矢量函数的导数

d u u 0 u
u 0 u u 0 u u 0 u
当u0 时，上式右端第三项趋向于零。因此
dfF
f
dFFdf
du du du
（1-31）
❖ f 和F 之积的导数在形式上与两个标量函数之积的导 数运算法则相同。
❖ 如果 F 是多变量(如)的函数，则对一个变量的偏导数 的定义是
F u 1 ,u 2 ,u 3 lim F u 1 u 1 ,u 2 ,u 3 F u 1 ,u 2 ,u 3
（1-5）
❖ ❖ 直角坐标系中以坐标原点为起点，引向空间任一 点的矢量，称为点的矢径，如图1-2。有
rxexyey+zez
（1-6）
r r x2y2z
（1-7）
err rexcoseycosezcos
（1-8）
空间点的矢径在三个坐标轴上的投影数值分别等于
点 M 的坐标值。
空间一点对应着一个矢径；反之，与每一矢径对应
❖ (2) 矢量的标量积和矢量积 矢量的相乘有两种定义，标量积（点乘）和矢量积 （叉乘）。
❖ ◆ 标量积: AB 是一标量，其大小等于两个矢量模值 相乘，再乘以它们夹角（取小角，即）的余弦：
ABABcosAB
（1-19）
是一个矢量的模与另一矢量再该矢量上的投影的乘 积。符合交换律：
ABBA
（1-20）
E q r
40r3
求E 的矢量方程的通解。
【解】
E 4q 0 r3(x e x y e y z e z) E x e x E y e y E ze z
由式（1-17）化简后得矢量线微分方程
dx x
dy y
d
y
dz
y
z
此方程的通解是
y z
C C
1 2
x y
（C1, C 2 为任意常数）
❖ 如果空间有一长度元矢量，它在直角坐标单位矢 量上的投影值分别是 dx,dy,dz ，则
dl=dxex+dyey+dzez
（1-12）
dl dx2dy2dz2
（1-13）
2 矢量场的矢量线
❖ 一个矢量场，可以用一个矢量函数来表示。
在直角坐标系中，某一矢量物理函数可表示为
FFx,y,z
（1-14）
FFxexFyeyFzez
（1-16）
❖ 式（1-16）可写为
ex ey ez F dl Fx Fy Fz 0
dx dy dz
展开上式，并根据零矢量的三个分量均为零的性质， 或两矢量平行的基本条件，可得
dx dy dz Fx Fy Fz
（1-17）
这就是矢量线的微分方程。
❖ 【例1-1】设点电荷位于坐标原点，它在周围空间的 任一点所产生的电场强度矢量
着空间确定的一个点，即矢径的终点。所以又叫做 位置矢量。
如果空间任一矢量的起点是 Px, y,z，终点是 ， Qx, y,z
根据式（1-6）及矢量的加法规
则，矢量 R 表示为
= R r r x x e x y y e y z z e z （1-7）
z P(x, y, z)
x1 O
y
并有
A B B A
exexeyeyezez0 exeyez, eyezex, ezexey
（1-23） （1-24）
A B (A xe x A yey A ze z) (B xe x B yey B ze z) (A yB z A zB y)e x (A zB x A xB z)e y (A xB y A yB x)e z
变量求导都为零，e , e , ez 都不随 , z 变化而变化，也
就是它们对 , z 求导也为零。从单位矢量在空间坐
标系中随位置的变化情况能够体会到这一点。
❖ 在球坐标系中，各坐标单位矢量对空间坐标变量地 偏导数是
er 0 r
e
e
er
sin e
（1-35a）
e 0 r
e
er
e
cos e
❖ 矢量的模值记为R ，是点 Px,y,z 与点Qx, y,z 之间的距离，由式
x 图1-3 空间矢量表示方法
（1-9）得
Rxx2yy2zz2
（1-10）
❖ 矢量的单位矢量
eRR R
xx xx2yy2zz2ex
yy
zz
xx2yy2zz2ey xx2yy2zz2ez
（1-11）
式中三个分量的系数也就是矢量R 的方位余弦。
A ( B C ) B ( A C ) C ( A B )
（1-28）
❖ 上式右边为“BAC－CAB”，称为“Back－Cab”法
4 矢量函数的微积分 （一）矢量函数的概念 ❖ 常矢：模和方向都保持不变的矢量称为常矢。 ❖ 变矢：模和方向或其中之一会改变的矢量称为变矢。 ❖ 矢量函数：表示物理量的矢量一般都是一个或几个
A B A xB xA yB yA zB z
（1-21）
◆ 矢量积: AB是一个矢量，其大小等于两个矢量的模 值相乘，再乘以它们夹角的正弦，实际就是与所形 成的平行四边行面积，其方向与 A 、 乘B 右手螺旋 关系，为 A 、 所B 在平面的右手法向：
A BnA B sinA B
（1-22）
它不符合交换律。由定义知
（标量）变量的函数，叫矢量函数。例如，静电场 中的电场强度矢量，它的三个坐标分量一般也是 x, y, z 的函数，即
E x ,y ,z E x x ,y ,z e x + E y x ,y ,z e y + E z x ,y ,z e z （1-29）
❖ 如果给定矢量场中任一点的坐标，式（1-29）就给 出该点的一个确定的矢量（电场强度）。
u 1
u 1 0
u 1
（1-32）
由式（1-32）可以证明
fF
f
FFf
（1-33） F
u1
u1 u1
2F
2F
对 再次取偏微分又可以得到象 ， 等等这样 u 1
u 12 u 1 u 2
一些矢量函数。若至少有连续的二阶偏导数，则有
2F 2F u1u2 u2u1
❖ 在直角坐标系中，坐标单位矢量和都是常矢量，其 导数为零。
（1-1）
❖ Ax, Ay , Az分别是矢量 A 在方向 e x , e y , e z 上的投影。
❖ 矢量的长度或模值 A （记为 A ）可从图1-2中写出
A Ax2Ay2Az2
（1-2）
❖
分量是矢量 Ax, Ay , Az
A
分别在坐标单位矢量方向上的投
影，即
Ax Ay
A ex Aey
如图1-4所示，在一般情况下，矢量的增量不一定与
矢量的方向相同。如果 F
是一个常矢量；则
dF du
必等
于零。一阶导数仍然是一个矢量函数。逐次求导，
就可得到 F 的二阶导数以及更高阶导数。
❖ 如果 f 和F 分别是变量的标量函数和矢量函数，则它 们之积的导数由式（1-30）可得
d f F l i m f f F + F f F fl i m F F l i m f l i m F f
◆ 在柱坐标和球坐标系中，由于一些坐标单位矢量不
是常矢量，在求导数时，不能把坐标单位矢量提到 微分符号之外。
❖ 在柱坐标系中，各坐标单位矢量对空间坐标变量地
偏导数是
e ez e ez e z e z ezz0
（1-34a）
e
e
（1-34b）
e
e
（1-34c）
❖ 结论：在柱坐标系下，e z 是常矢，它对任何一个坐标
（1-35b）
e 0 r
e 0
e
cose
siner
（1-35c）
❖ 在柱、球坐标系中，求矢量函数对坐标变量得偏导
数时，必须考虑式（1-34）和（1-35）中的各个关
系式。例如，在柱坐标系中，矢量函数可表示为
E ,,z E e E e E ze z
E 对 坐标变量的偏导数是
E E EeE EeE zez
矢量场中点处的旋度在任一方向上的投影就等于点以rotfcurlfrotlim在直角坐标系下177178图111曲面积分与线积分关系示意图xyxy55又对于曲面s来说其方程为假设其上任一点的法向单位矢量的方向余弦为180且有181182将182代入到179式得183coscoscoscoscoscoscoscoscosrotlimcoscoscos得旋度在直角坐标系中的表示式186由上式看出刚好等于哈密顿算子与矢量的矢积一个矢量函数的旋度仍然是一个矢量函数可以用来描述场在空间的变化规律
A cos A cos
Az A ez A cos
（1-3）
式（1-1）可写为
A A c o se x A c o se y A c o se z
（1-4）
❖ 模等于1的矢量叫做单位矢量。
❖ 按矢量与数量乘积的定义，有
A= AeAAeA
由式（1-4），在直角坐标系中，有
eAA Aexcoseycosezcos
矢量函数的导数
第一章 矢量分析
1.1基本概念
一、标量场与矢量场
如果在空间中一个区域内的每一点都有一物理量的 确定值与之对应，在这个区域中就构成该物理量的 场。
❖ 标量场：如果物理量是一个确定的数值的标量，这 种场就叫标量场（scalar field），如温度场、密度 场、电位场等。
❖ 矢量场：如果物理量是一个既有确定数值又有确定 方向的矢量，这种场就叫矢量场（vector field）。 如水流中的速度场、地球表面的重力场、 带电体周 围的电场等。
❖ 一般说来，矢量场的每一点均有唯一的一条矢量线 通过，所以矢量线充满了整个矢量场所在的空间。 电场中的电力线和磁场中的磁力线等，都是矢量线 的例子。
❖ 为绘出矢量线，求出矢量线方程。在矢量线上任一 点的切向长度元与该点的矢量场的方向平行，即
由式（1-12），
Fdl 0
dldxexdyeydzez
式（1-15）简写为
用分量表示为
F F x ,y , z F x x ,y , z e x F y x ,y , z e y F z x ,y , z e z （1-15）
上式中 Fxx,y,z 、Fxx,y,z 、Fxx,y,z分别是矢量 Fx,y,z在三个 坐标轴上的投影。
为描绘矢量场在空间的分布状况，引入矢量线的概 念。矢量线上每一点的切线方向都代表该点的矢量 场的方向。
（二）矢量函数的导数 ◆ 矢量对空间坐标的导数 ❖ 设是单变量的矢量函数，它
对u 的导数定义是
F F (u)
F (u u)
图 1-12 矢量微分示意图
d F lim F lim F u + Δ u F u
d u u 0 u u 0
u
（1-30）
❖ 这里假定此极限存在（即极限是单值的和有限的）。
❖ 利用式（1-50）有
E
x x
Exex Exey Ezez
E
ey x
Ey x
ey
Ez
ez x
Ez x
ez
Ex x
ex
Ey x
ey
Ez x
ez
❖ 结论：在直角坐标系中，矢量函数对某一坐标变量 的偏导数（或导数）仍然是个矢量，它的各个分量 等于原矢量函数各分量对该坐标变量的偏导数（或 导数）的矢量和。简单地说，只要把坐标单位矢量 提到微分号外就可以了。
（1-25）
各分量的下标次序具有规律性。（1-25）式可以写 成行列式
ex ey ez A B Ax Ay Az
Bx By Bz
（1-26）
◆ 矢量的三重积：矢量的三连乘也有两种。
❖ 标量三重积为
A ( B C ) B ( C A ) C ( A B )
（1-27）
因为，的模值就是 A 与 B 所形成的平行四边行面积， 因此，C(AB)就是该平行四边行与C所构成的平行六 面体的体积。矢量三重积为
z
x1 x1
x1
o y
图1-1 直角坐标系的单位矢量
x
z
o y
x
图1-2 直角坐标系矢量的分解
1.直角坐标系中矢量表示法 过空间任意点的坐标矢量记为 。 ex , e y , ez ex , e y , ez 的方向不随点位置的变化而变化。
❖ 在直角坐标系内的任一矢量(图1-2)可表示
AAxexAyeyAzez
又如在球坐标系中矢量函数可表示为
E r ,, E re r E e E e
E 对 坐标变量的偏导数是
E E r E e r E E r e E e
❖ 结论: 直角坐标系下的坐标单位矢量 e x , e y , e z 不是空 间位置的函数，而柱坐标系、球坐标系下的坐标单 位矢量 e, e,er, e 都随空间位置变化而变化，是空间 位置的函数。
❖ 将此解综合，可以写为 ：（ zD1xD2y D1, D2 为任意常
数）可以看出，电力线是一簇从点电荷所在点（原
点）向空间发散的径向辐射线。这样一簇矢量线形
象地描绘出点电荷电场的分布状况。
3 矢量代数运算
❖ 假设两个矢量，
AAxexAyeyAzez BBxexByeyBzez
❖ (1) 矢量的和差 把两个矢量的对应分量相加或相减，就得到它们的 和或差，即 A B ( A x B x ) e x ( A y B y ) e y ( A z B z ) e z （1-18）
◆ 矢量函数对时间的导数
有些矢量场既是空间坐标变量的函数，又是时间变 量的函数。在各种坐标系中的坐标单位矢量不随时 间变化，求偏导数时，可以把它们作为常矢量提到 偏微分符号之外。在球坐标系中，
E t tE r e r E e E e E tre r E te E te 从上述分析看出: 矢量函数对时间和空间坐标变量 的导数（或偏导数）仍然是矢量。