2020-2021高中必修一数学上期末一模试卷(附答案)(3)

2020-2021高中必修一数学上期末一模试卷(附答案)(3)
一、选择题
1．已知()f x 是偶函数，它在[)0,+∞上是增函数.若()()lg 1f x f <-，则x 的取值范围
是（ ）
A ．1,110⎛⎫ ⎪⎝⎭
B ．()
10,10,10骣琪??琪桫
C ．1,1010⎛⎫
⎪⎝⎭
D ．()()0,110,⋃+∞
2．已知奇函数()y f x =的图像关于点(,0)2π
对称，当[0,)2
x π
∈时，()1cos f x x =-，
则当5(
,3]2
x π
π∈时，()f x 的解析式为（ ） A ．()1sin f x x =-- B ．()1sin f x x =- C ．()1cos f x x =-- D ．()1cos f x x =- 3．德国数学家狄利克在1837年时提出：“如果对于x 的每一个值，y 总有一个完全确定的值与之对应，则y 是x 的函数，”这个定义较清楚地说明了函数的内涵．只要有一个法则，使得取值范围中的每一个值，有一个确定的y 和它对应就行了，不管这个对应的法则
是公式、图象，表格述是其它形式已知函数f （x ）由右表给出，则1102f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭的值为
（ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
4．若函数()2log ,? 0,?
0x x x f x e x >⎧=⎨≤⎩，则12f f ⎛⎫
⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（ ）
A ．1e
B ．e
C ．21e
D ．2e
5．设函数()f x 的定义域为R ，满足(1) 2 ()f x f x +=，且当(0,1]x ∈时，()(1)f x x x =-.
若对任意(,]x m ∈-∞，都有8
()9
f x ≥-，则m 的取值范围是 A ．9,4
⎛⎤-∞ ⎥⎝
⎦
B ．7,3
⎛⎤-∞ ⎥⎝
⎦
C ．5,2
⎛⎤-∞ ⎥⎝
⎦
D ．8,3
⎛⎤-∞ ⎥⎝
⎦
6．设函数()()21
2
log ,0,log ,0.x x f x x x >⎧⎪
=⎨-<⎪⎩若()()f a f a >-,则实数的a 取值范围是( )
A ．()()1,00,1-⋃
B ．()(),11,-∞-⋃+∞
C ．()()1,01,-⋃+∞
D ．()(),10,1-∞-⋃
7．函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象关于直线x ＝－对称．据此可推测，对任意的非零实数a ，b ，c ，m ，n ，p ，关于x 的方程m [f (x )]2＋nf (x )＋p ＝0的解集都不可能是( ) A ．{1,2} B ．{1,4} C ．{1,2,3,4}
D ．{1,4,16,64}
8．已知全集为R ，函数()()ln 62y x x =--的定义域为集合
{},|44A B x a x a =-≤≤+，且R A B ⊆ð，则a 的取值范围是（ ）
A ．210a -≤≤
B ．210a -<<
C ．2a ≤-或10a ≥
D ．2a <-或10a >
9．已知[]x 表示不超过实数x 的最大整数，()[]
g x x =为取整函数，0x 是函数()2
ln f x x x
=-的零点，则()0g x 等于（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
10．函数()f x 是周期为4的偶函数,当[]
0,2x ∈时，()1f x x =-,则不等式()0xf x >在[]1,3-上的解集是 ( ) A ．()1,3
B ．()1,1-
C ．()()1,01,3-U
D ．()()1,00,1-U
11．设函数()1x
2,x 12f x 1log x,x 1-≤⎧
=->⎨⎩
，则满足()f x 2≤的x 的取值范围是( )
A ．[]
1,2-
B ．[]0,2
C ．[)1,∞+
D ．[
)0,∞+ 12．若不等式210x ax ++≥对于一切10,2x ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
恒成立，则a 的取值范围为( ) A ．0a ≥
B ．2a ≥-
C ．52
a ≥-
D ．3a ≥-
二、填空题
13．通过研究函数()42
21021=-+-f x x x x 在x ∈R 内的零点个数，进一步研究得函数
()221021=+--n g x x x x （3n >，n N ∈且n 为奇数）在x ∈R 内零点有__________个
14．已知函数()1
352=++f x ax bx （a ，b 为常数），若()35f -=，则()3f 的值为______
15．已知()y f x =是定义在R 上的奇函数，且当0x …
时，11
()42x x
f x =-+，则此函数
的值域为__________.
16．已知a ，b R ∈，集合()(){}
2232
|220D x x a a x a a =----+≤，且函数
()12
b
f x x a a -=-+-
是偶函数，b D ∈，则220153a b -+的取值范围是_________. 17．若函数f (x )是定义在R 上的偶函数，在(－∞，0]上是减函数，且f (2)＝0，则使得f (x )<0的x 的取值范围是________．
18．已知函数()f x 满足对任意的x ∈R 都有11222⎛⎫⎛⎫
++-=
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
f x f x 成立，则 127...888f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
＝ ． 19．函数2sin 21
=
+++x
y x x 的最大值和最小值之和为______ 20．已知函数()f x 为R 上的增函数，且对任意x ∈R 都有()34x f f x ⎡⎤-=⎣⎦，则
()4f =______. 三、解答题
21．已知二次函数满足2
()(0)f x ax bx c a =++≠，(1)()2,f x f x x +-= 且(0) 1.f =
（1）求函数()f x 的解析式
（2）求函数()f x 在区间[1,1]-上的值域；
22．已知集合{}{}{}
|2318,|215,|1A x x B x x C x x a x a =≤-≤=-<=≤≥+或． （1）求,A B A B I U ；
（2）若()R C C A ⊆，求实数a 的取值范围．
23．已知定义在()0,∞+上的函数()f x 满足()()()f xy f x f y =+，()20201f =，且当1x >时，()0f x >. （1）求()1f ；
（2）求证：()f x 在定义域内单调递增;
（3）求解不等式12
f
<
. 24．已知函数2()log (421)x x
f x a a =+⋅++，x ∈R ．
（Ⅰ）若1a =，求方程()3f x =的解集；
（Ⅱ）若方程()f x x =有两个不同的实数根，求实数a 的取值范围． 25．计算或化简：
（1）1
12
3
20412730.1log 321664π-⎛⎫⎛⎫++-- ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
；
（2）6log 3332log 27log 2log 36lg 2lg 5-⋅---. 26．已知．
（1）若函数的定义域为，求实数的取值范围； （2）若函数
在区间
上是递增的，求实数的取值范围．
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一、选择题 1．C 解析：C 【解析】 【分析】
利用偶函数的性质将不等式()()lg 1f x f <-变形为()
()lg 1f x f <，再由函数
()y f x =在[)0,+∞上的单调性得出lg 1x <，利用绝对值不等式的解法和对数函数的单
调性即可求出结果. 【详解】
由于函数()y f x =是偶函数，由()()lg 1f x f <-得()
()lg 1f x f <， 又Q 函数()y f x =在[)0,+∞上是增函数，则lg 1x <，即1lg 1x -<<，解得110
10
x <<. 故选：C. 【点睛】
本题考查利用函数的单调性和奇偶性解不等式，同时也涉及了对数函数单调性的应用，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
2．C
解析：C 【解析】 【分析】 当5,32x ππ⎛⎤∈
⎥⎝⎦时，30,2x ππ⎡⎫
-∈⎪⎢⎣⎭
,结合奇偶性与对称性即可得到结果. 【详解】
因为奇函数()y f x =的图像关于点,02π⎛⎫
⎪⎝⎭
对称，所以()()0f x f x π++-=，
且()()f x f x -=-，所以()()f x f x π+=，故()f x 是以π为周期的函数.
当5,32x ππ⎛⎤∈
⎥⎝⎦时，30,2x ππ⎡⎫
-∈⎪⎢⎣⎭
，故()()31cos 31cos f x x x ππ-=--=+ 因为()f x 是周期为π的奇函数，所以()()()3f x f x f x π-=-=- 故()1cos f x x -=+，即()1cos f x x =--，5,32x ππ⎛⎤
∈ ⎥⎝⎦
故选C 【点睛】
本题考查求函数的表达式，考查函数的图象与性质，涉及对称性与周期性，属于中档题.
3．D
解析：D 【解析】 【分析】
采用逐层求解的方式即可得到结果. 【详解】
∵(] 1
21∈-∞，
，∴112f ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
， 则110102f ⎛⎫
=
⎪⎝⎭
，∴()1(())21010f f f =， 又∵[)102∈+∞，
，∴()103f =，故选D ． 【点睛】
本题主要考查函数的基础知识，强调一一对应性，属于基础题．
4．A
解析：A 【解析】 【分析】
直接利用分段函数解析式，认清自变量的范围，多重函数值的意义，从内往外求，根据自变量的范围，选择合适的式子求解即可. 【详解】
因为函数2log ,0
(),0x x x f x e x >⎧=⎨≤⎩
，
因为
102
>，所以211
()log 122f ==-，
又因为10-<，
所以1
1(1)f e
e
--==，
即11
(())2
f f e
=
，故选A. 【点睛】
该题考查的是有关利用分段函数解析式求函数值的问题，在解题的过程中，注意自变量的取值范围，选择合适的式子，求解即可，注意内层函数的函数值充当外层函数的自变量.
5．B
解析：B 【解析】 【分析】
本题为选择压轴题，考查函数平移伸缩，恒成立问题，需准确求出函数每一段解析式，分析出临界点位置，精准运算得到解决． 【详解】
(0,1]x ∈Q 时，()=(1)f x x x -，(+1)= ()f x 2f x ，()2(1)f x f x ∴=-，即()f x 右移1
个单位，图像变为原来的2倍．
如图所示：当23x <≤时，()=4(2)=4(2)(3)f x f x x x ---，令84(2)(3)9
x x --=-，整理得：2945560x x -+=，1278
(37)(38)0,,33
x x x x ∴--=∴=
=（舍），(,]x m ∴∈-∞时，8()9f x ≥-成立，即73m ≤，7,3m ⎛
⎤∴∈-∞ ⎥⎝
⎦，故选B ．
【点睛】
易错警示：图像解析式求解过程容易求反，画错示意图，画成向左侧扩大到2倍，导致题目出错，需加深对抽象函数表达式的理解，平时应加强这方面练习，提高抽象概括、数学建模能力．
6．C
解析：C 【解析】 【分析】 【详解】
因为函数()()212log ,0,log ,0.x x f x x x >⎧⎪
=⎨-<⎪⎩若()()f a f a >-,所以220log log a a a >⎧⎨>-⎩或
()()122
log log a a a <⎧⎪
⎨->-⎪⎩，解得1a >或10a -<<，即实数的a 取值范围是()()1,01,-⋃+∞，
故选C. 7．D
解析：D 【解析】 【分析】
方程()()2
0mf x nf x p ++=不同的解的个数可为0,1,2,3,4.若有4个不同解，则可根据二次函数的图像的对称性知道4个不同的解中，有两个的解的和与余下两个解的和相等，故可得正确的选项. 【详解】
设关于()f x 的方程()()2
0mf
x nf x p ++=有两根，即()1f x t =或()2f x t =.
而()2f x ax bx c =++的图象关于2b
x a
=-对称，因而()1f x t =或()2f x t =的两根也关于2b x a =-对称．而选项D 中416164
22
++≠.故选D .
【点睛】
对于形如()0f g x =⎡⎤⎣⎦的方程（常称为复合方程），通过的解法是令()t x g =，从而得
到方程组()()0
f t
g x t ⎧=⎪⎨=⎪⎩
，考虑这个方程组的解即可得到原方程的解，注意原方程的解的特征
取决于两个函数的图像特征.
8．C
解析：C 【解析】 【分析】
由()()620x x -->可得{}|26=<<A x x ，{}
44R C B x a x a 或=-+，再通过A 为
R C B 的子集可得结果.
【详解】
由()()ln 62y x x =--可知，
()()62026x x x -->⇒<<，所以{}|26=<<A x x ，
{}
44R C B x a x a 或=-+，
因为R A C B ⊆，所以6424a a 或≤-≥+，即102a a ≥≤-或，故选C. 【点睛】
本题考查不等式的解集和对数函数的定义域，以及集合之间的交集和补集的运算；若集合的元素已知，求解集合的交集、并集、补集时，可根据交集、并集、补集的定义求解.
9．B
解析：B 【解析】 【分析】
根据零点存在定理判断023x <<，从而可得结果. 【详解】 因为()2
ln f x x x
=-
在定义域内递增， 且()2ln 210f =-<，()2
3ln 303
f =->， 由零点存在性定理可得023x <<，
根据[]
x 表示不超过实数x 的最大整数可知()02g x =， 故选：B. 【点睛】
本题主要考查零点存在定理的应用，属于简单题.应用零点存在定理解题时，要注意两点：（1）函数是否为单调函数；（2）函数是否连续.
10．C
解析：C 【解析】
若[20]x ∈-，，则[02]x -∈，，此时1f x x f x -=--Q （），（）是偶函
数，1f x x f x ∴-=--=（）（）， 即1[20]f x x x =--∈-（），，， 若[24]x ∈， ，则4[20]x -∈-，， ∵函数的周期是4，4413f x f x x x ∴=-=---=-（）（）（），
即120
102324x x f x x x x x ---≤≤⎧⎪=-≤≤⎨⎪-≤≤⎩
，（），， ，作出函数f x （）在[1
3]-， 上图象如图， 若03x ≤＜，则不等式0xf x （）＞ 等价为0f x （）＞ ，此时13x ＜＜，
若10x -≤≤ ，则不等式0xf
x （）＞等价为0f x （）＜ ，此时1x -＜＜0 ， 综上不等式0xf x （）＞ 在[13]-， 上的解集为1310.⋃-（，）（，）
故选C.
【点睛】本题主要考查不等式的求解，利用函数奇偶性和周期性求出对应的解析式，利用数形结合是解决本题的关键．
11．D
解析：D 【解析】 【分析】
分类讨论：①当x 1≤时；②当x 1>时，再按照指数不等式和对数不等式求解，最后求出它们的并集即可． 【详解】
当x 1≤时，1x 22-≤的可变形为1x 1-≤，x 0≥，0x 1∴≤≤． 当x 1>时，21log x 2-≤的可变形为1
x 2
≥，x 1∴≥，故答案为[)0,∞+． 故选D ． 【点睛】
本题主要考查不等式的转化与求解，应该转化特定的不等式类型求解．
12．C
解析：C 【解析】 【分析】 【详解】
210x ax ++≥对于一切10,2x ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭成立，
则等价为a ⩾21
x x
--对于一切x ∈(0,1 2)成立，
即a ⩾−x −1x 对于一切x ∈(0,1
2)成立， 设y =−x −1x ,则函数在区间(0,1
2
〕上是增函数 ∴−x −
1x <−12−2=52
-， ∴a ⩾52
-
. 故选C.
点睛：函数问题经常会遇见恒成立的问题：
（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；
（2）若()0f x >就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为
min ()0f x >，若()0f x <恒成立，转化为max ()0f x <;
（3）若()()f x g x >恒成立，可转化为min max ()()f x g x >.
二、填空题
13．3【解析】【分析】令（为奇数）作出两个函数的图象后可判断零点的个数【详解】由题意令则零点的个数就是图象交点的个数如图所示：由图象可知与的图象在第一象限有一个交点在第三象限有一个交点因为当为正奇数时的
解析：3 【解析】 【分析】
令()2n s x x =（n 为奇数，3n >），()2
1021h x x x =-++，作出()s x 、()h x 两个函数的
图象后可判断()g x 零点的个数. 【详解】
由题意，令()*2,,5n s x x n N n =∈≥，()2
1021h x x x =-++，则()()()g x s x h x =-，
()g x 零点的个数就是()(),s x h x 图象交点的个数，
如图所示：
由图象可知，()s x 与()h x 的图象在第一象限有一个交点，在第三象限有一个交点， 因为当n 为正奇数时()2n
s x x =的变化速度远大于()h x 的变化速度，故在第三象限内，
()s x 、()h x 的图象还有一个交点，故()(),s x h x 图象交点的个数为3，
所以()g x 零点的个数为3. 故答案为：3. 【点睛】
本题主要考查了函数的零点的判定，其中解答中把函数的零点问题转化为两个函数的图象的交点个数求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想的应用，属于中档试题.
14．【解析】【分析】由求得进而求解的值得到答案【详解】由题意函数（为常数）且所以所以又由故答案为：【点睛】本题主要考查了函数值的求解其中解答中根据函数的解析式准确运算是解答的关键着重考查了计算能力属于基 解析：1-
【解析】 【分析】
由()35f -=，求得1
532723a b -⋅-+=，进而求解()3f 的值，得到答案. 【详解】
由题意，函数()1
352=++f x ax bx （a ，b 为常数），且()35f -=， 所以()1
5332725f a b -=-⋅-+=，所以1
53273a b -⋅-=， 又由()1
533272321f a b -=⋅++=-+=-. 故答案为：1-. 【点睛】
本题主要考查了函数值的求解，其中解答中根据函数的解析式，准确运算是解答的关键，着重考查了计算能力，属于基础题.
15．【解析】【分析】可求出时函数值的取值范围再由奇函数性质得出时的范围合并后可得值域【详解】设当时所以所以故当时因为是定义在上的奇函数所以当时故函数的值域是故答案为：【点睛】本题考查指数函数的性质考查函
解析：11,44⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
【解析】 【分析】
可求出0x ≥时函数值的取值范围，再由奇函数性质得出0x ≤时的范围，合并后可得值域． 【详解】
设12x t =，当0x ≥时，21x ≥，所以01t <≤，2
21124
y t t t ⎛⎫=-+=--+ ⎪⎝⎭， 所以104y ≤≤
，故当0x ≥时，()10,4f x ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
． 因为()y f x =是定义在R 上的奇函数，所以当0x <时，()1,04f x ⎡⎫
∈-
⎪⎢⎣⎭
，故函数()f x 的值域是11,44⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦．
故答案为：11,44⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
．
【点睛】
本题考查指数函数的性质，考查函数的奇偶性，求奇函数的值域，可只求出0x ≥时的函数值范围，再由对称性得出0x ≤时的范围，然后求并集即可．
16．【解析】【分析】由函数是偶函数求出这样可求得集合得的取值范围从而
可得结论【详解】∵函数是偶函数∴即平方后整理得∴∴由得∴故答案为：【点睛】本题考查函数的奇偶性考查解一元二次不等式解题关键是由函数的奇 解析：[2015,2019]
【解析】 【分析】
由函数()f x 是偶函数，求出a ，这样可求得集合D ，得b 的取值范围，从而可得结论． 【详解】
∵函数()12
b
f x x a a -=-+-是偶函数，∴()()f x f x -=，即1122
b b
x a a x a a ---+-
=--+-， x a x a -=+，平方后整理得0ax =，∴0a =，
∴2
{|20}{|20}D x x x x x =+≤=-≤≤， 由b D ∈，得20b -≤≤． ∴22015201532019a b ≤-+≤． 故答案为：[2015,2019]． 【点睛】
本题考查函数的奇偶性，考查解一元二次不等式．解题关键是由函数的奇偶性求出参数
a ．
17．(－22)【解析】【详解】∵函数f(x)是定义在R 上的偶函数且在(－∞0)上是增函数又f(2)＝0∴f(x)在(0＋∞)上是增函数且f(－2)＝f(2)＝0∴当－２＜x ＜2时f(x)＜0即f(x)＜
解析：(－2,2) 【解析】 【详解】
∵函数f(x)是定义在R 上的偶函数，且在(－∞，0)上是增函数，又f(2)＝0，∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数，且f(－2)＝f(2)＝0，∴当－２＜x ＜2时，f(x)＜0，即f(x)＜0的解为(－2,2)，即不等式的解集为(－2,2),故填(－2,2).
18．7【解析】【分析】【详解】设则因为所以故答案为7
解析：7 【解析】 【分析】 【详解】 设， 则
，
因为11222⎛⎫⎛⎫
++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
f x f x ， 所以
，
,
故答案为7.
19．4【解析】【分析】设则是奇函数设出的最大值则最小值为求出的最大值与最小值的和即可【详解】∵函数∴设则∴是奇函数设的最大值根据奇函数图象关于原点对称的性质∴的最小值为又∴故答案为：4【点睛】本题主要考
解析：4 【解析】 【分析】 设()2sin 1
x
g x x x =++，则()g x 是奇函数，设出()g x 的最大值M ，则最小值为M -，求出2
sin 21
=
+++x
y x x 的最大值与最小值的和即可. 【详解】
∵函数2sin 21
=
+++x
y x x ， ∴设()2sin 1x g x x x =
++，则()()2sin 1
x
g x x g x x --=-=-+， ∴()g x 是奇函数， 设()g x 的最大值M ，
根据奇函数图象关于原点对称的性质，∴()g x 的最小值为M -， 又()max max 22g x y M =+=+，()min min 22g x y M =+=-， ∴max min 224y y M M +=++-=， 故答案为：4. 【点睛】
本题主要考查了函数的奇偶性与最值的应用问题，求出()2
sin 1
x
g x x x =++的奇偶性以及最值是解题的关键，属于中档题.
20．【解析】【分析】采用换元法结合函数的单调性计算出的解析式从而即可求解出的值【详解】令所以又因为所以又因为是上的增函数且所以所以所以故答案为：【点睛】本题考查用换元法求解函数的解析式并求值难度一般已知 解析：82
【解析】
【分析】
采用换元法结合函数的单调性计算出()f x 的解析式，从而即可求解出()4f 的值. 【详解】
令()3x
f x t -=，所以()3x
f x t =+，
又因为()4f t =，所以34t t +=，
又因为34t
y t =+-是R 上的增函数且1314+=，所以1t =， 所以()31x
f x =+，所以()4
43182f =+=.
故答案为：82. 【点睛】
本题考查用换元法求解函数的解析式并求值，难度一般.已知()()
f g x 的解析式，可考虑用换元的方法（令()g x t =）求解出()f x 的解析式.
三、解答题
21．（1）2
()1f x x x =-+；（2）3[,3]4
【解析】 【分析】
（1）由()01f =得到c 的值，然后根据(1)()2f x f x x +-=得到关于,a b 的方程组求解出,a b 的值，即可求出()f x 的解析式；
（2）判断()f x 在[1,1]-上的单调性，计算出()()max min ,f x f x ，即可求解出值域. 【详解】
（1）因为()01f =，所以1c =，所以()()2
10f x ax bx a =++≠；
又因为()()12f x f x x +-=，所以()()()
2
2
11112a x b x ax bx x ⎡⎤++++-++=⎣⎦
，
所以22ax a b x ++=，所以220a a b =⎧⎨+=⎩，所以11
a b =⎧⎨=-⎩，即()2
1f x x x =-+；
（2）因为()2
1f x x x =-+，所以()f x 对称轴为12
x =且开口向上，
所以()f x 在11,
2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭递减，在1,12⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
递增，所以()min 111312424f x f ⎛⎫==-+= ⎪⎝⎭， 又()()2
11113f -=-++=，()2
11111f =-+=，所以()max 3f x =， 所以()f x 在[]1,1-上的值域为：3,34⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
. 【点睛】
（1）利用待定系数法求解二次函数的解析式关键是：能根据已知函数类型，将条件中等量关系转化为系数方程组，求解出系数值；
（2）求解二次函数在某个区间上的值域，可先由对称轴和开口方向分析单调性，然后求解出函数最值，即可确定出函数值域.
22．（1）{}{}|13,|3A B x x A B x x ⋂=≤<⋃=≤；（2）[]
1,2a ∈ 【解析】 【分析】
（1）首先求得[]
()1,3,,3A B ==-∞，由此求得,A B A B ⋂⋃的值.（2）
(),1R C C a a =+，由于()[],11,3a a +⊆，故1
13a a ≥⎧⎨+≤⎩
，解得[]1,2a ∈.
【详解】
解：{}{}|13,|3A x x B x x =≤≤=<， （1）{}{}|13,|3A B x x A B x x ⋂=≤<⋃=≤；
（2）∵{}
|1C x x a x a =≤≥+或，∴{}|1R C C x a x a =<<+，
∵()R C C A ⊆，∴1
13a a ≥⎧⎨+≤⎩
，∴[]1,2a ∈．
23．（1）0；（2）证明见解析；（3）()()1,02019,2020x ∈-U 【解析】 【分析】
（1）取1x y ==，代入即可求得()1f ； （2）任取210x x >>，可确定()()22110x f x f x f x ⎛⎫
-=> ⎪⎝⎭
，根据单调性定义得到结论； （3
）利用1
2
f
=
将所求不等式变为
f f
<，结合定义
域和函数单调性可构造不等式组求得结果. 【详解】
（1）取1x y ==，则()()()111f f f =+，解得：()10f = （2）任取210x x >> 则()()()221111x f x f x f x f x x ⎛⎫-=⋅-=
⎪⎝⎭()()221111x x f f x f x f x x ⎛⎫⎛⎫
+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
210x x >>Q 21
1x x ∴
> 210x f x ⎛⎫
∴> ⎪⎝⎭
，即()()210f x f x -> ()f x ∴在定义域内单调递增
（3）(
)
20201f f
f
=+=Q
12
f
∴=
12
f
f ∴<
=
由（2）知()f x 为增函数
220190
x x ⎧->⎪∴< 解得：()()1,02019,2020x ∈-U 【点睛】
本题考查抽象函数单调性的证明、利用单调性求解函数不等式的问题；关键是能够通过单调性的定义证明得到函数单调性，进而根据函数单调性将函数值的比较转化为自变量的比较；易错点是忽略函数定义域的要求，造成求解错误. 24．（Ⅰ）{}1
（Ⅱ）13a -<<-【解析】 【分析】
（Ⅰ）将1a =代入直接求解即可；
（Ⅱ）设2x t =，得到()()2
110t a t a +-++=在()0,+∞有两个不同的解，利用二次函
数的性质列不等式组求解即可. 【详解】
（Ⅰ）当1a =时，()()
2log 4223x
x
f x =++=，
所以34222x x ++=， 所以4260x x +-=，
因此(
)(
)
23220x
x
+-=，得22x = 解得1x =， 所以解集为{}1．
（Ⅱ）因为方程(
)
2log 421x x
a a x +⋅++=有两个不同的实数根， 即4212x x x a a +⋅++=，
设2x t =，()()2
110t a t a +-++=在()0,+∞有两个不同的解，
令()()()2
11f t t a t a =+-++，由已知可得()()()200
1021410f a a a ⎧>⎪
-⎪->⎨⎪
⎪=--+>⎩
n
解得13a -<<- 【点睛】
本题主要考查了对数函数与指数函数的复合函数的处理方式，考查了函数与方程的思想，
属于中档题.
25．（1）99；（2）3-. 【解析】 【分析】
（1）直接根据指数与对数的性质运算即可； （2）直接利用对数运算性质即可得出. 【详解】
（1）原式211
23
3
2
5
249131log 216104-⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++--⎢⎥ ⎪ ⎪
⎪⎝⎭
⎝⎭⎝⎭
⎢⎥⎣⎦
735
1001442
=
++-- 99=.
（2）原式3
2
3
log 313lg 10=---
31422
=
-- 3=-.
【点睛】
本题主要考查了指数对数运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题. 26．（1）（2）
【解析】
试题分析：（1）由于函数定义域为全体实数，故
恒成立，即有
，解得
；（2）由于在定义域上是减函数，故根据
复合函数单调性有函数
在
上为减函数，结合函数的定义域有
，解得
.
试题解析：（1）由函数的定义域为可得:
不等式
的解集为，∴
解得
，
∴所求的取值范围是
（2）由函数
在区间上是递增的得： 区间
上是递减的，
且在区间上恒成立；则，解得。