高中数学1.2导数的计算课程要点解读新人教A版选修22

导数的计算课程要点解读 一、导数的概念 1．函数的平均转变率
一般地，函数)(x f y =，21,x x 是其概念域内不同的两点，那么函数的转变率可用式子2
121)()(x x x f x f --表示，咱们把这个式子称为函数)(x f y =从1x 到2x 的转变率(average rate of c hange)。

习惯上用x ∆表示12x x -即x ∆=12x x -，可把x ∆看做是相对于1x 的一个“增量”，可用1x +x ∆代替2x ；类似地，)()(12x f x f f -=∆，于是平均转变率可以表示为
x f ∆∆。

注意：(1) x
x f x x f x x x f x f x f ∆-∆+=--=∆∆)()()()(111212，式子中x ∆、f ∆的值可正可负，但x ∆的值不能为零，f ∆的值却可以为零。

例如若函数)(x f y =是常函数时，f ∆=0；
(2)在式子x
x f x x f x f ∆-∆+=∆∆)()(11中，当1x 取定值，x ∆取不同的数值时，函数的转变率不同；一样地，当x ∆取定值，1x 取不同的值时，函数的平均转变率也不相同。

2．瞬时转变率
作变速直线运动的物体在不同时刻的速度是不同的，把物体在某一时刻的速度叫做瞬时速度。

用数学语言描述为：设物体运动的路程与时间的关系是)(t f s =，当t ∆趋近于0时，函数)(t f 在0t 到0t +t ∆之间的平均转变率为
t
t f t t f ∆-∆+)()(00趋近于某一个常数，称这个常数为0t 时刻的瞬时速度。

注意：(1) t ∆趋近于0是指时间距离t ∆愈来愈小，能向零无穷趋近，但时终不能为0；
(2) t ∆，f ∆在转变率中都趋近于0，但它们的比值趋近于一个肯定的常数； (3)求瞬时速度的一般步骤：①设非匀速直线运动的规律为：)(t s s =；②时间改变量t ∆，
位置改变量)()(00t s t t s s -∆+=∆；③求平均速度t
s v ∆∆=；④求瞬时速度：取0→∆t ，得v t
s →∆∆(常数)。

3．导数的概念
设函数)(x f y =在0x 周围有概念，当自变量在0x x =周围改变量为x ∆时，函数值相应地改变量为)()(00x f x x f y -∆+=∆。

若是当x ∆趋近于0时，平均转变率x
x f x x f x y ∆-∆+=∆∆)()(00趋近于一个常数l ，则这个常数l 称为函数)(x f 在0x 处的瞬时转变率，通常称为)(x f 在0x x =处的导数，记作)(/x f 或0|/x x y =即
=)(0/x f x x f x x f x ∆-∆+→∆)()(lim
000。

注意：(1) =)(0/x f x x f x x f x ∆-∆+→∆)()(lim 000也可以写成=)(0/x f 00)()(lim 0x x x f x f x x --→，=)(0/x f h
h x f h x f h 2)()(lim 00--+→等等； (2)由导数的概念可知求)(x f y =在0x 的导数一般步骤：①求函数的增量)()(00x f x x f y -∆+=∆；②求平均转变率：
x x f x x f x y ∆-∆+=∆∆)()(00；③取极限，得导数=)(0/x f x
y x ∆∆→∆0lim 。

二．导数的几何意义
1．导数的几何意义
函数)(x f y =在0x 的导数)(0/x f 的几何意义就是曲线)(x f y =在点))(,(00x f x 处
切线的斜率，即=k )(0/x f =x
x f x x f x ∆-∆+→∆)()(lim 000。

注意：(1)利用导数求曲线的切线方各的一般步骤：①求出函数)(x f y =在0x 的导数)(0/x f ；
②按照直线的点斜式方程，求得切线方程))((00/0x x x f y y -=-。

(2)若在点))(,(00x f x 处切线l 的倾斜角为2
π，此时切线平行于y 轴，导数不存在，不能用上方式求切线方程，此时可按照切线的概念直接得出切线方程0x x =。

2．导函数
若是函数)(x f 在开区间内每一点x 处都可导，则称)(x f 在区间(b a ,)内可导。

在区间
(b a ,)内，)(/
x f 组成一个新的函数，咱们把这个函数称为函数)(x f 的导函数，简称为导
数。

注意：(1)函数在一点处的导数，就是该点的函数值的改变量与自变量改变量比值的极限，它是一个常数；(2)函数的导函数是对于某一区间内的任意一点x 而言的，随着x 在区
间内的取值的不同，其对对应的导数也不相同；(3) 函数)(x f y =在0x 的导数)(0/x f ，就
是导函数)(/
x f 在x =0x 处的函数值。

三．导数的计算
1．大体初等函数的导数公式
(1)若=)(x f c ，则=)(/x f 0； (2)若=)(x f )(*N n x n ∈，则=)(/x f 1-n nx ；
(3)若=)(x f x sin ，则=)(/x f x cos (4)若=)(x f x cos ，则=)(/x f x sin -；
(5)若=)(x f x a ，则=)(/x f )0( ln >a a a x
；(6)若=)(x f x e ，则=)(/x f x e ； (7) 若=)(x f x a log ，则)10( ln 1)(/≠>=a a a
x x f 且；(8)若=)(x f x 1，则=)(/x f x 1 注意：(1) 以上八个大体初等函数的导数公式要求记熟并能熟练运用；
(2)在此后的求导运算时，只要不强调利用概念求导数，以上公式可直接应用而不加以证明。

2．导数的运算法则
(1)[])()()()(///x g x f x g x f ±=±；(2) [])()()()()()(///
x g x f x g x f x g x f +=⋅； (3))()()()()()()(2///
x g x g x f x g x f x g x f -=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ 注意：上述公式的记忆口诀：(1)和差导，导和差；(2)前导后不导，后导前不导，中间是加号；(3)分母平方要记牢，上导下不导，下导上不导，中间是减号。

3．复合函数的求导法则
复合函数))((x g f y =的导数与函数)(),(x g u u f y ==的导数间的关系是///x u x u y y ⋅=。

注意：(1)分清复合函数是由哪些大体函数复合而成的，适本地选择中间变量；
(2)分步计算中的每一步都要明确是寻哪个变量进行求导，其要特别注意的是中间变量
的系数；
(3)按照大体初等函数的求导公式及导数的运算法则，求出各函数的导数，并把中间量换成自变量的函数；
(4)复合函数的求导熟练以后，中间的步骤可以省略不写。

特别提示
1．在求切线的方程时，首先应判断所给出的点是不是在曲线上。

若在曲线上，可用求切线方程的步骤来求解；若不在曲线上，可先设出切点，写出切线方程，结合已知条件求出切点坐标，从而得其方程；
2．熟记导数运算的四则运算法则是求导的基础，另外，按照题目特点恰本地选择求导法则会简化运算进程；
3．常常利用函数的导数公式也是求导的基础，它和导数的四则运算法则一样，在高考中常常涉及，但单独考查利用导数公式求导的题目并非多，所考查的题型大多是与其它知识相联系，所以在学习的时候在注意这一点。

4．对于复合函数的求导，要注意中间量的适被选取，要弄清每一步是对哪个变量求导，不要混淆。

另外新课标要求能求简单地复合函数的导数(仅限于形如)(b ax f 的形式)的导数，不要弄得太难。