2016---2017学年高三上学期11月阶段考试 数学(理) (6)

高三上学期11月阶段考试 数学（理）
答题时间：120分钟 满分150分
一、选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1、已知集合}1|{<=x x A ，}06|{2<--=x x x B ，则( )
A ．}1|{<=x x
B A B ．R B A =
C ．}2|{<=x x B A
D ．}12|{<<-=x x B A 2.已知i 是虚数单位，复数
23z
i
-对应于复平面内一点(0,1)，则||z = A. 4 B. 13 C.5 D.42 3、“1=a ”是“函数ax ax y 22sin cos -=的最小正周期为π”的（ ）条件 A.充分不必要 B.必要不充分 C.充分且必要 D.既不充分也不必要 4.在ABC ∆中，内角C B A ,,所对的边长分别为c b a ,,，且满足b A B c C B a 2
1
cos sin cos sin =+，则=∠B （ ） A.
6π或65π B.3π C. 6
π
D.65π
5、在等差数列{}n a 中，若1201210864=++++a a a a a ，则12102a a -的值为（ ） A. 20 B.22 C.24 D.28
6、定积分()dx x x ⎰-10
2的值为（ ）
A.
4π B.2
π
C.π
D.π2 7、等比数列{}n a 中，4,281==a a ，函数()()()()821a x a x a x x x f ---= ，则()=0'f （ ） A. 62 B.92 C.152 D.122
8、△ABC 中，点E 为AB 边的中点，点F 为AC 边的中点，BF 交CE 于点G ，若A G x A E y A F =+
， 则x y +等于（ ）
A ．3
2
B ．
43
C ．1
D ．
23 9、若()x m x x f ln 2
1
2+-=在()+∞,1是减函数，则m 的取值范围是（ ）
A.[)+∞,1
B.()+∞,1
C.(]1,∞-
D.()1,∞-
10、将函数1()cos(2)4f x x θ=+（||2πθ<）的图象向右平移512
π
个单位后得到函数()g x 的图象，
若()g x 的图象关于直线9
x π
=对称，则θ=（ ）
A ．718π
B ．18π
C.18π- D ．718π-
11、定义域是R 的函数()x f 满足()()x f x f 22=+，当(]2,0∈x 时，()(]
(]⎩
⎨⎧∈-∈-=2,1,log 1,0,22x x x x x x f
若(]2,4--∈x 时，()t
t x f 21
4-≤
有解，则实数t 的取值范围是（ ） A.[)()1,00,2 - B.[)[)+∞-,10,2 C.[]1,2- D.(](]1,02, -∞- 12、已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足()2()f x f x '<，则( )
A ．2(2)(1)f e f >
B ．9(ln 2)4(ln 3)f f <
C ．2(0)(1)e f f >
D ．2
(ln 2)4(1)e f f <
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分. 把答案填在答题纸上.） 13. 若命题p ：n n n 2,12>>∃，则p ⌝为 14. 若31)6
sin(
=
-απ
，则=+)2
6(cos 2α
π ． 15. 设函数x x x x x x x f sin )1ln()(22-+++=，则使得)12()(->x f x f 成立的x 的取值范围是 ．
16. 在ABC ∆中，1
6,7,cos ,5
AC BC A O ABC ===∆是的内心，若OP xOA yOB =+
01,01x y ≤≤≤≤其中，则动点P 的轨迹所覆盖的面积为 .
三、解答题：（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，解答过程书写在答 题纸的对应位置.） 17.（本小题满分12分）
在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c . 已知3(sin 3cos )a b C C =+． （Ⅰ）求角B 的大小；
（Ⅱ）若2b =，求a c +的取值范围．
18.（本题满分12分）
已知函数()()R x x x f ∈+-=,sin 2ϕπ（其中2
0π
ϕ≤≤）的图像与y 轴交于点()1,0。

（1）求函数()x f 的解析式及单调递增区间；
（2）设P 是函数()x f 图像的最高点，N M ,是函数()x f 图像上距离P 最近的两个零点， 求PM 与PN 的夹角的余弦值。

19、（本题满分12分）已知n s 为数列{}n a 的前n 项和，且0>n a 3422
+=+n n n s a a .
（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设1
1
+=n n n a a b ，求数列{}n b 的前n 项和。

20. （本小题满分12分）已知n s 为等差数列{}n a 的前n 项和，且0>n a ， 11a =. 数列
{}n
S 也为等差数列
（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设数列10
2
n n n
S b a +=，求数列{}n b 的最大值及对应的n 的值。

21.（本小题满分12分）
已知函数R a x ax x x f ∈++
=,2
1ln )(2
． （Ⅰ）若0)1(=f ，求函数)(x f 的最大值；（Ⅱ）令1)()(2+--=ax ax x f x g ， 讨论函数)(x g 的单调区间； （Ⅲ）若2=a ，正实数21,x x 满足0)()(2121=++x x x f x f ，证明2
1
521-≥
+x x .
二选一、从22,23中选一题作答
22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
已知直线l 的参数方程为3
12132
x t y t ⎧=--⎪⎪⎨
⎪=+⎪⎩（t 为参数)，以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为π
4sin()6
ρθ=-. （Ⅰ）求圆C 的直角坐标方程；
（Ⅱ）设点为(,)P x y 为直线l 与圆C 所截得的弦上的动点，求3x y +的取值范围．
23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知不等式|23|60x x -+-≥的解集为M ． （Ⅰ）求M ；
（Ⅱ）当a ，b M ∈时，证明：3|||1|3a a
b b
+≥+.
高三（理）数学试题答案 一、选择题
1~5 DBAAC 6~10 ADBCD 11~12 BB
13. n n n 2,12≤>∀ 14．32； 15. )1,31(16. 106
3
17.解：（Ⅰ）在ABC △中，3(sin 3cos )a b C C =+
有3sin sin (sin 3cos )A B C C =+
3sin()sin (sin 3cos )B C B C C +=+ ∴3cos sin sin sin B C B C = ∵sin 0C >
∴3cos sin B B =，即tan 3B = ………………4分 而(0,π)B ∈，则3
B π
=
． ………………6分
（Ⅱ） 由4
sin sin sin 3
a c
b A C B ===得 4sin 3a A =
，4
sin 3
c C = ∴442(sin sin )[sin sin()]333
a c A C A A π
+=
+=+-
433(sin cos )4sin()2
263A A A π
=+=+ ………………9分
∵2(0,
)3A π∈，∴5(,)666A πππ
+∈ ∴1
sin ()(,1]62
A π+∈
∴(2,4]a c +∈ ………………………………12分
18、（1）()⎪⎭⎫ ⎝⎛--=6sin 2ππx x f ，单调递增区间为()Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣
⎡
++352,322
（2）17
15,cos =
PN PM
19、（1）12+=n a n （2）9
6+=
n n
T n 20. （1）2-1n a n = ---------6分
（2）因为()
()
2
2
2
211012114212n n b n n ⎛
⎫
⎪+==+ ⎪- ⎪-⎝⎭
---8分 设函数 ()2
21121142f x x ⎛
⎫ ⎪=+ ⎪ ⎪-⎝⎭在定义域上的导数小于0恒成立，所以为减函数，
（不证明只说明为减函数按情况减1-2分） 所以1n =当时，最大值为121 ----------12分
21. （Ⅰ）因为(1)102
a f =+=，所以2a =-， 此时
2()ln ,0f x x x x x =-+>， 2121
()21(0)x x f x x x x x
-++'=-+=> ,
由()0f x '=，得1x =，所以()f x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减， 故当1x =时函数有极大值，也是最大值，所以()f x 的最大值为(1)0f =． ………4分
（Ⅱ）2
1()()1)ln (1)12
g x f x ax x ax a x =-=-+-+-(，
所以21(1)1
()(1)ax a x g x ax a x x
-+-+'=-+-=．
当0a ≤时，因为0x >，所以()0g x '>．所以()g x 在(0,)+∞上是递增函数，
当0a >时，2
1
()(1)
(1)1()a x x ax a x a g x x x
-+-+-+'==-
， 令()0g x '=，得1x a =
．所以当1
(0,)x a ∈时，()0g x '>；当1(,)x a
∈+∞时，()0g x '<， 因此函数()g x 在1
(0,)x a ∈是增函数，在1(,)x a ∈+∞是减函数．
综上，当0a ≤时，函数()g x 的递增区间是(0,)+∞，无递减区间；
当0a >时，函数()g x 的递增区间是1(0,)a ，递减区间是1
(,)a
+∞．………………8分
（Ⅲ）当2
=
a
时，2
()ln ,0f x x x x x =++>． 由1212()()0f x f x x x ++=，即22
11122212ln ln 0x x x x x x x x ++++++=． 从而2
12121212()()ln()x x x x x x x x +++=⋅-⋅．
令12t x x =⋅，则由()ln t t t ϕ=-得，1
()t t t
ϕ-'=
． 可知，()t ϕ在区间(0,1)上单调递减，在区间(1,)+∞上单调递增．所以()(1)1t ϕϕ=≥，
所以21212()()1x x x x +++≥，因为120,0x x >>,因此1251
2
x x -+≥成立． 12分
22．解：（Ⅰ）因为圆C 的极坐标方程为π
4sin()6
ρθ=-，
所以231
4(
sin cos )22
ρρθθ=-， 所以圆C 的普通方程222230x y x y ++-=．…………………4分
（Ⅱ）由圆C 的方程222230x y x y ++-=，可得22(1)(3)4x y ++-=，
所以圆C 的圆心是(1,3)-，半径是2，
将3
12132
x t y t ⎧=--⎪⎪⎨
⎪=+⎪⎩代入3x y +得3x y t +=-， 又直线l 过(1,3)C -，圆C 的半径是2，所以22t -≤≤， 即3x y +的取值范围是[2,2]-． …………………10分
23.解：（Ⅰ）339,2
()|23|633,2
x x f x x x x x ⎧
-≥⎪⎪=-+-=⎨⎪--⎪⎩＜，
则原不等式等价于32390x x ⎧≥⎪⎨⎪-≥⎩或3230
x x ⎧
<
⎪⎨⎪--≥⎩，
解得3x ≥或3x ≤-，
则{|33}M x x x =≥≤-或 …………………5分
（Ⅱ）2222
223922|||1|()(1)39a a a a a a b b b b b b
+-+=++-++
2222222222
999(9)(9)
1999a a a a a b b b b b
----+--=+== ∵a ，b M ∈ ∴29a ≥，29b ≥
∴223|
||1|03a a
b b +-+≥ ∴3|||1|3a a
b b
+≥+ …………………10分。