項重要性質，乃是最速降性質 (brachistochrone property)，我們說明如下。

若一質點在重力作用下，由P點沿著某曲線滑落到較低的Q點，設P與Q 不在同一鉛垂直線上，則當滑行的曲線是以P為尖點的一段倒轉的擺線弧時，質點由P點滑落到Q點所需的時間為最短。

這就是擺線的最速降性質。

設P與Q的坐標分別是P(x1,y1)與Q(x2,y2)，x1 < x2且y1 > y2，而y=f(x)是滿足f(x1)=y1與f(x2)=y2的一個函數，仿照前小節的方法，可知一質點沿著曲線y=f(x)由P點落到Q點所需的時間為
在所有此種函數y=f(x)中，那一個函數能使上述定積分的值最小，這個問題乃是「一個以函數（或曲線）為變數的極值問題」。

研究這類問題的方法稱為「變分法」(calculus of variation)。

它與微積分中討論極值的方法不相同，而且也困難得多。

探討最速降曲線的問題，乃是變分學的先驅問題之一，一般的變分學書籍都會談到這個例子。

在最速降曲線問題中，有一個問題必須交待，那就是：對任意二點P(x1,y1)與Q(x2,y2)，x1<x2且y1>y2，有多少擺線以P為一尖點而又通過Q呢？答案是：恰有一條。

這條擺線是這樣來的。

首先，利用微積分或其他方法可以證明：恰有
一個滿足下式：
然後，令，則擺線, 通過P與Q，而且P是一個尖點。

給了P、Q兩點，我們怎麼作出這樣的擺線呢？任取一圓，使它與過P的水平直線切於P點且圓在水平直線下方。

讓圓在水平直線下滾動，設定點P的軌跡與直線PQ交於Q'點。

另取一圓，其半徑與前一圓的半徑之比為
，則將後一圓在過P的水平直線下滾動時，定點P所描繪的軌跡，就是以P為一尖點且通過Q的擺線。

前段所提的作法，事實上與擺線的一項性質有關。

若兩擺線的底線重合，且有一尖點重合，則其中任一擺線都可由另一擺線以重合尖點為中心，放大或縮小而得。

換言之，任意二擺線部是相似的曲線。