自动控制原理-第2章习题解答精选全文完整版

第2章 控制系统的数学模型习题及解答
2-1 已知质量-弹簧系统如题2-1图所示，图中标明了质量和弹簧的弹性系数。

当外力F (t )作用时，系统产生运动，如果在不计摩擦的情况下，以质量m 2的位移y (t )为输出，外力F (t )为输入，试列写系统的运动方程。

解： 设 质量m 1的位移量为x (t ),根据牛顿第二定律有
y k y x k dt y
d m 21222-)(−= ①
)(1221y x k F dt
x
d m −−= ②
①式可以写作
y k k x k dt
y
d m )(211222+−= ③
由①式也可以得到
y k dt
y
d m y x k 22221)(+=− ④
③式两端同时求二阶导数，可得
2221221442)(dt
y d k k dt x d k dt y
d m +−= ⑤
将②、③式代入⑤式中，整理可得
F m k y m k k dt
y d m k m k m m dt y d m 11
1212
2122121442)(=−++++ 2-2 求题2-2图中由质量-弹簧-阻尼器组成的机械系统，建立系统的运动方程。

其中，x (t )为基底相对于惯性空间的位移，y (t )为质量相对于惯性空间的位移。

z (t )= y (t )- x (t )为基底和质量之间的相对位移，z (t )由记录得到， x (t )和z (t )分别为输入量和输出量。

解：应用牛顿第二定律可得
dt
t dz f kz dt y d m )(22−−= 将z (t )= y (t )- x (t )代入上式，整理可得
2222dt
x d m kz dt dz f dt z d m −=++
题2-2图
题2-1图
解：（a ）引入中间变量u c (t)表示电容器两端的电压。

根据基尔霍夫电流定律有
o c c u R u R dt du C
2
11
1=+ 根据基尔霍夫电压定律有
o i c u u u −=
联立消去中间变量，可得描述输入量u i (t )和输出量u o (t )之间关系的微分方程为
i i o o u R dt du C u R R R R dt du C
1
21211+=++ （b ）引入回路电流i (t )和电容器两端的电压u c (t)作为中间变量，根据基尔霍夫电压定
律有
i o u u i R =+1 另有电容元件的元件约束关系方程
dt
du C
i c =
和
i R u u o c 2−=
联立求解，消去中间变量可得
i i o o u R dt du C u R R R R dt du C
1
21211
+=++
（c ）设电容器C 2两端的电压为u c 2(t)，根据基尔霍夫电流定律有
dt
du
C u u R dt u u d C c o i o i 2211
)(1)(=−+− ①
求导可得
2
2
221221)(1)(dt
u d C dt u u d R dt u u d C c o i o i =−+− ② 另有输出支路电压方程
o c c u u dt
du C R =+22
2
2 等式两边求导有
dt
du dt du dt u d C R o
c c =+22
2222 ③
将①、②代入③式，整理可得
i i
i o
o
o u C R dt du C R C R C R dt u d C R u C R dt du C R C R C R C R dt u d C R 2
12122112
1
22
1212122112121122+++=++++
2-4 试求题2-4图所示有源RC 电路的微分方程，其中u i (t )为输入量，u o (t )为输出量。

解：（a ）设电容器C 2两端的电压为u c 2(t)（如图所示），根据基尔霍夫电流定律有
012211
=++dt
du
C u R dt du C c i i ① 可以导出
i i c u C R dt du C C dt du 2
21111
−
−= ② 上式求导可得
dt
du C R dt u d C C dt u d i
i c 2211222121−
−= ③ 根据支路电压定理可得
o c c u u dt
du C R =+22
2
2 等式两边同时求导有
dt
du dt du dt u d C R o
c c =+22222
2 ④ 将②、③式代入④式中，消去中间变量可得
i i i o u C R dt du C R C R C R dt u d C R dt du 2
12112212121
2−+−−= （b ）根据基尔霍夫电流定律有
01
12
1=++o o i u R dt du C u R 写成标准形式有
i o o u R u R dt du C
1
211−=+ 题2-4图
)
t （a ）
)t
（b ）
+
+
令C R T 2=，可将微分方程重新整理，得
i o o
u R R u dt du T
1
2−=+ 2-5 写出题2-3和题2-4中各电路的传递函数。

解: 根据微分方程可以直接写出传递函数
1)
()
1()
()()()(21211212
)(32++++=
=−Cs R R R R Cs R R R R s U s U s G i o a 1)(1
)()()(212)(32+++==−Cs R R Cs R s U s U s G i o b
1)()
1)(1()()()(212211222112211)(32++++++==−s C R C R C R s C R C R s C R s C R s U s U s G i o c
s C R s C R s C R s U s U s G i o a 212211)(42)
1)(1()()()(++−==−
1
1
)()()(212)(42+⋅−==−Cs R R R s U s U s G i o b
2-6 若某初始状态为零的系统，在单位脉冲输入信号)()(t t r δ=作用下，系统的输出
响应为t
t e e t g −−+−=221)(，试求系统的传递函数。

解： )
1)(2(2
311221)]([)(+++=+++−==s s s s s s s t g L s G
则传递函数
)
1)(2(2
3)(+++=
s s s s s G
2-7测速电桥电路如图所示。

外加电压为a u ，电动机转速为ω，电动机反电势a e 和ω成正比，即ωe a C e =，式中e C 是由电动机结构决定的常数。

当满足321R R R R a =时（a R 为电动机电势电阻）
，忽略电动机电动机电枢绕组的电感。

求电桥输出开路电压u 和转速ω的关系方程式，并写出传递函数
)
()
(s s U Ω。

解：设电阻1R 两端的电压为)(1t u ，电阻3R 两端的电压为)(3t u ，如题2-7图所示，则有
)()()(31t u t u t u =− ①
根据基尔霍夫电压定律，可得
12
11
u u R R R a =+ ②
忽略电动机电枢绕组电感时，有下面的关系
333
)(u e u R R R a a a
=−+ ③
将②、③代入①式中，可得
u e R R R u R R R R R R R R a a
a a a =++++−333213
21))(( ④
将已知条件321R R R R a =代入④式中，可得
u e R R R a a
=+33
再代入已知条件ωe a C e =，整理可得
ωe a
C R R R u +=
33
式中，e C 是由电动机结构决定的常数。

上式两端同时进行拉氏变换并整理，可得电桥输出开路电压u 和转速ω之间的传递函数为
a
e R R C R s s U +=Ω33)()( 显然，题2-7图所示测速电桥电路是一个比例环节。

2-8 简化结构图，求传递函数Y (s )/R (s )。

解：（1）环节1H 和2H 并联，合并后如图解题2-8图（a ）所示。

(2) 前向通道上相邻的两个信号相加点交换位置，如图解题2-8图（b ）所示
(3) 分别合并并联连接的两个环节和反馈连接的两个环节如图解题2-8图（c ）所示
题2-8图
)
(4) 将串联的两个环节合并如图解题2-8图（d ）所示，最后得到的这个函数框中填写的就是输入和输出之间的传递函数G (s )=Y (s )/R (s )。

可得传递函数
)
()(1)())(1()()
(221221s H G s H G s G s G s R s Y −++=
2-9 简化题2-9所示系统的结构图，求取传递函数Y (s )/R (s )。

解：（1）信号分支点a 后移并与后面的信号分支点b 交换得系统结构图如图解题2-9图（a ）。

（2）合并并联的环节1/G 2(s )和G 3(s )，并将该环节前的信号分支点后移，如图解题2-9图（b ）。

（3）结构图变换为大环套小环的形式，由内而外逐级合并反馈联结的环节可得图解题2-9图（c ）。

1
21321123223211)1()()
(H G G G G G G H G G H G G G s R s Y ++++++=
)
题2-9图
解题2-8图
（a ）
)
(R
（b ）
)
（d ）
)
R （c ）
)R
2-10 已知系统结构图如题2-10图所示，写出给定输入R (s )和扰动输入N (s )共同作用下系统输出Y (s )的表达式。

解：（1）R (s )单独作用下，N (s )=0，系统的结构如图解题2-10图（a ）所示。

简化结构图可得
H
G G G G G H G G G G H G H G G G G G G G s R s Y s G R 321213231232121311)()
()(+++++++==
题2-11图
1
x 2
x
题2-10图
)
s 解题2-9图
)
（b ）
（c ） （a ）
)
（2）N (s )单独作用下，R (s )=0，系统的结构如图解题2-8图（b ）所示；合并内环各环节可得系统结构如图解题2-8图（c ）所示。

（3）将图N (s )处的信号相加点前移并与前面的信号相加点合并，移动的支路上将增加一个环节G d (s )
)
()()()(1)
(1)(321312122s H G G G s G G s G G s H G s H G s G d ++++=
进一步简化可得传递函数
)
（a ）
)
)
(s （d ） )
(s 解题2-10图
H
G G G G G H G G G G H G H G H G G G G G G G G G G s N s Y s G N 3212132312243214214
3111)()
()(+++++−−++==
（4）R (s )和N (s )共同作用下，系统的输出
)()()()()(s N s G s R s G s Y N R +=
2-11 已知如题2-11图所示系统的信号流图，试用梅逊公式求取源节点x 1到汇节点x 2的传输，以及源节点x 1到节点x 3的传输。

解：源节点x 1到汇节点x 2只有一条前向通道，前向通道传输为a P 21= 信号流图中的回路有3个，分别为：ab L =1，df L =2和deg L =3
其中L1和L2、L1和L3居委不接触的回路，没有三个互不接触的回路，所以有信号流图特征是为
g
abde abdf g de df ab L L L L L L L ++−−−=++++−=∆1)()(13121321
对于前向通道，特征是的余子式为
g de df L L −−=+−=∆1)(1321
根据梅逊公式可得源节点x 1到汇节点x 2的传输为
g abde abdf g de df ab g de df a P P ++−−−−−=∆∆=
1)1(21
11
2-12 画出题2-9图所示系统的信号流图，利用梅逊公式求取该系统的传递函数。

解：根据由结构图绘制信号流图的原则，输入量、输出量设节点，再在结构图上信号的相加点之后和信号的分支点处设节点，可得题2-9图对应的信号流图如解题图2-12。

图中输入节点R 到输出节点Y 有2条前向通
道，通道的传输为
3
211G
G G P =;12G P =
信号流图中的回路有5个，回路传输分别为：
2321H G G L −=，22H L −=，3213G G G L −=，14G L −=和1211H G G L −=
没有两两互不接触的回路，更没有三个互不接触的回路，所以有信号流图特征是为
1
2113212232543211)
(1H G G G G G G H H G G L L L L L +++++=++++−=∆
信号流图中没有与第1条前向通道不接触的回路，也没有与第2条前向通道不接触的
回路，所以特征式的余子式为： 121=∆=∆ 根据梅逊公式，可得节点R 到节点Y 的传输为
)(12211∆+∆∆
=
P P P 而且节点R 到节点Y 的传输就是对应变量之间的传递函数，
1
21321123223211)1()()
()(H G G G G G G H G G H G G G s R s Y s G ++++++==
R
1−解题2-12图。