2012年普通高等学校招生全国统一考试文科数学(新课标版)

2012年普通高等学校招生全国统一考试文科数学（新课标版）
适用地区：河南、河北、黑龙江、吉林、宁夏、山西、内蒙古、新疆、云南 注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证
号填写在本试卷和答题卡相应位置上。

2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

写在本试卷上无效。

3．回答第Ⅱ卷时。

将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I 卷（共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题有且只有一个选项是符合题目要求的． 1．已知集合2
{|20}A x x x =--<，{|11}B x x =-<<，则（ ）
A ．A
B B ．B A
C ．A B =
D ．A
B φ=
【解析】因为{|12}A x x =-<<，{|11}B x x =-<<，所以B A ，故选择B 。

【点评】本题主要考察一元二次不等式的解法，两个集合间的关系，属简单题。

2．复数32i
z i
-+=
+的共轭复数是（ ） A ．2i +
B ．2i -
C ．1i -+
D ．1i --
【解析】因为(3)(2)551(2)(2)5
i i i
z i i i -+--+=
==-++-，所以1z i =--，故选择D 。

【点评】本题主要考察复数的运算及共轭复数的概念。

3．在一组样本数据（1x ，1y ），（2x ，2y ），…，（n x ，n y ）（2n ≥，1x ，2x ，…，n x 不全相等）
的散点图中，若所有样本点（i x ，i y ）（i =1，2，…，n ）都在直线1
12
y x =+上，则这组样本 数据的样本相关系数为（ ） A ．－1
B ．0
C ．
12
D ．1
【解析】因为112y x =+中，1
02
k =>，所以样本相关系数0r >，
又所有样本点（i x ，i y ）（i =1，2，…，n ）都在直线1
12
y x =+上，
所以样本相关系数1r =，故选择D 。

【点评】本题主要考察回归直线，相关系数的知识。

4．设1F 、2
F 是椭圆E ：22
22
x y a b +（0a b >>）的左、右焦点，P 为直线32a x =上一点， 21F PF ∆是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为（ ）
A ．
12 B ．2
3 C ．3
4 D ．45
【解析】如图所示，21F PF ∆是等腰三角形，
212130F F P F PF ∠=∠=︒，212||||2F P F F c ==， 260PF Q ∠=︒，230F PQ ∠=︒，2||F Q c =，
又23||2a F Q c =-，所以32a c c -=，解得3
4c a =
因此3
4
c e a ==，故选择C 。

【点评】本题主要考察椭圆的简单几何性质，离心率。

5．已知正三角形ABC 的顶点A （1，1），B （1，3），顶
点C 在第一象限，若点（x ，y ）在△ABC 内部， 则z x y =-+的取值范围是（ ） A ．（12） B ．（0，2）
C ．1，2）
D ．（0，1 【解析】正△ABC 内部如图所示，
A （1，1），
B （1，3），
C （12）。

将目标函数z x y =-+化为y x z =+，
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显然在B （1，3）处，max 132z =-+=；
在C
（12
）处，min (121z =-+=
因为区域不包括端点，所以12z <<，故选择A 。

【点评】本题主要考察线性规划的知识。

6．若执行右边和程序框图，输入正整数N （2N ≥）和实数1a ，2a ，…，N a ，输出A ，B ，则（ ）
A ．A
B +为1a ，2a ，…，N a 的和
B ．
2
A B
+为1a ，2a ，…，N a 的算术平均数 C ．A 和B 分别是1a ，2a ，…，N a 中最大的数和最小的数 D ．A 和B 分别是1a ，2a ，…，N a 中最小的数和最大的数
【解析】由程序框图可知，A 表示1a ，2a ，…，N a 中最大的数，B 表示1a ，2a ，…，N a 中最小的数，
故选择C 。

【点评】本题主要考察程序框图的应用。

7．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（ ）
A ．6
B ．9
C ．12
D ．15 【解析】由三视图可知，该几何体为
三棱锥A-BCD ， 底面△BCD 为
底边为6，高为3的等腰三角形， 侧面ABD ⊥底面BCD ，
AO ⊥底面BCD ，
因此此几何体的体积为
11
(63)3932
V =⨯⨯⨯⨯=，故选择B 。

【点评】本题主要考察空间几何体的三视图。

8．平面α截球O 的球面所得圆的半径为1，球心O 到平面α的 ） A
B ．
C ．
D ．
【解析】如图所示，由已知11O A =，1OO =
在1Rt OO A ∆中，球的半径R OA == 所以此球的体积34
3
V R π=
=，故选择B 。

【点评】本题主要考察球面的性质及球的体积的计算。

9．已知0ω>，0ϕπ<<，直线4
x π
=
和54
x π
=
是函数 ()sin()f x x ωϕ=+图像的两条相邻的对称轴，则ϕ=（ ）
A ．4π
B ．3π
C ．2
π
D ．
34
π
【解析】由直线4x π
=
和54
x π
=
是函数()sin()f x x ωϕ=+图像的两条相邻的对称轴，
得()sin()f x x ωϕ=+的最小正周期52(
)244
T ππ
π=-=，从而1ω=。

由此()sin()f x x ϕ=+，由已知4
x π
=处()sin()f x x ϕ=+取得最值，
所以sin(
)14
π
ϕ+=±，结合选项，知ϕ=
4
π
，故选择A 。

【点评】本题主要考察三角函数的图象和性质。

10．等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，
C 与抛物线216y x =的准线交于A ，B 两点，
||AB =，则C 的实轴长为（ ）
A B ．
C ．4
D ．8
【解析】设等轴双曲线C 的方程为22
221x y a a
-=，
即222x y a -=（0a >），
抛物线216y x =的准线方程为4x =-，
联立方程2224
x y a x ⎧-=⎨=-⎩，解得2216y a =-，
因为||AB =
所以222||(2||)448AB y y ===，从而212y =，
所以21612a -=，2
4a =，2a =，
因此C 的实轴长为24a =，故选择C 。

【点评】本题主要考察双曲线和抛物线的几何性质。

11．当1
02
x <≤
时，4log x a x <，则a 的取值范围是（ ）
A ．（0
B ．1）
C ．（1
D ．2） 【解析】显然要使不等式成立，必有01a <<。

在同一坐标系中画出4x
y =与log a y x =的图象。

若1
02
x <≤
时，4log x a x <，
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当且仅当011
log 22
a a <<⎧⎪
⎨>⎪⎩， 2
011log log 2a a a a <<⎧⎪⎨>⎪⎩，即201
12
a a <<⎧⎪
⎨>⎪⎩。

1a <<，故选择B 。

【点评】本题主要考察锥体和球的性质。

12．数列{n a }满足1(1)21n n n a a n ++-=-，则{n a }的前60项和为（ ）
A ．3690
B ．3660
C ．1845
D ．1830
【解析】因为1(1)21n n n a a n ++-=-，
所以211a a -=，323a a +=，435a a -=，547a a +=，659a a -=，7611a a +=，
……，5857113a a -=，5958115a a +=，6059117a a -=。

由211a a -=，323a a +=可得132a a +=； 由659a a -=，7611a a +=可得572a a +=； ……
由5857113a a -=，5958115a a +=可得57592a a +=； 从而1357575913575759()()()21530a a a a a a a a a a a a ++++++=++++
++=⨯=。

又211a a -=，435a a -=，659a a -=，…，5857113a a -=，6059117a a -=，
所以2466013559()()a a a a a a a a +++
+-+++
+
2143656059()()()()a a a a a a a a =-+-+-++-=159117+++
+
3011817702
⨯==。

从而24660a a a a +++
+135591770a a a a =+++++3017701800=+=。

因此6012345960S a a a a a a =++++++13592460()()a a a a a a =++
++++
+
3018001830=+=。

故选择D 。

【点评】本小题主要考察递推数列的知识。

第Ⅱ卷（共90分）
本试卷包括必考题和选考题两部分。

第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答。

第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13．曲线(3ln 1)y x x =+在点（1，1）处的切线方程为_________。

【答案】430x y --=。

【解析】由已知'3ln 4y x =+，根据导数的几何意义知切线斜率1'|4x k y ===，
因此切线方程为14(1)y x -=-，即430x y --=。

【点评】本小题主要考察导数的几何意义，曲线上一点处的切线方程的求法。

14．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若3230S S +=，则公比q =___________。

【答案】2-。

【解析】由已知得23123111S a a a a a q a q =++=++，2121133333S a a a a q =+=+，
因为3230S S +=，所以2111440a a q a q ++= 而10a ≠，所以2440q q ++=，解得2q =-。

【点评】本小题主要等比数列通项公式、求和公式的应用。

15．已知向量a ，b 夹角为45°，且||1a =，|2|10a b -=，则||b =_________。

【答案】23。

【解析】由已知||2
2
45cos ||||=︒⋅⋅=⋅。

因为|2|10a b -=，所以10||4||422=+⋅-，即06||22||2=--，
解得23||=。

【点评】本小题主要考察平面向量的数量积的知识。

16．设函数22(1)sin ()1
x x
f x x ++=+的最大值为M ，最小值为m ，则M m +=____________。

【答案】2。

【解析】2222(1)sin 12sin ()11
x x x x x f x x x +++++==++222sin 111x x x x =++++。

令222sin ()11
x x
g x x x =
+++，则()()1f x g x =+。

因为()g x 为奇函数，所以max min ()()0g x g x +=。

所以M m +=max min max min [()1][()1]()()22g x g x g x g x +++=++=。

【点评】本小题主要考察数列的知识。

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17．（本小题满分12分）
已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，sin cos c C c A =-。

（1）求A ；
（2）若2a =，△ABC b ，c 。

【解析】（1）根据正弦定理
2sin sin a c
R A C
==，得A R a sin 2=， C R c sin 2=，
因为sin cos c C c A =-，
所以2sin sin )sin 2sin cos R C R A C R C A =-⋅， 化简得C C A C A sin sin cos sin sin 3=-， 因为0sin ≠C ，所以1cos sin 3=-A A ，即2
1)6
sin(=
-
π
A ，
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而π<<A 0，656
6
ππ
π
<
-
<-
A ，从而66ππ=-A ，解得3
π=A 。

（2）若2a =，△ABC
1）得3
π
=
A ，
则⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧==-+=4
3cos 233sin 21
222a bc c b bc ππ，化简得⎩⎨⎧=+=842
2c b bc ， 从而解得2=b ，2=c 。

【点评】本小题主要考察正弦定理、余弦定理及三角变换的知识。

18．（本小题满分12分）
某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理。

（1）若花店一天购进17枝玫瑰花，求当天的利润y （单位：元）关于当天需求量n （单位：枝，n N ∈）的函数解析式；
（2）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：
①假设花店在这100天内每天购进17枝玫瑰花，求这100天的日利润（单位：元）的平均数； ②若花店一天购进17枝玫瑰花，以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率， 求当天的利润不少于75元的概率。

【解析】（1）当日需求量17≥n 时，利润85517=⨯=y ；
当日需求量16≤n 时，利润8510)17(55-=--=n n n y 。

所以当天的利润y 关于当天需求量n 的函数解析式为⎩
⎨⎧≥≤-=)17(85)
16(8510n n n y （N n ∈）。

（2）①假设花店在这100天内每天购进17枝玫瑰花，
则这100天的日利润（单位：元）的平均数为
]8510851385158516)85160(16)85150(20)85140(10[100
1
⨯+⨯+⨯+⨯+-⨯+-⨯+-⨯⨯=
y 4.76=（元）。

②利润不低于75元当且仅当日需求量不少于16枝。

故当天的利润不少于75元的概率为
7.010.013.015.016.016.0=++++=p 。

【点评】本小题主要考察统计初步、随机事件概率的求法。

19．（本小题满分12分）
如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱垂直底面，90ACB ∠=︒，AC=BC=2
1
AA 1，D 是棱AA 1的中点。

（1）证明：平面BDC 1⊥平面BDC ；
（2）平面BDC 1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比。

【解析】（1）在Rt DAC ∆中，AD AC =， 得：45ADC ︒
∠=，
同理：1114590A DC CDC ︒︒∠=⇒∠=，
得：1DC DC ⊥。

由题设知BC ⊥CC 1，BC ⊥AC ，1CC AC C =，
所以BC ⊥平面11ACC A 。

又1DC ⊂平面11ACC A ，所以1DC BC ⊥ 而DC
BC C =，所以1DC ⊥平面BDC 。

又1DC ⊂平面1BDC ，故平面BDC 1⊥平面BDC 。

（2）由已知AC=BC=
2
1
AA 1，D 是棱AA 1的中点， 设12AA a =，AC BC AD a ===，则1112
3122
ABC A B C V a a a -=⋅=。

由（1），BC ⊥平面11ACC A ，所以BC 为四棱锥1B ACC D -的高， 所以13111
(3)322
B AC
C
D V a a a a -=
⨯⨯⨯⨯=。

因此平面BDC 1分此棱柱为两部分体积的比为
1111133
31
12112
ABC A B C B ACC D
B AC
C D
a a V V V a -----=
=。

【点评】本小题主要考察空间面面垂直，及多面体体积的计算。

20．（本小题满分12分）
设抛物线C ：py x 22=（0>p ）的焦点为F ，准线为l ，A 为C 上一点，已知以F 为圆心，F A 为半径的圆F 交l 于B ，D 两点。

（1）若∠BFD =90°，△ABD 的面积为24，求p 的值及圆F 的方程；
（2）若A ，B ，F 三点在同一直线m 上，直线n 与m 平行，且n 与C 只有一个公共点，
求坐标原点到m ，n 距离的比值。

【解析】
（1）若∠BFD =90°，则△BFD 为等腰直角三角形，
且|BD|=2p ，圆F
的半径||r FA ==， 又根据抛物线的定义可得点A 到准线l 的距离
||d FA ==。

因为△ABD 的面积为24，
所以
1||2BD d ⋅⋅=
1
22
p ⋅=
A
1
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所以24p =，由0>p ，解得2p =。

从而抛物线C 的方程为24x y =，
圆F 的圆心F （0，1）
，半径||r FA == 因此圆F 的方程为22(1)8x y +-=。

（2）若A ，B ，F 三点在同一直线m 上， 则AB 为圆F 的直径，∠ADB=90°， 根据抛物线的定义，得1
||||||2
AD FA AB ==， 所以30ABD ∠=︒， 从而直线m
或 当直线m
的斜率为
3时，直线m
的方程为32
p y x =+， 原点O 到直线m
的距离1p
d =。

依题意设直线n
的方程为y x b =
+，
联立23
2y x b x py
⎧=+⎪⎨⎪=⎩
，得2
20x px pb -=， 因为直线n 与C 只有一个公共点，所以2
4803
p pb ∆=
+=，从而6p b =-。

所以直线n
的方程为6
p
y x =
-，原点O 到直线n
的距离2p
d =。

因此坐标原点到m ，n 距离的比值为12236
p d
p
d ==。

当直线m
的斜率为m ，n 距离的比值也为3。

【点评】本小题主要考察解析几何知识。

21．（本小题满分12分） 设函数()2x f x e ax =--。

（1）求)(x f 的单调区间；
（2）若1a =，k 为整数，且当0x >时，()'()10x k f x x -++>，求k 的最大值。

【解析】（1）函数)(x f 的定义域为（－∞，+∞），且'()x f x e a =-。

当0a ≤时，'()0f x >，)(x f 在（－∞，+∞）上是增函数； 当0a >时，令'()0x f x e a =-=，得ln x a =。

令'()0x f x e a =->，得ln x a >，所以)(x f 在(ln ,)a +∞上是增函数， 令'()0x f x e a =-<，得ln x a <，所以)(x f 在(,ln )a -∞上是减函数，
（2）若1a =，则()2x f x e x =--，'()1x f x e =-。

所以()'()1()(1)1x x k f x x x k e x -++=--++，
故当0x >时，()'()10x k f x x -++>等价于
1(1)11
111
x x x x x xe x e x x k x e e e +-+++<==+---，
即当0x >时，1
1
x
x k x e +<
+-（0x >）。

① 令1()1x x g x x e +=+-，则22
1(2)
'()1(1)(1)x x x x x xe e e x g x e e ----=+=--。

由（1）知，函数()2x h x e x =--在(0,)+∞单调递增，
而(1)30h e =-<，2(2)40h e =->，所以()h x 在(0,)+∞存在唯一的零点。

故'()g x 在(0,)+∞存在唯一的零点。

设此零点为α，则(1,2)α∈。

当(0,)x α∈时，'()0g x <；当(,)x α∈+∞时，'()0g x >。

所以()g x 在(0,)+∞的最小值为()g α。

又由'()0g α=，可得2e α
α=+，所以1
()1(2,3)1
g e ααααα+=+=+∈-，
由于①式等价于()1(2,3)k g αα<=+∈，
故整数k 的最大值为2。

【点评】本小题主要考察利用导数求单调区间，导数的综合应用。

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请考生在第22、23、24 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。

作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。

22． (本小题满分10分) 选修4—1：几何证明选讲
如图，D ，E 分别为ABC ∆边AB ，AC 的中点，直线DE
交ABC ∆的外接圆于F ，G 两点。

若CF ∥AB ，证明：
（1)BC CD =； （2）BCD ∆∽GBD ∆。

【解析】（1）因为D ，E 分别为ABC ∆边AB ，AC 的中点，
所以DE ∥BC 。

又已知CF ∥AB ，所以四边形BCFD 是平行四边形，
所以CF=BD=AD 。

而CF ∥AD ，连结AF ，
所以ADCF 是平行四边形，故CD=AF 。

因为CF ∥AB ，所以BC=AF ，故CD=BC 。

（2）因为FG ∥BC ，故GB=CF 。

由（1）可知BD=CF ，所以GB=BD 。

所以DGB GDB ∠=∠。

因为FG ∥BC ，所以GDB DBC ∠=∠，
从而DBC DGB ∠=∠， ①
由（1）BC CD =，所以DBC BDC ∠=∠，
从而BDC GDB ∠=∠，②
由①，②得BCD ∆∽GBD ∆。

23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
已知曲线1C 的参数方程为⎩⎨⎧==ϕ
ϕsin 3cos 2y x （ϕ为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴
建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程是2=ρ。

正方形ABCD 的顶点都在2C 上，
且A ，B ，C ，D 依逆时针次序排列，点A 的极坐标为（2，
3
π）。

（1)求点A ，B ，C ，D 的直角坐标；
（2）设P 为1C 上任意一点，求2222||||||||PD PC PB PA +++的取值范围。

【解析】（1）曲线1C 的参数方程⎩
⎨⎧==ϕϕsin 3cos 2y x 化为直角坐标方程为22
149x y +=， 曲线2C 的极坐标方程2=ρ化为直角坐标方程为224x y +=，
因为点A 的极坐标为（2，3π
），所以点B 的极坐标为（2，56π
），
点C 的极坐标为（2，43π
），
点D 的极坐标为（2，116π
），
因此点A 的直角坐标为（1
，
点B
的直角坐标为（1），
点C 的直角坐标为（－1
，－，
点D
1）。

（2）设P （2cos ϕ，3sin ϕ），
则2222||||||||PD PC PB PA +++
2222(2cos 1)(3sin (2cos (3sin 1)ϕϕϕϕ=-+++-
2222(2cos 1)(3sin (2cos (3sin 1)ϕϕϕϕ++++++
2222(2cos 1)(3sin (2cos (3sin 1)ϕϕϕϕ=-+++-
2222(2cos 1)(3sin (2cos (3sin 1)ϕϕϕϕ++++++
220sin 32ϕ=+[32,52]∈。

因为20sin 1ϕ≤≤，因此2222||||||||PD PC PB PA +++的取值范围为[32，52]。

【点评】本小题主要考察参数方程、极坐标的相关知识。

24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
已知函数()|||2|f x x a x =++-。

（1)当3-=a 时，求不等式3)(≥x f 的解集；
（2）若|4|)(-≤x x f 的解集包含[1，2]，求a 的取值范围。

【解析】（1）当3-=a 时，52(2)
()|3||2|1(23)25(3)
x x f x x x x x x -<⎧⎪=-+-=≤≤⎨⎪->⎩。

所以不等式3)(≥x f 可化为
2523x x <⎧⎨-≥⎩，或2313x ≤≤⎧⎨≥⎩，或3
253x x >⎧⎨-≥⎩。

解得1x ≤，或4x ≥。

因此不等式3)(≥x f 的解集为{|1x x ≤或4}x ≥。

（2）由已知|4|)(-≤x x f 即为|||2||4|x a x x ++-≤-，
也即|||4||2|x a x x +≤---。

2012年高考数学试题解析之全国新课标版（文科） 石嘴山市光明中学 潘学功 若|4|)(-≤x x f 的解集包含[1，2]，则[1,2]x ∀∈，|||4||2|x a x x +≤---， 也就是[1,2]x ∀∈，||2x a +≤，
所以[1,2]x ∀∈，22x a x a +≥-⎧⎨+≤⎩，从而1222
a a +≥-⎧⎨+≤⎩，
解得30a -≤≤。

因此a 的取值范围为[3,0]a ∈-。

【点评】本小题主要考察含两个绝对值的不等式的解法，函数恒成立问题。