广东省汕头市金山中学2016-2017学年高二上学期12月月考数学试卷理科 含解析 精品

2016-2017学年广东省汕头市金山中学高二（上）12月月考数学
试卷（理科）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1．在空间中，设m表示直线，α，β表示不同的平面，则下列命题正确的是（）A．若α∥β，m∥α，则m∥βB．若α⊥β，m⊥α，则m∥β
C．若α⊥β，m∥α，则m⊥βD．若α∥β，m⊥α，则m⊥β
2．已知焦点在y轴上的椭圆方程为，则m的范围为（）
A．（4，7） B．（5.5，7）C．（7，+∞）D．（﹣∞，4）
3．如果椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等差数列，则椭圆的离心率为（）
A．B．C．D．
4．若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）
A．B．C．2 D．6
5．如图，一个三棱柱形容器中盛有水，且侧棱AA1=8．若侧面AA1B1B水平放置时，液面恰好过AC，BC，A1C1，B1C1的中点．则当底面ABC水平放置时，液面高为（）
A ．4
B ．5
C ．6
D ．7
6．设命题甲：ax 2+2ax +1＞0的解集是实数集R ；命题乙：0＜a ＜1，则命题甲是命题乙成立的（ ）
A ．充分非必要条件
B ．必要非充分条件
C ．充要条件
D ．既非充分又非必要条件
7．设圆（x +1）2+y 2=25的圆心为C ，A （1，0）是圆内一定点，Q 为圆周上任一
点．线段AQ 的垂直平分线与CQ 的连线交于点M ，则M 的轨迹方程为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
8．若3a 2+3b 2﹣4c 2=0，则直线ax +by +c=0被圆x 2+y 2=1所截得的弦长为（ ）
A ．
B ．1
C ．
D ．
9．直线x +a 2y +1=0与直线（a 2+1）x ﹣by +3=0互相垂直，a ，b ∈R 则|ab |的最小值为（ ） A ．1
B ．2
C ．4
D ．5
10．如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，O 是底面ABCD 的中心，E 为CC 1的中点，那么异面直线OE 与AD 1所成角的余弦值等于（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
11．给出下列四个命题：
①命题“∀x∈R，都有x2﹣x+1≥”的否定是“∃x∈R，使x2﹣x+1＜”
②命题“设向量=（4sinα，3），=（2，3cosα），若∥，则α=的逆命题、否命题、逆否命题中真命题的个数为2；
③集合A={x|x2﹣x=0}，B={y|y=﹣lg（sinx）}，C={y|y=}则x∈A是x∈B ∩C的充分不必要条件．
其中正确命题的个数为（）
A．0 B．1 C．2 D．3
12．已知F1、F2为椭圆的左、右焦点，若M为椭圆上一点，且△MF1F2的内切圆的周长等于3π，则满足条件的点M有
（）个．
A．0 B．1 C．2 D．4
二、填空题（每小题5分，共20分.把答案填在答卷中相应横线上）
13．设a∈R，则“a=1”是“直线l1：ax+2y=0与直线l2：x+（a+1）y+4=0平行”的条件．
14．若直线2ax﹣by+2=0（a＞0，b＞0）经过圆x2+y2+2x﹣4y+1=0的圆心，则+
的最小值是．
15．已知O为坐标原点，F是椭圆C：=1（a＞b＞0）的左焦点，A，B 分别为C的左，右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴．过点A的直线l与线段PF 交于点M，与y轴交于点E．若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为．
16．在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是正方形，AB=2，AA1=2，点A、B、C、D在球O的表面上，球O与BA1的另一个交点为E，与CD1的另一个交点为F，且AE⊥BA1，则球O的表面积为．
三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．已知公差为正数的等差数列{a n}满足a1=1，2a1，a3﹣3，a4+5成等比数列．（1）求{a n}的通项公式；
（2）若b n=（﹣1）n a n，求数列{b n}的前n项和T n．
18．设函数f（x）=cos（x+π）+2cos2，x∈R．
（1）求f（x）的值域；
（2）记△ABC内角A、B、C的对边长分别为a，b，c，若f（B）=1，b=1，c=，求a的值．
19．如图，已知三棱锥O﹣ABC的侧棱OA，OB，OC两两垂直，且OA=1，OB=OC=2，E是OC的中点．
（1）求O点到面ABC的距离；
（2）求二面角E﹣AB﹣C的正弦值．
20．已知椭圆E： +=1（a＞b＞0）的一个焦点为F1（﹣，0），而且过点H（，）．
（1）求椭圆E的方程；
（2）设椭圆E的上下顶点分别为A1，A2，P是椭圆上异于A1，A2的任一点，直线PA1，PA2分别交x轴于点N，M，若直线OT与过点M，N的圆G相切，切点为T．证明：线段OT的长为定值，并求出该定值．
21．设圆x2+y2+2x﹣15=0的圆心为A，直线l过点B（1，0）且与x轴不重合，l
交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E．
（Ⅰ）证明|EA|+|EB|为定值，并写出点E的轨迹方程；
（Ⅱ）设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M，N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P，Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围．
2016-2017学年广东省汕头市金山中学高二（上）12月
月考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1．在空间中，设m表示直线，α，β表示不同的平面，则下列命题正确的是（）A．若α∥β，m∥α，则m∥βB．若α⊥β，m⊥α，则m∥β
C．若α⊥β，m∥α，则m⊥βD．若α∥β，m⊥α，则m⊥β
【考点】命题的真假判断与应用；空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系．
【分析】利用直线与平面垂直的判定定理与线面平行的判断定理，平面与平面平行的判定与性质定理，对选项逐一判断即可．
【解答】解：若α∥β，m∥α，则m∥β或m⊂β，故A错误；
若α⊥β，m⊥α，则m∥β或m⊂β，故B错误；
若α⊥β，m∥α，则m与β可能平行，可能相交，也可能线在面内，故C错误；若α∥β，m⊥α，根据两个平行的平面与同一直线的夹角相同，可得m⊥β，故D 正确
故选D
2．已知焦点在y轴上的椭圆方程为，则m的范围为（）
A．（4，7） B．（5.5，7）C．（7，+∞）D．（﹣∞，4）
【考点】椭圆的标准方程．
【分析】利用椭圆焦点在y轴上，可得不等式，从而可求m的范围．
【解答】解：由题意，m﹣4＞7﹣m＞0，∴5.5＜m＜7
∴m的范围为（5.5，7）
故选B．
3．如果椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等差数列，则椭圆的离心率为（）
A．B．C．D．
【考点】椭圆的简单性质；等差数列的性质．
【分析】设出椭圆的标准方程，由题意结合等差中项的定义建立关于a、b、c的等式，结合b2=a2﹣c2消去b得到关于a、c的二次方程，解之可得c、a的比值，即得此椭圆的离心率．
【解答】解：设椭圆的方程为
∵椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等差数列，
∴2×2b=2c+2a，可得b=（a+c）
∵b2=a2﹣c2，
∴[（a+c）]2=a2﹣c2，化简得5c2+2ac﹣3a2=0
等式两边都除以a2，得5e2+2e﹣3=0，解之得e=（﹣1舍去）
即椭圆的离心率为
故选：C
4．若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）
A．B．C．2 D．6
【考点】由三视图求面积、体积．
【分析】通过三视图判断几何体的形状，通过三视图的数据，求出几何体的体积
即可．
【解答】解：由三视图可知，几何体是底面为直角梯形，一条侧棱垂直底面的四棱锥，
底面直角梯形的底边长分别为：2，1；高为2，
棱锥的高为：2；
所以棱锥的体积为：=2．
故选C．
5．如图，一个三棱柱形容器中盛有水，且侧棱AA1=8．若侧面AA1B1B水平放置时，液面恰好过AC，BC，A1C1，B1C1的中点．则当底面ABC水平放置时，液面高为（）
A．4 B．5 C．6 D．7
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；棱柱的结构特征．
【分析】根据题意，当底面ABC水平放置时，水的形状为四棱柱形，由已知条件求出水的体积；当底面ABC水平放置时，水的形状为三棱柱形，设水面高为h，故水的体积可以用三角形的面积直接表示出，计算即可得答案．
【解答】解：根据题意，当侧面AA1B1B水平放置时，水的形状为四棱柱形，底面是梯形，
S，
设△ABC的面积为S，则S
梯形=
S×AA1=6S，
水的体积V
水=
当底面ABC水平放置时，水的形状为三棱柱形，设水面高为h，
则有V
水=Sh=6S，
故h=6；
故选：C．
6．设命题甲：ax2+2ax+1＞0的解集是实数集R；命题乙：0＜a＜1，则命题甲是命题乙成立的（）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件D．既非充分又非必要条件
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；一元二次不等式的解法．【分析】利用充分必要条件的判断方法判断两命题的推出关系，注意不等式恒成立问题的处理方法．
【解答】解：ax2+2ax+1＞0的解集是实数集R
①a=0，则1＞0恒成立
②a≠0，则，故0＜a＜1
由①②得0≤a＜1．即命题甲⇔0≤a＜1．因此甲推不出乙，而乙⇒甲，因此命题甲是命题乙成立的必要非充分条件．
故选B．
7．设圆（x+1）2+y2=25的圆心为C，A（1，0）是圆内一定点，Q为圆周上任一点．线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M，则M的轨迹方程为（）
A．B．
C．D．
【考点】圆锥曲线的轨迹问题．
【分析】根据线段中垂线的性质可得，|MA|=|MQ|，又|MQ|+|MC|=半径5，故有|MC|+|MA|=5＞|AC|，根据椭圆的定义判断轨迹椭圆，求出a、b值，即得椭圆的标准方程．
【解答】解：由圆的方程可知，圆心C（﹣1，0），半径等于5，设点M的坐标为（x，y ），∵AQ的垂直平分线交CQ于M，
∴|MA|=|MQ|．又|MQ|+|MC|=半径5，∴|MC|+|MA|=5＞|AC|．依据椭圆的定义可得，
点M的轨迹是以A、C 为焦点的椭圆，且2a=5，c=1，∴b=，
故椭圆方程为=1，即．
故选D．
8．若3a2+3b2﹣4c2=0，则直线ax+by+c=0被圆x2+y2=1所截得的弦长为（）
A．B．1 C．D．
【考点】直线与圆相交的性质．
【分析】由已知中3a2+3b2﹣4c2=0，可以求出圆x2+y2=1的圆心（原点）到直线ax+by+c=0的距离，然后根据圆半径、弦心距、半弦长构造直角三角形，满足勾股定理，即可求出弦长．
【解答】解：∵3a2+3b2﹣4c2=0
∴a2+b2=c2
则圆x2+y2=1的圆心到直线ax+by+c=0的距离d==；
则直线ax+by+c=0被圆x2+y2=1所截得的弦长l=2=1；
故选B．
9．直线x+a2y+1=0与直线（a2+1）x﹣by+3=0互相垂直，a，b∈R则|ab|的最小值为（）
A．1 B．2 C．4 D．5
【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．
【分析】由直线与直线互相垂直的性质得a2+1﹣a2b=0，从而|b|=||，进而
|ab|=|a•|=|a+|，由此能求出|ab|的最小值．
【解答】解：∵直线x+a2y+1=0与直线（a2+1）x﹣by+3=0互相垂直，a，b∈R，∴a2+1﹣a2b=0
∴|b|=||，
∴|ab|=|a•|=|a+|≥2
∴|ab|的最小值是2．
故选：B．
10．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E为CC1的中点，那么异面直线OE与AD1所成角的余弦值等于（）
A．B．C．D．
【考点】异面直线及其所成的角．
【分析】由正方体的结构特征，我们取BC的中点F，连接EF，OF，BC1，可证得∠OEF即为异面直线OE与AD1所成角，解△OEF即可得到答案．
【解答】解：取BC的中点F，连接EF，OF，BC1，如图所示：
∵E为CC1的中点，EF∥BC1∥AD1，
故∠OEF即为异面直线OE与AD1所成角
设正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，
则在△OEF中，EF=，OE=
故cos∠OEF==
故选D
11．给出下列四个命题：
①命题“∀x∈R，都有x2﹣x+1≥”的否定是“∃x∈R，使x2﹣x+1＜”
②命题“设向量=（4sinα，3），=（2，3cosα），若∥，则α=的逆命题、否命题、逆否命题中真命题的个数为2；
③集合A={x|x2﹣x=0}，B={y|y=﹣lg（sinx）}，C={y|y=}则x∈A是x∈B ∩C的充分不必要条件．
其中正确命题的个数为（）
A．0 B．1 C．2 D．3
【考点】命题的真假判断与应用．
【分析】写出原命题的否定，可判断①；根据互为逆否的两个命题真假性相同，可判断②；根据充要条件的定义，可判断③．
【解答】解：①命题“∀x∈R，都有x2﹣x+1≥”的否定是“∃x∈R，使x2﹣x+1
＜”，故①正确；
②命题“设向量=（4sinα，3），=（2，3cosα），
若∥，则6sin2α﹣6=0，即sin2α=1，
故原命题若∥，则α=为假命题，其逆否命题假命题，
其逆命题、否命题为真命题，。