一次函数大题难题提高题

1．已知点A（3，4），点B为直线x=-1上的动点，设B（-1，y）．
（1）如图1，若点C（x，0）且-1＜x＜3，BC⊥AC，求y与x之间的函数关系式；（2）在（1）的条件下，y是否有最大值？若有，请求出最大值；若没有，请说明理由；（3）如图2，当点B的坐标为（-1，1）时，在x轴上另取两点E，F，且EF=1．线段EF在x轴上平移，线段EF平移至何处时，四边形ABEF的周长最小？求出此时点E的坐标．
2．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，A点的坐标为(3，0)，以OA为边作等边三角形OAB，点B在第一象限，过点B作AB的垂线交x轴于点C．动点P从O点出发沿OC向C点运动，动点Q从B点出发沿BA向A点运动，P，Q两点同时出发，速度均为1个单位／秒。

设运动时间为t秒．
（1）求线段BC的长；
（2）连接PQ交线段OB于点E，过点E作x轴的平行线交线段BC于点F。

设线段EF 的长为m，求m与t之间的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围：
（3）在（2）的条件下，将△BEF绕点B逆时针旋转得到△BE′F′，使点E的对应点E′落在线段AB上，点F的对应点是F′，E′F′交x轴于点G，连接PF、QG，当t为何值时，
2BQ PF 3
-=?
3．一列快车从甲地匀速驶往乙地，一列慢车从乙地匀速驶往甲地．设先发车辆行驶的时间为x h，两车之间的距离为y km，图中的折线表示y与x之间的函数关系．根据图象解决以下问题：
（1）慢车的速度为 km/h，快车的速度为 km/h；（2）解释图中点D的实际意义并求出点D的坐标；（3）求快车出发多少时间时，两车之间的距离为300km？
4．一次函数y=k
1x+b的图像经过点（0，-4）且与正比例函数y=k
2
x的图象交于点（2，
-1）．
（1）分别求出这两个函数的表达式；
（2）求这两个函数的图象与x轴围成的三角形的面积；
（3）直接写出不等式k
1x-4≥k
2
x的解集。

5．已知：如图1，△OAB是边长为2的等边三角形，OA在x轴上，点B在第一象限内；△OCA是一个等腰三角形，OC＝AC，顶点C在第四象限，∠C＝120°．现有两动点P、Q 分别从A、O两点同时出发，点Q以每秒1个单位的速度沿OC向点C运动，点P以每秒3个单位的速度沿A→O→B运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随即停止．
（1）求在运动过程中形成的△OPQ面积S与运动时间t之间的函数关系，并写出自变量t的取值范围；
（2）在OA上（点O、A除外）存在点D，使得△OCD为等腰三角形，请直接写出
．．．．所有符合条件的点D的坐标；
（3）如图2，现有∠MCN＝60°，其两边分别与OB、AB交于点M、N，连接MN．将∠MCN 绕着C点旋转（0°＜旋转角＜60°），使得M、N始终在边OB和边AB上．试判断在这一过程中，△BMN的周长是否发生变化？若没有变化，请求出其周长；若发生变化，请说明理由．
6．如图，直线y=x+m（m≠0）交x轴负半轴于点A、交y轴正半轴于点B且AB=5，过
点A作直线AC⊥AB交y轴于点C．点E从坐标原点O出发，以个单位/秒的速度沿y轴向上运动；与此同时直线l从与直线AC重合的位置出发，以1个单位/秒的速度沿射线AB方向平行移动．直线l在平移过程中交射线AB于点F、交y轴于点G．设点E离开坐标原点O的时间为t（t≥0）s．
（1）求直线AC的解析式；
（2）直线l在平移过程中，请直接写出△BOF为等腰三角形时点F的坐标；
（3）直线l在平移过程中，设点E到直线l的距离为d，求d与t的函数关系．
7．一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，设慢车行驶的时间为)
(h
x，两车之间的距离
．．．．．．．为)
(km
y，图中的折线表示y与x之间的函数关系．
根据图象进行以下探究：
（1）请解释图中点B的实际意义；
（2）求慢车和快车的速度；
（3）求线段BC所表示的y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
8．(7分)如图,一次函数y=－
4
3
x+3的图象与x轴和y轴分别交于点A和B ,再将△AOB 沿直线CD对折,使点A与点B重合.直线CD与x轴交于点C,与AB交于点D.
(1)点A的坐标为，点B的坐标为。

(2)求OC的长度;
(3)在x轴上有一点P,且△PAB是等腰三角形,不需计算过程,直接写出点P的坐标.
A
B
C
D
O
y/km
900
12 x/h
4
9．如图，已知一次函数
3
3
4
y x
=-+的图象与x轴和y轴分别相交于A、B两点，点C 在线段BA上以每秒1个单位长度的速度从点B向点A运动，同时点D在线段AO上以同样的速度从点A向点O运动，运动时间为()
t s，其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动.
（1）求线段AB的长；
（2）当t为何值时，∆ACD的面积等于∆AOB面积的
9
80
；
（3）当t为何值时，∆ACD是等腰三角形.
10．如图，直线«Skip Record If...»：«Skip Record If...»与«Skip Record If...»轴交于点«Skip Record If...»（4，0），与«Skip Record If...»轴交于点«Skip Record If...»，长方形«Skip Record If...»的边«Skip Record If...»在«Skip Record If...»轴上，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»．长方形«Skip Record If...»由点«Skip Record If...»与点«Skip Record If...»重合的位置开始，以每秒1个单位长度的速度沿«Skip Record If...»轴正方向作匀速直线运动，当点«Skip Record If...»与点«Skip Record If...»重合时停止运动.设长方形运动的时间为«Skip Record If...»秒，长方形«Skip Record If...»与△«Skip Record If...»重合部分的面积为«Skip Record If...».
（1）求直线«Skip Record If...»的解析式；
（2）当«Skip Record If...»=1时，请判断点«Skip Record If...»是否在直线«Skip Record If...»上，并说明理由；
（3）请求出当«Skip Record If...»为何值时，点«Skip Record If...»在直线«Skip Record If...»上；
（4）直接写出在整个运动过程中«Skip Record If...»与«Skip Record If...»的函数关系式.
11．在一条直线上依次有A、B、C三个港口，甲、乙两船同时分别从A、B港口出发，
沿直线匀速驶向C港，最终达到C港．设甲、乙两船行驶x（h）后，与．B．港的距离
．．．．分
别为
1
y、
2
y（km），
1
y、
2
y与x的函数关系如图所示．
（A） B
C
D
M
N
x
y
O
（1）填空：A、C两港口间的距离为 km，
a；
（2）求图中点P的坐标，并解释该点坐标所表示的实际意义；
（3）甲、乙两船同在行驶途中，若两船距离不超过10 km时能够相互望见，求甲、乙两船可以相互望见时x的取值范围．
12．（1）证明：不论a取什么值，直线l：y＝a x-a都通过一个定点；
（2）以A（0，2）、B（2，0）、O（0，0）为顶点的三角形被直线l分成两部分，分别求
出当a=２和a=－
2
3
时，靠近原点O一侧的那部分面积．
13．小明在上物理实验课时，利用量筒和体积相同的小球进行了如下操作：
请根据示意图中所给信息，解答下列问题：
（1）放入一个小球后，量筒中水面升高 cm；
（2）求放入小球后，量筒中水面的高度y（cm）与小球个数x（个）之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；
（3）若往量筒中继续放入小球，量筒中的水就会溢出．问：量筒中至少放入几个小球时有水溢出？
14．小颖和小亮上山游玩，小颖乘会缆车，小亮步行，两人相约在山顶的缆车终点会合．已知小亮行走到缆车终点的路程是缆车到山顶的线路长的2倍，小颖在小亮出发后50 min 才乘上缆车，缆车的平均速度为180 m/min．设小亮出发x min后行走的路程为y m．图中的折线表示小亮在整个行走过程中y与x的函数关系．
⑴小亮行走的总路程是____________㎝，他途中休息了________min．
⑵①当50≤x≤80时，求y与x的函数关系式；
②当小颖到达缆车终点为时，小亮离缆车终点的路程是多少？
O
y/km
90
30
a3
P
x/h
15．如图，直线>0y x b (b )=+与x 轴负半轴、y 轴正半轴分别交于A 、B 两点，正比例函数(0)y kx k =<的图像与直线AB 交于点Q ，过A 、B 两点分别作AM⊥OQ 于M ，BN⊥OQ 于N ，若AM =10，BN =3，
（1）求A 、B 两点的坐标；（用b 表示）
（2）图中有全等的三角形吗？若有，请找出并说明理由。

（3）求MN 的长．
16．如图1，在等腰梯形ABCO 中，AB ∥CO ，E 是AO 的中点，过点E 作EF ∥OC 交BC 于F ，AO =4，OC =6，∠AOC =60°.现把梯形ABCO 放置在平面直角坐标系中，使点O 与原点重合，OC 在x 轴正半轴上，点A ，B 在第一象限内．
（1）求点E 的坐标及线段AB 的长；
（2）点P 为线段EF 上的一个动点，过点P 作PM ⊥EF 交OC 于点M ，过M 作MN ∥AO 交折线．．ABC ．．．
于点N ，连结PN ,设PE =x .△PMN 的面积为S . ①求S 关于x
的函数关系式；
②△PMN 的面积是否存在最大值，若不存在，请说明理由.若存在，求出面积的最大值；
（3）另有一直角梯形EDGH （H 在EF 上，DG 落在OC 上，∠EDG =90°，且DG =3，HG ∥BC .现在开始操作：固定等腰梯形ABCO ，将直角梯形EDGH 以每秒1个单位的速度沿OC 方向向右移动，直到点D 与点C 重合时停止（如图2）.设运动时间为t 秒，运动后的直角梯形为E ′D ′G ′H ′（如图3）;试探究：在运动过程中，等腰梯ABCO 与直角梯形E ′D ′G ′H ′重合部分的面积y 与时间t 的函数关系式.
17． 甲、乙两辆汽车沿同一路线赶赴距出发地480千米的目的地，乙车比甲车晚出发2小时(从甲车出发时开始计时)．图中折线OABC 、线段DE 分别表示甲、乙两车所行路程y (千米)与时间x (小时)之间的函数关系对应的图象(线段AB 表示甲出发不足2小时因故停车检修)．请根据图象所提供的信息，解决如下问题：
y
B
x
N
M
Q O A
(1)求乙车所行路程y 与时间x 的函数关系式；（4分）
(2)求两车在途中第二次相遇时，它们距出发地的路程；（4分）
(3)乙车出发多长时间，甲、乙两车相距80千米？(写出解题过程) （4分）
为响应环保组织提出的“低碳生活”的号召，李明决定不开汽车而改骑自行车上班．有一天，李明骑自行车从家里到工厂上班，途中因自行车发生故障，修车耽误了一段时间，车修好后继续骑行，直至到达工厂（假设在骑自行车过程中匀速行驶）．李明离家的距离y （米）与离家时间x （分钟）的关系表示如下图：
18．李明从家出发到出现故障时的速度为
米／分钟； 19．李明修车用时 分钟；
20．求线段BC 所对应的函数关系式（不要
求写出自变量的取值范
围）．
一位数学老师参加本市自来水价格听证会后，编写了一道应用题，题目如下：节约用水、保护水资源，是科学发展观的重要体现.依据这种理念，本市制定了一套节约用水的管理措施，其中规定每月用水量超过m （吨）时，超过部分每吨加收环境保护费
100
m 元.下图反映了每月收取的水费y （元）与每月用水量x （吨）之间的函数关系.
请你解答下列问题：
21．将m 看作已知量，分别写出当0<x<m 和x>m 时，y 与x 之间的函数关系式；
22．按上述方案，一家酒店四、五两月用水量及缴费情况如下表所示，那么，这家酒店
四、五两月的水费分别是按哪种方案计算的？并求出m 的值.
月份 用水量x （吨） 水费y （元） 四月 35 五月 80 151 y (米)
x (分钟)
4000
3000 O 15 20 25 A B
C 17
O 10 m x ()
y (元)
如图1，在平面直角坐标系中，已知点(043)A ，
，点B 在x 正半轴上，且30ABO =∠．
动点P 在线段AB 上从点A 向点B 以每秒3个单位的速度运动，设运动时间为秒．点M 、N 在x 轴上，且PMN △是等边三角形．
23．求点B 的坐标
24．求等边PMN △的边长（用的代数式表示），并求出当等边PMN △的顶点M 运动到与原点O 重合时的值；
25．如果取OB 的中点D ，以OD 为边在Rt AOB △内部作如图2所示的矩形ODCE ，点C 在线段AB 上．设等边PMN △和矩形ODCE 重叠部分的面积为S ，请求出当02t ≤≤秒时，S 与的函数关系式，并求出S 的最大值．
如图所示，某地区对某种药品的需求量1y （万件），供应量2y （万件）与价格x （元/件）分别近似满足下列函数关系式：701+-=x y ，3822-=x y ，需求量为0时，即停止供应；当21y y =时，该药品的价格称为稳定价格，需求量称为稳定需求量.
26．求该药品的稳定价格与稳定需求量.
27．价格在什么范围内，该药品的需求量低于供应量？
28．由于该地区突发疫情，政府部门决定对药品供应方提供价格补贴来提高供货价格，以利提高供应量.根据调查统计，需将稳定需求量增加6万件，政府应对每件药品提供多少元补贴，才能使供应量等于需求量.
29．(本题10分)某班师生组织植树活动，上午8时从学校出发，到植树地点植树后原路返校，如图为师生离校路程s 与时间t 之间的图象.请回答下列问题： （1）求师生何时回到学校？
（2）如果运送树苗的三轮车比师生迟半小时出发，与师生同路匀速前进，早半小时到达植树地点，请在图中，画出该三轮车运送树苗时，离校路程s 与时间t 之间的图象，并结合图象直接写出三轮车追上师生时，离学校的路程；
（3）如果师生骑自行车上午8时出发，到植树地点后，植树需2小时，要求14时前返．．回到．．
学校，往返平均速度分别为每时10km 、8km .现有A 、B 、C 、D 四个植树点与学校的路程分别是13km 、
15km 、17km 、19km ，试通过计算说明哪几个植树点符合要求.
O
x (元/件) y (万件)
y 1=－x +70
y 2=2x －38
参考答案
1．（1）2113424y x x =++（2）y 没有最大值，理由见解析（3）EF 平移至如图2所示位置时，四边形ABEF 的周长最小，此时点E 的坐标为（25-，0） 2．（1）33
（2）13m BE OB OE t 22==-=
+ (0<t<3) （3）当t=1 时，32BQ PF QG -= 3．（1）80，120；（2）快车到达乙地，D （，360）；（3）或小时
4．（1）423-=x y ，y=x 21-；（2）3
4；（3）x ≥2 5．（1）23
142
S t t =-+（203t <<），232S t t =-（2233t <≤） （2）23(,0)或2(,0)3
（3）4
6．（1）y=﹣x ﹣
（2）F 1（，）、F 2（﹣，）、F 3．（﹣，2） （3）d=﹣t+
d=t ﹣ 7．（1）图中点B 的实际意义是：当慢车行驶4h 时，慢车和快车相遇；
（2）慢车的速度为75km/h ，快车的速度为150km/h ；
（3）)64(900225≤≤-=x x y
8．(1)点A 的坐标为（4，0） ，点B 的坐标为 （0，3） 。

（2）OC=
87 ； (3)p 点坐标为（8
7，0），（-4，0），（-1，0），（9，0） 9．（1）5；（2）12t =；（3）52或4013或2513 10．（1）4y x =-+；（2）在；（3）t =3；
(4) ()()()
()222,010.5 1.512t 3.5,230.5t 4t+8,34t t t t S t t ≤≤⎧⎪-++<≤⎪=⎨-+<≤⎪⎪-<≤⎩
.
11．（1）120，（2）（1，30），两船出发1 h 后，甲船追上乙船，此时两船离B 港的距离为30 km （3）23≤x ≤43
12．（1）证明见解析（2）
35，4
3 13．（1）2.（2）230y x =+（3）10个
14．解：⑴3600，20．
⑵①当5080x ≤≤时，设y 与x 的函数关系式为y kx b =+．
根据题意，当50x =时，1950y =；当80x =，3600y =．
所以，y 与x 的函数关系式为55800y x =-．
②缆车到山顶的路线长为3600÷2=1800（m ），
缆车到达终点所需时间为1800÷180＝１0（min ）．
小颖到达缆车终点时，小亮行走的时间为10＋50＝60（min ）．
把60x =代入55800y x =-，得y=55×60—800=2500．
所以，当小颖到达缆车终点时，小亮离缆车终点的路程是3600-2500=1100（m ）．
15．解: （1）直线>0y x b(b )=+与x 轴的交点坐标A 为（－b ，0），
与y 轴的交点坐标B 为（0，b ）
（2）有，△MAO≌△NOB。

理由： 由（1）知OA=OB ∵AM⊥OQ，BN⊥OQ ∴∠AMO=∠BNO=90°
∵∠MOA+∠MAO=90°，∠MOA+∠MOB=90°
∴∠MAO=∠MOB
在△MAO 和△BON 中
MAO MOB AMO BNO OA OB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴△MAO≌△NOB
（3）∵△MAO≌△NOB
∴OM=BN，AM=ON
∴MN=ON－OM=AM －BN=7
16．（1）E （1，3），AB =2（2）①34
5341+-=x S ②3（3）y=-3t +329,y= 321)5(t -2 17．（1）y=60x-120 (2) 240 (3)
313或3
14或322或326
18．200
19．5
20．设线段BC 解析式为：y = kx+b ，
∵ 图象过点（20，3000）、（25，4000），
∴ {300020k b 400025k b =+=+
解得：k=200，b = —1000
所以解析式为y = 200x —1000。

21．y 与x 的函数关系式为：y=（x≤m）; 100)(7.1m m x x y ⋅-+= 或)100
7.1()(7.1m m x m y +⋅-+=( x≥m) ； 22． ∵×35=，×80=136＜151
∴这家酒店四月份用水量不超过m 吨（或水费是按y=来计算的），
五月份用水量超过m 吨（或水费是按100
)(7.1m m x x y ⋅-+=来计算的） 则有151=×80+（80－m ）×
100m 即m 2－80m+1500=0
解得m 1=30，m 2=50．
又∵四月份用水量为35吨，m 1=30＜35，∴m 1=30舍去．
∴m=50
见解析
26．36
27．当药品每件价格在大于36元小于70元时，该药品的需求量低于供应量 28．9
29．(本题10分)（1）设师生返校时的函数解析式为b kt s +=， 把（12，8）、（13，3）代入得，
⎩
⎨⎧+=+=b k b k 133,128 解得：⎩⎨⎧=-=68,5b k ∴685+-=t s ，
当0=s 时，t = ，
∴师生在时回到学校；……3分
（2）图象正确２分.
由图象得，当三轮车追上师生时，离学校4km ； ……2分
（3）设符合学校要求的植树点与学校的路程为x （km ），由题意得： 88210+++x x ＜14, 解得：x ＜9717， 答：A 、B 、C 植树点符合学校的要求．……3分。