怀柔区2020-2021学年度第一学期期末质量检测高二数学试卷

怀柔区2020-2021学年度第一学期期末质量检测高
高二数学 2021年1月
本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分．考试时间120分钟． 注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号写在答题卡上．用2B 铅笔将答题卡试卷类型（B ）涂黑．
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用像皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上．
3．考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回．
第一部分 选择题（共40分）
一、单项选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置.） 1. 若直线l 的倾斜角是300，则直线l 的斜率为
A
．
3
B ．
-
3
C
D ．
2. 若两条直线ax+2y - 1=0与x -2y+1=0垂直，则a 的值为
A. -1
B. 1
C. -4
D. 4
3. 抛物线y 2
＝4x 的焦点为
A ．（0，1）
B ．（0，2）
C ．（1，0）
D ．（-2，0）
4. 如图，在长方体
1111
ABCD A B C D -中，若11DB xDA yBA zDD =++，则 (x,y,z)=
A ．(1,1,1)
B ．(1,-1,1)
C ．(-1,-1,1)
D ．(-1,-1,-1)
A_1
D A 1A
C
1
5. 在空间中,若 v 1→，v 2
→分别是直线a,b 的方向向量，则“v 1→与v 2→不平行”是“直线a ，b 互为异面直线”的
A. 充分而不必要条件
B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件
6. 若n ⃗ =(1，0，−2)是平面α的一个法向量，则α的法向量还可以是
A. （0，0，0）
B. （0，
1
2
，-1） C . （-1，0， 2） D . （2，0，4） 7. 若双曲线22
21
4x y b
-=的渐近线方程为y=±12x ，则离心率为 A.
12 B.
C . 2
D. 8. 方程y （y+x ）=1所表示的曲线
A. 关于y 轴对称
B. 关于x 轴对称 C . 关于原点对称 D. 关于直线 x -y=0对称 9. 若F 1，F 2是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点，PF 1⊥PF 2，且∠PF 1F 2=30°，则椭圆C 的离心率为
A.
12-
B.
2 C .
1
2
D .
1
10．在正方体1111ABCD A B C D -中，P 是△A 1C 1D 及其内部的动点,记直线D 1P 与底面ABCD 所成角为π
3,则点P 的轨迹是
A. 圆的一部分
B. 椭圆的一部分
C. 双曲线的一部分
D. 抛物线的一部分
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，请把结果填在答题纸上的相应位置.） 11. 圆x 2+ y 2-2x+4y+1=0的圆心为_________________.
12. 双曲线22
3412x y -=的标准方程为_______________.
13. 直线y=x 被圆(x -1)2+y 2=1截得的弦长为_____________.
D 1
A 1
B 1
C 1
A
B
C
D
P
14. 若抛物线C: y 2=x 的焦点为F, A(x 0,y 0)是C 上一点，|AF|=
5
4
, 则A 到准线的距离为______，x 0=___. 15. 2020年11月24日，我国成功发射探月工程嫦娥五号探测器，23天后嫦娥五号返回器携带月球样品，成功返回地面。

航天器的轨道有很多种,其中的“地球同步转移轨道”是一个椭圆轨道,而且地球的中心正好是椭圆的一个焦点.若地球同步转移轨道的远地点(即椭圆上离地球表面最远的点)与地球表面的距离为m,近地点与地球表面的距离为n,设地球的半径为r,用m,n,r 表示地球同步转移轨道的离心率为_______________.
三、解答题（本大题共6小题，共85分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
16.（本题14分）已知抛物线2x =ay 过点（2，-1），直线l 的方程为y=kx+1． （Ⅰ）求抛物线的标准方程；
（Ⅱ）若抛物线与直线l 有两个公共点，求k 的取值范围．
17．（本题14分）如图,在三棱锥P-ABC 中,PA ⊥底面ABC,D 是PC 的中点,∠BAC=π
2,AB=2,AC=2√3,PA=2,
（Ⅰ）求直线PB 与AD 所成角的余弦值; （Ⅱ）求直线P C 与平面A B D 所成角的大小. 18.（本题14分）已知椭圆C:
x 2a
2+
y 2b
2
=1（a >b >0 ）,椭圆C 过点（1，√3
2
），上顶点为（0，1），P 是椭圆C 上的动点,定点A 的坐标为(1,0). （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程; （Ⅱ）求|PA|的最大值与最小值.
19.（本题15分）已知椭圆C 的焦点为1(F 和 2F ，长轴长为4，设直线1y x =+交椭圆C 于A ，B 两点 .
（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程; （Ⅱ）求弦AB 的中点坐标及弦长;
（III ）判断OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥OB ⃗⃗⃗⃗⃗ 是否成立,说明理由.
20．（本题14分）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，点E,F 分别是
AB ，A 1C 的中点，AD=A A 1=2，AB=
√2. （I ）求二面角F DE A --的余弦值；
（Ⅱ）在线段11A D 上是否存在点M ，使得BM⊥平面EFD? 若存在，求出
111
A M
A D 的值；若不存在，请说明理由. 21.（本题14分）已知平面上的线段l 及点P ,任取l 上一Q, 线段PQ 长度的最小值称为点P 到线段l 的距离,记作d(P ,l ).
（Ⅰ）求点P(1,1)到线段:x -y -3=0(3≤x ≤5)的距离d(P ,l )；
（Ⅱ）设l 是长为2的线段,求点的集合D={P|d(P ,l )≤1}所表示的图形面积；
（III ）设到两条线段l 1、l 2距离相等的点的集合Ω={P |d(P,l 1)=d(P,l 2)},其中l 1=A B,l 2=CD, 请从下列三组点中任选一组A 、B 、C 、D ， ① A(1,3), B(1,0), C(-1,3), D(-1,0) ② A(1,3), B(1,0), C(-1,3), D(-1,2) ③ A(0,1), B(0,0), C(0,0), D(2,0)
当选择________时，在下面坐标系中画出点P 的轨迹
怀柔区2020-2021学年度第一学期期末质量检测高二数学试卷答案
填空第一问3分， 第二问2分。

题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A
D
C
B
B
C
B
C
D
B
解答题其他做法按情况给分
16.（本题14分）已知抛物线2x =ay 过点（2，-1），直线l 的方程为y=kx+1． （Ⅰ）求抛物线的标准方程；
（Ⅱ）若抛物线与直线l 有两个公共点，求k 的取值范围．
（Ⅰ）因为2
x =a y 过点（2，-1） ，所以a =-4， ---------3分
抛物线的标准方程2
x =-4y---------6分 （Ⅱ）联立{y =kx +1
2x =−4y
，---------8分
即2
x +4kx+4=0---------10分
因为抛物线与直线l 有两个公共点，所以2
(4)440∆=-⨯>k
---------12分 所以2
1>k
所以11或><-k k ---------14分
17．（本题14分）如图,在三棱锥P-ABC 中,PA ⊥底面ABC,D 是PC 的中点,AB=2,AC=2√3,PA=2,
（Ⅰ）求直线PB 与AD 所成角的余弦值; （Ⅱ）求直线PC 与平面ABD 所成角的大小.
（III ）求点P 到平面A B D 的距离.
解：∵以PA ⊥底面ABC,∠BAC=π
2∴以A 为原点，ＡＢ，ＡＣ，ＡＰ分别为ｘ，ｙ，ｚ轴建立空间直角坐标系，Ａ（０，０，０），Ｂ（２，０，０），Ｃ（０，2√3，０），Ｐ（０，０，２），Ｄ（０，√3，１）----1分（Ⅰ）PB
⃗⃗⃗⃗⃗ ＝（２，０，−２）----2分 AD
⃗⃗⃗⃗⃗ ＝（０，√3，１）----3分
ＣＯＳ<PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AD
⃗⃗⃗⃗⃗ >=PB
⃗⃗⃗⃗⃗ ∙AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |PB
⃗⃗⃗⃗⃗ |∙|AD|⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 2
√ 2 ×2
=−√
2
4
, ---5分 ∴直线PB 与AD 所成角的余弦值√2
4
−−−−6分
（Ⅱ）PC ⃗⃗⃗⃗ ＝（0，2√3，−2）, ----7分
设平面ABD 的法向量为ｎ⃗⃗⃗⃗ ＝（ｘ，ｙ，ｚ）， AD
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝（０，√3，１）， A Ｂ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
＝（２，０，０）， 则{n ⃗ ∙AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ ∙AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0, 则{√３ｙ＋ｚ＝０ｘ＝０
取 ｎ⃗⃗⃗⃗ ＝（０，１，−√3）−−−−9分 ＣＯＳ<PC ⃗⃗⃗⃗ ,ｎ⃗⃗⃗⃗ ≥PC ⃗⃗⃗⃗ ∙ｎ⃗⃗⃗⃗ |PC ⃗⃗⃗⃗ |∙|ｎ⃗⃗⃗⃗ |⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =√３２−−−−11分
直线PC 与平面ABD 所成角的正弦值为
√３２
，角的大小为π
3−−−12分
（III ）点P 到平面A B D 的距离d=|PD ⃗⃗⃗⃗⃗ |∙sin π3=1２|PC ⃗⃗⃗⃗ |∙sin π3=1２∙4∙sin π3=√3−−−−14分
18.（本题14分）已知椭圆C:x 2
a 2+y 2
b
2=1（a >b >0 ）,椭圆C 过点（1，√3
2
），上顶点为（0，1），P 是椭圆
C 上的动点,定点A 的坐标为(1,0). （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程; （Ⅱ）求|PA|的最大值与最小值.
解：（Ⅰ）椭圆C:x 2
a 2+y 2
b 2=1（a >b >0 ）,椭圆C 过点（1，√3
2），上顶点为（0，1） 联立{
１
ａ２＋３
４ｂ２
＝１ｂ＝１ ----2分
得ａ＝２，ｂ＝１----4分 椭圆C 的标准方程x 2
４+y 2=1----6分
（Ⅱ）P 是椭圆C 上的动点,Ｐ（ｘ，ｙ），x 2
４+y 2=1，－２≤ｘ≤２---8分 |PA|２＝ （x −１）2
+y 2----9分 |PA|
２＝（x −
１）2
＋１−x 2
４
＝
３４
x 2−２ｘ＋２----10分
由二次函数图像与性质，当ｘ＝-２时，|PA|最大，等于３----12分 当ｘ＝４
３时，|PA|最小，等于√6
３----14分
19.（本题15分）已知椭圆C
的焦点为1(F 和
2F ，长轴长为4，设直线1y x =+交椭圆C 于A ，B 两点 .
（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程; （Ⅱ）求弦AB 的中点坐标及弦长;
（III ）判断原点O 是否在以AB 为直径的圆上,试说明理由.
（Ⅰ）已知椭圆C
的焦点为1(F 和
2F ，长轴长为4，
设椭圆C:x 2
a
2+
y 2b 2=1（a >b >0 ）, C
，ａ＝２----2分
ｂ２
＝ａ２−ｃ２
＝２----2分 则椭圆C:x 2
４
+y 2
２=1 ----5分
（Ⅱ）联立{
x 2４+y 2
２=1
1y x =+ ----6分
得2
x +２2
(1)+x =４
即３2
x +４ｘ－２＝０----7分 x 1+x 2=−4
3---8分
x 1x 2=−2
3
----9分
y 1+y 2=(x 1+1)+(x 2+1)=−43+2=2
3----10分
则弦AB 的中点坐标（
x 1+x 2２
，
y 1+y 2２
）为（−23，１
3）----11分
弦长AB ＝√（１＋ｋ２
）√(x 1+x 2)２−４x 1x 2＝4
3√５----12分
（III ） y 1y 2=(x 1+1)(x 2+1)=x 1x 2+x 1+x 2+1=−43−2
3+1=−1----13分
因为OA
⃗⃗⃗⃗⃗ ∙OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝x 1x 2＋y 1y 2＝−５3
≠０，----14分 所以OA
⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥OB ⃗⃗⃗⃗⃗ 不成立，原点O 不在以AB 为直径的圆上.----15分
20．（本题14分）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，点E,F 分别是AB ，A 1C 的中点，AD=A A 1=2，AB=√2. （I ）求二面角--F DE C 的余弦值；
（Ⅱ）在线段1
1
A D 上是否存在点M ，使得BM ⊥平面EFD? 若存在，求出
111:A M A D 的值；若不存在，试说明理由.
解：（I ）因为在长方体1111ABCD A B C D -中，点E,F 分别是AB ，A 1C 的中点，AD=A A 1=2，AB=√2. 所以以A 为原点，ＡＢ，ＡＤ，ＡＡ１分别为ｘ，ｙ，ｚ轴建立空间直角坐标系，Ａ（０，０，０），Ｂ（√２，０，０），Ｃ（√２，2，０），Ｄ（０，２，０），Ａ１（０，０，２），Ｅ（√２２
，０，０），Ｆ（
√２２
，１，１）
----2分
设平面EFD 的法向量为ｎ⃗⃗⃗⃗ ＝（ｘ，ｙ，ｚ），----3分
D Ｅ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝（√２
２
，−２，０），
ＤＦ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝（√２２
，−１，１），
则
{n ⃗ ∙D Ｅ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
=0n ⃗ ∙ＤＦ=0, ----5分 则
{
√２２
Ｘ−２ｙ＝０
√２
２
ｘ−ｙ＋ｚ＝０ ，取 ｎ⃗⃗⃗⃗ ＝（２√２，１，−１）----6分
平面ＡED 的法向量为ｍ⃗⃗⃗⃗ ＝（０，０，１），----7分 则ＣＯＳ<ｍ⃗⃗⃗⃗ ,ｎ⃗⃗⃗⃗
>=
ｍ⃗⃗⃗⃗ ∙ｎ⃗⃗⃗⃗ |ｍ⃗⃗⃗⃗ |∙|ｎ|
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =
−１√１０×１
＝−
√１０１０
----8分
所以二面角F DE A --的余弦值√１０１０
----9分
（Ⅱ）不存在----10分
设点M 在线段11A D 上，M （０，ａ，２），０≤ａ≤２----11分
B Ｍ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
＝（−√２，ａ，２）----12分
平面EFD 的法向量为ｎ⃗⃗⃗⃗
＝(２√２，１，−１) 若BM ⊥平面EFD ，则 B Ｍ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∥ｎ⃗⃗⃗⃗ ，----13分 则ａ＝−１
２，不成立.----14分
21.（本题14分）已知平面上的线段l 及点P ,任取l 上一Q, 线段PQ 长度的最小值称为点P 到线段l 的距离,记作d(P,l).
（Ⅰ）求点P(1,1)到线段:x-y-3=0(3≤x ≤5)的距离d(P,l)；
（Ⅱ）设l 是长为2的线段,求点的集合D={P|d(P,l)≤1}所表示的图形面积；
（III ）设到两条线段l 1、l 2距离相等的点的集合Ω={P |d(P,l 1)=d(P,l 2)},其中l 1=A B,l 2=CD, 请从下列三组点中任选一组A 、B 、C 、D ， ④ A(1,3), B(1,0), C(-1,3), D(-1,0) ⑤ A(1,3), B(1,0), C(-1,3), D(-1,2) ⑥ A(0,1), B(0,0), C(0,0), D(2,0)
当选择________时，在下面坐标系中画出点P 的轨迹 ,并写出P 点的集合Ω. 解:(1)设Q(x,x-3)是线段1:x-y-3=0(3≤x ≤5)上一点,则
PQ=√(x −1)2+(x −4)2
X=3时，d(P,l)=√5. -----------------------4分 (Ⅱ)设线段的端点分别为AB,以直线AB 为X 轴,AB 的中点为原点建立直角坐标系
则A(-1,0),B(1,0),点集D 由如下曲线围成
其面积为π+4 ----------------9分
（III ）
①选择A(1,3), B(1,0), C(-1,3), D(-1,0) Ω= {（x,y ）|x =0}
②选择A（1，3），B（10）， C（-1，3），D（-1，2）
Ω= {（x,y）|x=0,y≥2}∪{（x,y）|(y−2)2=−4x，0<y≤2}∪{（x,y）|y=x+1,y<0}
③选择A(0,1), B(0,0), C(0,0), D(2,0)
Ω={（x,y）│x≤0,y≤0}∪{（x,y）|y=x，0<x≤1}∪{（x,y）│4x−2y−3=0,x>2}∪{（x,y）|x2=2y−1，1<x≤2}
----------------14分。