202X沈阳市中考数学期末二次函数和几何综合汇编
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202X 沈阳市中考数学期末二次函数和几何综合汇编
一、二次函数压轴题
1．定义：若抛物线的顶点和与 x 轴的两个交点所组成的三角形为等边三角形时．则称此抛 物线为正抛物线． 概念理解： （1）如图，在△ ABC 中，∠ BAC＝90°，点 D 是 BC 的中点．试证明：以点 A 为顶点，且与 x 轴交于 D、C 两点的抛物线是正抛物线； 问题探究： （2）已知一条抛物线经过 x 轴的两点 E、F（E 在 F 的左边），E（1，0）且 EF＝2 若此条 抛物线为正抛物线，求这条抛物线的解析式； 应用拓展： （3）将抛物线 y1＝﹣x2+2 3 x+9 向下平移 9 个单位后得新的抛物线 y2．抛物线 y2 的顶点 为 P，与 x 轴的两个交点分别为 M、N（M 在 N 左侧），把△ PMN 沿 x 轴正半轴无滑动翻 滚，当边 PN 与 x 轴重合时记为第 1 次翻滚，当边 PM 与 x 轴重合时记为第 2 次翻滚，依此 类推…，请求出当第 2019 次翻滚后抛物线 y2 的顶点 P 的对应点坐标．
2．如图 1，在平面直角坐标系中，△ ABC 的顶点 A，C 分别是直线 y=﹣ 8 x+4 与坐标轴的 3
交点，点 B 的坐标为（﹣2，0），点 D 是边 AC 上的一点，DE⊥BC 于点 E，点 F 在边 AB 上，且 D，F 两点关于 y 轴上的某点成中心对称，连结 DF，EF．设点 D 的横坐标为 m，EF2 为 l，请探究： ①线段 EF 长度是否有最小值． ②△ BEF 能否成为直角三角形． 小明尝试用“观察﹣猜想﹣验证﹣应用”的方法进行探究，请你一起来解决问题． （1）小明利用“几何画板”软件进行观察，测量，得到 l 随 m 变化的一组对应值，并在平面 直角坐标系中以各对应值为坐标描点（如图 2）．请你在图 2 中连线，观察图象特征并猜 想 l 与 m 可能满足的函数类别． （2）小明结合图 1，发现应用三角形和函数知识能验证（1）中的猜想，请你求出 l 关于 m 的函数表达式及自变量的取值范围，并求出线段 EF 长度的最小值． （3）小明通过观察，推理，发现△ BEF 能成为直角三角形，请你求出当△ BEF 为直角三角 形时 m 的值．
7．已知抛物线 G : y mx2 2mx 3有最低点为 F． （1）当抛物线经过点 E（-1，3）时，①求抛物线的解析式；②点 M 是直线 EF 下方抛物 线上的一动点，过点 M 作平行于 y 轴的直线，与直线 EF 交于点 N，求线段 MN 长度的最 大值； （2）将抛物线 G 向右平移 m 个单位得到抛物线 G1 ．经过探究发现，随着 m 的变化，抛物
（2）根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，
请画出该函数图象的另一部分．
（3）观察函数图象，写出两条函数的性质．
（4）直线
y
kx
b
经过
3 2
,
25 4
，若关于
x
的方程
x2
3
x
4
kx
b
有
4
个不相等的实数
根，则 b 的取值范围为
．
4．小明对函数 y a x2 bx c(a 0) 的图象和性质进行了探究.已知当自变量 x 的值为 0 或
4 时，函数值都为 3 ；当自变量 x 的值为1或 3 时，函数值都为 0 ．探究过程如下，请补充 完整．
（1）这个函数的表达式为 ； （2）在给出的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象并写出这个函数的--条性质： ； （3）进一步探究函数图象并解决问题： ①直线 y k 与函数 y a x2 bx c 有三个交点，则 k ； ②已知函数 y x 3的图象如图所示，结合你所画的函数图象，写出不等式 a x2 bx c x 3 的解集： ． 5．问题发现：如图 1，在△ ABC 中，∠ C=90°，分别以 AC，BC 为边向外侧作正方形 ACDE 和正方形 BCFG． （1）△ ABC 和△ DCF 面积的关系是______________；（请在横线上填写“相等”或“不等”） （2）拓展探究：若∠ C≠90°，（1）中的结论还成立吗？若成立，请结合图 2 给出证明；若 不成立，请说明理由； （3）解决问题：如图 3，在四边形 ABCD 中，AC⊥BD，且 AC 与 BD 的和为 10，分别以四 边形 ABCD 的四条边为边向外侧作正方形 ABFE、正方形 BCHG、正方形 CDJI，正方形 DALK，运用（2）的结论，图中阴影部分的面积和是否有最大值？如果有，请求出最大 值，如果没有，请说明理由．
3．某班“数学兴趣小组”对函数 y x2 3 x 4 的图象和性质进行了探究，探究过程如下， 请补充完整． （1）自变量 x 的取值范围是全体实数， x 与 y 的几组对应值列表如下：
x
⋯
5
4
3
2
Hale Waihona Puke 3 21 0 13 223
4 5⋯
y
⋯ 6 0
4
6
25 4
6
46
25 46
4
0
m⋯
其中， m
．
图1
图2
图3 6．基本模型 如图 1，点 A，F，B 在同一直线上，若∠ A=∠ B=∠ EFC=90°，易得△ AFE∽ △ BCF． （1）模型拓展： 如图 2，点 A，F，B 在同一直线上，若∠ A=∠ B=∠ EFC，求证：△ AFE∽ △ BCF； （2）拓展应用：如图 3，AB 是半圆⊙O 的直径，弦长 AC=BC=4 ，E，F 分别是 AC，AB 上的一点，若∠ CFE=45°．若设 AE=y，BF=x，求出 y 与 x 的函数关系式及 y 的最大值； （3）拓展提升：如图 4，在平面直角坐标系柳中，抛物线 y=﹣ （x+4）（x﹣6）与 x 轴交 于点 A，C，与 y 轴交于点 B，抛物线的对称轴交线段 BC 于点 E，探求线段 AB 上是否存在 点 F，使得∠ EFO=∠ BAO？若存在，求出 BF 的长；若不存在，请说明理由．
线 G1 顶点的纵坐标 y 和横坐标 x 之间存在一个函数，求这个函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围； （3）记（2）所求的函数为 H，抛物线 G 与函数 H 的交点为 P，请结合图象求出点 P 的纵 坐标的取值范围． 8．综合与探究
一、二次函数压轴题
1．定义：若抛物线的顶点和与 x 轴的两个交点所组成的三角形为等边三角形时．则称此抛 物线为正抛物线． 概念理解： （1）如图，在△ ABC 中，∠ BAC＝90°，点 D 是 BC 的中点．试证明：以点 A 为顶点，且与 x 轴交于 D、C 两点的抛物线是正抛物线； 问题探究： （2）已知一条抛物线经过 x 轴的两点 E、F（E 在 F 的左边），E（1，0）且 EF＝2 若此条 抛物线为正抛物线，求这条抛物线的解析式； 应用拓展： （3）将抛物线 y1＝﹣x2+2 3 x+9 向下平移 9 个单位后得新的抛物线 y2．抛物线 y2 的顶点 为 P，与 x 轴的两个交点分别为 M、N（M 在 N 左侧），把△ PMN 沿 x 轴正半轴无滑动翻 滚，当边 PN 与 x 轴重合时记为第 1 次翻滚，当边 PM 与 x 轴重合时记为第 2 次翻滚，依此 类推…，请求出当第 2019 次翻滚后抛物线 y2 的顶点 P 的对应点坐标．
2．如图 1，在平面直角坐标系中，△ ABC 的顶点 A，C 分别是直线 y=﹣ 8 x+4 与坐标轴的 3
交点，点 B 的坐标为（﹣2，0），点 D 是边 AC 上的一点，DE⊥BC 于点 E，点 F 在边 AB 上，且 D，F 两点关于 y 轴上的某点成中心对称，连结 DF，EF．设点 D 的横坐标为 m，EF2 为 l，请探究： ①线段 EF 长度是否有最小值． ②△ BEF 能否成为直角三角形． 小明尝试用“观察﹣猜想﹣验证﹣应用”的方法进行探究，请你一起来解决问题． （1）小明利用“几何画板”软件进行观察，测量，得到 l 随 m 变化的一组对应值，并在平面 直角坐标系中以各对应值为坐标描点（如图 2）．请你在图 2 中连线，观察图象特征并猜 想 l 与 m 可能满足的函数类别． （2）小明结合图 1，发现应用三角形和函数知识能验证（1）中的猜想，请你求出 l 关于 m 的函数表达式及自变量的取值范围，并求出线段 EF 长度的最小值． （3）小明通过观察，推理，发现△ BEF 能成为直角三角形，请你求出当△ BEF 为直角三角 形时 m 的值．
7．已知抛物线 G : y mx2 2mx 3有最低点为 F． （1）当抛物线经过点 E（-1，3）时，①求抛物线的解析式；②点 M 是直线 EF 下方抛物 线上的一动点，过点 M 作平行于 y 轴的直线，与直线 EF 交于点 N，求线段 MN 长度的最 大值； （2）将抛物线 G 向右平移 m 个单位得到抛物线 G1 ．经过探究发现，随着 m 的变化，抛物
（2）根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，
请画出该函数图象的另一部分．
（3）观察函数图象，写出两条函数的性质．
（4）直线
y
kx
b
经过
3 2
,
25 4
，若关于
x
的方程
x2
3
x
4
kx
b
有
4
个不相等的实数
根，则 b 的取值范围为
．
4．小明对函数 y a x2 bx c(a 0) 的图象和性质进行了探究.已知当自变量 x 的值为 0 或
4 时，函数值都为 3 ；当自变量 x 的值为1或 3 时，函数值都为 0 ．探究过程如下，请补充 完整．
（1）这个函数的表达式为 ； （2）在给出的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象并写出这个函数的--条性质： ； （3）进一步探究函数图象并解决问题： ①直线 y k 与函数 y a x2 bx c 有三个交点，则 k ； ②已知函数 y x 3的图象如图所示，结合你所画的函数图象，写出不等式 a x2 bx c x 3 的解集： ． 5．问题发现：如图 1，在△ ABC 中，∠ C=90°，分别以 AC，BC 为边向外侧作正方形 ACDE 和正方形 BCFG． （1）△ ABC 和△ DCF 面积的关系是______________；（请在横线上填写“相等”或“不等”） （2）拓展探究：若∠ C≠90°，（1）中的结论还成立吗？若成立，请结合图 2 给出证明；若 不成立，请说明理由； （3）解决问题：如图 3，在四边形 ABCD 中，AC⊥BD，且 AC 与 BD 的和为 10，分别以四 边形 ABCD 的四条边为边向外侧作正方形 ABFE、正方形 BCHG、正方形 CDJI，正方形 DALK，运用（2）的结论，图中阴影部分的面积和是否有最大值？如果有，请求出最大 值，如果没有，请说明理由．
3．某班“数学兴趣小组”对函数 y x2 3 x 4 的图象和性质进行了探究，探究过程如下， 请补充完整． （1）自变量 x 的取值范围是全体实数， x 与 y 的几组对应值列表如下：
x
⋯
5
4
3
2
Hale Waihona Puke 3 21 0 13 223
4 5⋯
y
⋯ 6 0
4
6
25 4
6
46
25 46
4
0
m⋯
其中， m
．
图1
图2
图3 6．基本模型 如图 1，点 A，F，B 在同一直线上，若∠ A=∠ B=∠ EFC=90°，易得△ AFE∽ △ BCF． （1）模型拓展： 如图 2，点 A，F，B 在同一直线上，若∠ A=∠ B=∠ EFC，求证：△ AFE∽ △ BCF； （2）拓展应用：如图 3，AB 是半圆⊙O 的直径，弦长 AC=BC=4 ，E，F 分别是 AC，AB 上的一点，若∠ CFE=45°．若设 AE=y，BF=x，求出 y 与 x 的函数关系式及 y 的最大值； （3）拓展提升：如图 4，在平面直角坐标系柳中，抛物线 y=﹣ （x+4）（x﹣6）与 x 轴交 于点 A，C，与 y 轴交于点 B，抛物线的对称轴交线段 BC 于点 E，探求线段 AB 上是否存在 点 F，使得∠ EFO=∠ BAO？若存在，求出 BF 的长；若不存在，请说明理由．
线 G1 顶点的纵坐标 y 和横坐标 x 之间存在一个函数，求这个函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围； （3）记（2）所求的函数为 H，抛物线 G 与函数 H 的交点为 P，请结合图象求出点 P 的纵 坐标的取值范围． 8．综合与探究