高考数学一轮复习单元双优测评卷__第四章数列A卷含解析

第四章 数列
A 卷 基础过关必刷卷
一、选择题：本题共8小题,每小题5分,共40分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的
1．已知数列{}n a 中,10,1n a a >=,2100961
,1
n n a a a a +==+,则20183a a +=（ ） A ．52
B
C
D
2．已知数列{}n a 满足：()
()()
11
,1212122n n n a a n λ
-⎧=⎪=⎨⎡⎤⎪+⋅-+≥⎣
⎦⎩,{}n a 的前n 项和为n S ,则当1
λ=时,11S =（ ） A ．
31
2
B ．
221
C ．
213
D ．
212
3．我国南宋数学家杨辉1261年所著的《解析九章算法》一书里出现了如图所示的表,即杨辉三角,这是数学史上的一个伟大成就.在“杨辉三角”中,第n 行的所有数字之和为12n -,若
去除所有为1的项,依次构成数列233464510105，
，，，，，，，，，,则此数列的前35项和为（ ）
A ．994
B ．995
C ．1003
D ．1004
4．高斯,德国著名数学家、物理学家、天文学家、大地测量学家,近代数学奠基者之一．高斯被认为是历史上最重要的数学家之一,并享有“数学王子”之称,高斯在幼年时首先使用了倒序相加法,人们因此受到启发,创造了等差数列前n 项和公式,已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,43S =,412n S -=,17n S =,则n 的值为（ ） A ．8
B ．11
C ．13
D ．17
5．已知数列{}n a 是等比数列,数列{}n b 是等差数列,
若489a a a ⋅⋅=-4892b b b π++=,则410
311tan
1
b b a a +=⋅-（ ）
A
．B
C
．D
6．定义
12n
n p p p ++
+为n 个正数12,,n p p p ⋯⋯的“均倒数”．若已知数列{}n a 的前n 项
的“均倒数”为121n +,又1
4n n a b +=,则
12
23
1011
11
1b b b b b b +++=（ ）． A ．
111
B ．
910 C ．
1112 D ．
1011
7．在等差数列{}n a 中,首项10a >,公差0d ≠,前n 项和为n S （n *∈N ）,有下列叙述： （1）若414S S =,则必有190S <； （2）若3130a a +>,则必有150S >；
（3）若1011S S >,则必有1112S S >.其中叙述正确的序号是（ ） A ．（1）（2） B ．（1）（3）
C ．（2）（3）
D ．（1）（2）（3）
8．已知函数()()2
2
R 1f x x x =
∈+,若等比数列{}n a 满足120211a a =,则()()()123f a f a f a ++()2021f a +
+=（ ）
A ．1
2
B ．
2021
2
C ．2
D ．2021
二、选择题：本题共4小题,每小题5分,共20分．在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求．全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分 9．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若831a =,10210S =,则（ ）
A ．若(1)n
n n b a =-⋅,则数列{}n b 的前2020项和为4040 B ．数列{}22
n
a 是公比为8的等比数
列
C ．19919S a =
D ．若1
1
n n n b a a +=
,则数列{}n b 的前2020项和为2020
24249
10．我国天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气,每个节气的晷长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器,晷长即为所测量影子的长度）.二十四节气及晷长变化如图所示,相邻两个节气晷长减少或增加的量相同,周而复始.已知每年冬至的晷长为一丈三尺五寸,夏至的晷长为一尺五寸（一丈等于十尺,一尺等于十寸）,则下列说法正确的是（ ）
A ．相邻两个节气晷长减少或增加的量为一尺
B ．春分和秋分两个节气的晷长相同
C ．小雪的晷长为一丈五寸
D ．立春的晷长比立秋的晷长短
11．《张丘建算经》是中国古代众多数学名著之一.书中有如下问题：“今有女善织,日益功疾,初日织五尺,今一月日织九匹三丈,问日益几何？”其大意为：“有一女子擅长织布,织布的速度一天比一天快,从第二天起,每天比前一天多织相同数量的布,第一天织5尺,一个月共织了9匹3丈,问从第二天起,每天比前一天多织多少尺布？”已知1匹4=丈,1丈10
=尺,若这个月有30天,记该女子这个月中第n 天所织布的尺数为n a ,2n
a
n b =,则（ ）
A ．1058b b =
B ．数列{}n b 是等比数列
C ．130105a b =
D ．
357246209
193
a a a a a a ++=++
12．如图,已知点E 是平行四边形ABCD 的边AB 的中点,()
n F n N *
∈为边BC 上的一列点,连接n AF 交BD 于n G ,点()
n G n N *
∈满足()1223n n n n n G D a G A a G E +=⋅-+,其中数列{}n a 是
首项为1的正项数列,n S 是数列{}n a 的前n 项和,则下列结论正确的是（ ）
A ．313a =
B ．数列{}3n a +是等比数列
C ．43n a n =-
D ．1
22n n S n +=--
三、填空题：本题共4小题,每小题5分,共20分
13．设数列{}n a 满足12a =,26a =,312a =,数列{}n a 前n 项和为n S ,且
2111
3
1
n n n n S S S S +-+-+=-+（n N ∈且2n ≥）．若[]x 表示不超过x 的最大整数,2(1)n n n b a ⎡⎤
+=⎢⎥⎣⎦
,数列{}n b 的前n 项和为
n T ,则2022T 的值为___________．
14．在各项均为正数的等比数列{}n a 中,公比()0,1q ∈,若355a a +=,26·
4a a =,2log n n b a =,数列{}n b 的前n 项和为n S ,则数列n S n ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
前n 项和为______.
15．设公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若数列{a n }满足：存在三个不同的正整数r,s,t,使得a r ,a s ,a t 成等比数列,a 2r ,a 2s ,a 2t 也成等比数列,则1990n
n
S S a +的最小值为__. 16．已知数列{}n a 的前n 项和23
()22
n n S t n =
+-,1n n b a =,若对任意的*n N ∈,都有6n b b ≥,则实
数t 的取值范围为____________．
四、解答题：本题共6小题,共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17．求数列的通项公式：
（1）已知数列{}n a 满足11a =,且112n
n n
a a a +=
+,求数列{}n a 的通项公式； （2）已知数列{}n a 满足13231n
n n a a +=+⨯+,13a =,求数列{}n a 的通项公式．
18．已知正项数列{}n a 满足121,2a a ==,且对任意的正整数n,211n a ++是2
n a 和22n a +的等差中
项,证明：{}2
2
1n n a a +-是等差数列,并求{}n a 的通项公式．
19．已知n S 为数列{}n b 的前n 项和,且n b 是1和n S 的等差中项,求满足()12312311111
4
n n b b b b b b b b ++⋅⋅⋅+>+++⋅⋅⋅+的正整数n 的集合.
20．数列{}n a 满足11a =-,且1323n n a a n -=-+（n *∈N 且2n ≥）． （1）求2a 、3a ,并证明数列{}n a n -是等比数列； （2）求数列{}n a 的通项公式．
21．已知数列{}n a 的各项均为正数,记数列{}n a 的前n 项和为n S ,数列{}
2
n a 的前n 项和为n T ,
且2
32n n n T S S =+,N n *∈．
（1）求1a 的值及数列{}n a 的通项公式； （2）若有111
n n b a +=+,求证：2313
21
n b b b ++⋯+<
．
22．设数列{a n }的前n 项和为S n .若对任意的正整数n,总存在正整数m,使得S n =a m ,则称{a n }是“H 数列”.
（1）若数列{a n }的前n 项和S n =2n （n∈N）,证明：{a n }是“H 数列”； （2）设{a n }是等差数列,其首项a 1=1,公差d<0.若{a n }是“H 数列”,求d 的值；
（3）证明：对任意的等差数列{a n },总存在两个“H 数列”{b n }和{c n },使得a n =b n +c n （n∈N）成立
一、选择题：本题共8小题,每小题5分,共40分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的
1．已知数列{}n a 中,10,1n a a >=,2100961
,1
n n a a a a +=
=+,则20183a a +=（ ）
A ．52
B
C
D
【答案】C 【解析】
依题意数列{}n a 中,10,1n a a >=,2100961
,1
n n a a a a +==+, 3111
12
a a =
=+, 961009896
11
111a a a a ==
=
++,
整理得2
969610a a +-=,由于0n a >,
故解得96a =
9810096981111a a a a =
==++
以此类推2018a =,
所以3201812a a +==
故选：C
2．已知数列{}n a 满足：()
()()
11
,1212122n n n a a n λ
-⎧=⎪=⎨⎡⎤⎪+⋅-+≥⎣⎦⎩,{}n a 的前n 项和为n S ,则当1
λ=时,11S =（ ） A ．
31
2
B ．
221
C ．
213
D ．
212
【答案】D 【解析】
当1λ=,2n ≥时,12n n a a -=-+,即12n n a a -+=,
∴111110987654321121()()()(+)()2522
S a a a a a a a a a a a =+++++++++=⨯+=. 故选：D
3．我国南宋数学家杨辉1261年所著的《解析九章算法》一书里出现了如图所示的表,即杨辉三角,这是数学史上的一个伟大成就.在“杨辉三角”中,第n 行的所有数字之和为12n -,若
去除所有为1的项,依次构成数列233464510105，
，，，，，，，，，,则此数列的前35项和为（ ）
A ．994
B ．995
C ．1003
D ．1004
【答案】B 【解析】
没有去掉“1”之前,第1行的和为02,第2行的和为12,第3行的和为22, 以此类推,即每一行数字和为首项为1,公比为2的等比数列,
则前n 项和为12
2112
n
n n S -==--．每一行的个数为1,2,3,4,…,
可以看成构成一个首项为1,公差为1的等差数列, 则前n 项总个数为(1)
2
n n n T +=
． 当10n =时,1055T =,去掉两端“1”,可得551936-=,
则去掉两端“1”后此数列的前36项和为10
101921191004S -=--=,
所以第36项为第10行去掉“1”后的最后一个数为9, 所以该数列的前35项和为10049995-=． 故选：B.
4．高斯,德国著名数学家、物理学家、天文学家、大地测量学家,近代数学奠基者之一．高斯被认为是历史上最重要的数学家之一,并享有“数学王子”之称,高斯在幼年时首先使用了倒序相加法,人们因此受到启发,创造了等差数列前n 项和公式,已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,43S =,412n S -=,17n S =,则n 的值为（ ） A ．8 B ．11
C ．13
D ．17
【答案】D 【解析】
根据题意,43S =,412n S -=,4175n n n S S S -=⇒-=, 即12343a a a a +++=,1235n n n n a a a a ---+++=
两式相加得到()11482n n a a a a +=⇒+= 所以()
117172
n n n a a S n +=
=⇒=, 故选：D ．
5．已知数列{}n a 是等比数列,数列{}n b 是等差数列,
若489a a a ⋅⋅=-4892b b b π++=,则410
311tan
1
b b a a +=⋅-（ ）
A
．B
C
．D
【答案】A 【解析】
设数列{}n a 是公比为q 的等比数列,数列{}n b 是公差为d 的等差数列,
若449988,2a b b b a a π⋅⋅++==-,
则378111a q a q a q ⨯=-⨯1113782b d b d b d π+++++=,
即为61a q =1263
b d π+=,
即7a =,723
b π=
,
则7
27
41031122tan tan t 1an 13b b
a b
a a π
==+-⋅=-．
故选：A 6．定义
12n
n p p p ++
+为n 个正数12,,n p p p ⋯⋯的“均倒数”．若已知数列{}n a 的前n 项
的“均倒数”为121n +,又1
4n n a b +=,则
12
23
1011
11
1b b b b b b +++=（ ）． A ．
111
B ．
910 C ．
1112 D ．
1011
【答案】D 【解析】
由已知得121
21n n
a a a n =++⋯++,
∴12(21)n n a a a n n S ++⋯+=+=, 当2n ≥时,141n n n a S S n -=-=-,
验证知当1n =时也成立, ∴41n a n =-, ∴1
4n n a b n +=
=, ∴1111
1
n n b b n n +=-⋅+
∴12231011
111b b b b b b ++⋯+ 1111112231011⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋯+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 11011111
=-=．
故选：D ．
7．在等差数列{}n a 中,首项10a >,公差0d ≠,前n 项和为n S （n *∈N ）,有下列叙述： （1）若414S S =,则必有190S <； （2）若3130a a +>,则必有150S >；
（3）若1011S S >,则必有1112S S >.其中叙述正确的序号是（ ） A ．（1）（2） B ．（1）（3） C ．（2）（3） D ．（1）（2）（3）
【答案】D 【解析】
对于（1）若414S S =,则有56140a a a +++=,则有9100a a +=,所以1180a a +=,
所以()
1181918191919182
a a S S a a a +=+=
+=. 因为1180a a +=,10a >,所以181170a a d =+<,所以0d <,所以19180a a d =+<, 所以19190S a =<.故（1）正确.
对于（2）若3130a a +>,则有1153130a a a a =++>,所以()
115150152
S a a +=
>.故（2）正确； 对于（3）若1011S S >,则有1111101100a S a d S =-=+<,因为10a >,所以0d <, 所以12110a d a =+<,所以1212110a S S -=<,即1112S S >.故（3）正确. 故选：D
8．已知函数()()22
R 1f x x x
=
∈+,若等比数列{}n a 满足120211a a =,则()()()123f a f a f a ++()2021f a +
+=（ ）
A ．1
2 B ．
2021
2
C ．2
D ．2021
【答案】D 【解析】
22()1f x x
=+,得222
122111x f x x x ⎛⎫==
⎪+⎝⎭+,则222
122()211x f x f x x x ⎛⎫
+=+= ⎪++⎝⎭
, 又{}n a 是等比数列,则()2
120212202010111a a a a a ====,
所以()()()()()()1202122020101010122f a f a f a f a f a f a +=+==+=；()10112
2
111f a =
=+, 所以()()()()()()()()12320211202122020f a f a f a f a f a f a f a f a +++
+=++++
+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦
()()()1010101210111010212021f a f a f a ++=⨯+=⎡⎤⎣⎦.
故选：D.
二、选择题：本题共4小题,每小题5分,共20分．在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求．全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分 9．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若831a =,10210S =,则（ ）
A ．若(1)n
n n b a =-⋅,则数列{}n b 的前2020项和为4040 B ．数列{}22
n
a 是公比为8的等比数
列
C ．19919S a =
D ．若1
1
n n n b a a +=
,则数列{}n b 的前2020项和为2020
24249
【答案】AD 【解析】
等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若831a =,10210S =, 设{}n a 的公差为d ,则有81101731
1045210
a a d S a d =+=⎧⎨=+=⎩,
解得13a =,4d =,故41n a n =-,
若(1)(1)(41)n n n n b a n =-⋅=-⋅-,
则{}n b 的前2020项20203711158079410104040T =-+-+-+=⨯=,故A 正确；
由41n a n =-,得28122n
a n -=,
令81
2
n n c -=,则当2n ≥时,()818
8111
222n n n n c c ----==,
则数列{}22
n
a 是公比为82的等比数列,故B 错误；
由等差数列的性质可知()()11910101910
1919192
2
a a a a S a
+⨯+⨯===,故C 错误；
若1111
()(41)(43)44143
n b n n n n ==--+-+,则{}n b 的前2020项和
202011111112020437711
8079808324249
T ⎛⎫=
-+-++
-=
⎪⎝⎭,故D 正确, 故选：AD.
10．我国天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气,每个节气的晷长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器,晷长即为所测量影子的长度）.二十四节气及晷长变化如图所示,相邻两个节气晷长减少或增加的量相同,周而复始.已知每年冬至的晷长为一丈三尺五寸,夏至的晷长为一尺五寸（一丈等于十尺,一尺等于十寸）,则下列说法正确的是（ ）
A ．相邻两个节气晷长减少或增加的量为一尺
B ．春分和秋分两个节气的晷长相同
C ．小雪的晷长为一丈五寸
D ．立春的晷长比立秋的晷长短 【答案】AB 【解析】
现以寸为单位,由题意可知,由夏至到冬至的晷长构成等差数列{}n a ,
其中115a =,13135a =,公差13515
1012
d -=
=. 同理可得,由冬至到夏至的晷长构成等差数列{}n b , 其中1135b =,1315b =,公差15135
1012
d -'=
=-, 故相邻两个节气晷长减少或增加的量为十寸,即一尺,故选项A 正确； 因为春分的晷长为7b ,所以7161356075b b d '=+=-=, 因为秋分的晷长为7a ,所以716156075a a d =+=+=, 故春分和秋分两个节气的晷长相同,故选项B 正确； 因为小雪的晷长为11a ,所以1111015100115a a d =+=+=,
即一丈一尺五寸,故小雪的晷长为一丈一尺五寸,故选项C 错误； 因为立春的晷长和立秋的晷长分别为4b ,4a , 413153045a a d =+=+=,41313530105b b d '=+=-=,
所以44b a >,故立春的晷长比立秋的晷长长,故选项D 错误. 故选：AB.
11．《张丘建算经》是中国古代众多数学名著之一.书中有如下问题：“今有女善织,日益功疾,初日织五尺,今一月日织九匹三丈,问日益几何？”其大意为：“有一女子擅长织布,织布的速度一天比一天快,从第二天起,每天比前一天多织相同数量的布,第一天织5尺,一个月共织了9匹3丈,问从第二天起,每天比前一天多织多少尺布？”已知1匹4=丈,1丈10
=尺,若这个月有30天,记该女子这个月中第n 天所织布的尺数为n a ,2n
a
n b =,则（ ）
A ．1058b b =
B ．数列{}n b 是等比数列
C ．130105a b =
D ．357246209
193
a a a a a a ++=++
【答案】BD 【解析】
由题意可知,数列{}n a 为等差数列,设数列{}n a 的公差为d ,首项15a =, 则13029309410303902d a ⨯+
=⨯⨯+=,解得16
29
d =,
∴()116129
129
n n a a n d +=+-=
. ∵2n
a n
b =,∴1
112222
n n n n a a a d n a n b b ++-+===, ∴数列{}n b 是等比数列,B 选项正确； ∵1680329259
5d =⨯
=≠,∴
()553105222d d b b ==≠,A 选项错误； 3012921a a d =+=,∴2113052105a b =⨯>,C 选项错误；
41161933532929a a d =+=+⨯
=,51162094542929
a a d =+=+⨯=, ∴35755246443209
3193a a a a a a a a a a ++===++,D 选项正确.
故选：BD.
12．如图,已知点E 是平行四边形ABCD 的边AB 的中点,()
n F n N *
∈为边BC 上的一列点,连接n AF 交BD 于n G ,点()
n G n N *
∈满足()1223n n n n n G D a G A a G E +=⋅-+,其中数列{}n a 是
首项为1的正项数列,n S 是数列{}n a 的前n 项和,则下列结论正确的是（ ）
A ．313a =
B ．数列{}3n a +是等比数列
C ．43n a n =-
D ．1
22n n S n +=--
【答案】AB 【解析】
E 为AB 中点,2n n n G E G A G B ∴=+,即2n n n G B G A G E =-+,
,,n D G B 三点共线,2n n n n G D G B G A G E λλλ∴==-+,
又()1223n n n n n G D a G A a G E +=⋅-+,()12232n n a a λλ+=-⎧∴⎨-+=⎩
, 化简得：123n n a a +=+,()1323n n a a +∴+=+
,
{}3n a ∴+是以134a +=为首项,2为公比的等比数列,B 正确；
113422n n n a -+∴+=⋅=,123n n a +∴=-,C 错误；
则4
32313a =-=,A 正确；
()
(
)22312
212222332
4312
n
n n n S n n n ++-∴=++⋅⋅⋅+-=
-=---,D 错误.
故选：AB.
三、填空题：本题共4小题,每小题5分,共20分
13．设数列{}n a 满足12a =,26a =,312a =,数列{}n a 前n 项和为n S ,且
2111
3
1
n n n n S S S S +-+-+=-+（n N ∈且2n ≥）．若[]x 表示不超过x 的最大整数,2(1)n n n b a ⎡⎤
+=⎢⎥⎣⎦
,数列{}n b 的前n 项和为
n T ,则2022T 的值为___________．
【答案】2023 【解析】 当2n ≥时,2111
31
n n n n S S S S +-+-+=-+,
2111
31
n n n n a a a a ++++++∴
=+,
2122n n n a a a ++∴-+=,
()2112n n n n a a a a +++∴---=, {}1n n a a +∴-从第2项起是等差数列.
又12a =,26a =,312a =,()()32212a a a a ∴---=,
()142122n n a a n n +∴-=+-=+, 当2n ≥时,
()()()112211n n n n n a a a a a a a a ---=-+-+
+-+
()()
()1221222212
n n n n n n +=+-+
+⨯+=⨯
=+, ()2
11
n
n n a n
++∴
=
（2n ≥）,
∴当2n ≥时,()2111n n n n b a n ⎡⎤++⎡⎤
===⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦. 又()2
1
1
112b a +=
=,
2222022
122022232023220212023T a a a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤
∴=+++=+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦
.
故答案为：2023
14．在各项均为正数的等比数列{}n a 中,公比()0,1q ∈,若355a a +=,26·
4a a =,2log n n b a =,数列{}n b 的前n 项和为n S ,则数列n S n ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
前n 项和为______.
【答案】()
174
n n -
【解析】
由题意,35a a >,由等比数列的性质可得352635355
4a a a a a a a a
+=⎧⎪
==⎨⎪>⎩,解得3541a a =⎧⎨=⎩,
∴21414101a q a q q ⎧=⎪=⎨⎪<<⎩
,解得116
12a q =⎧⎪⎨=⎪⎩,
1
1
5111622n n n n a a q
---⎛⎫∴==⨯= ⎪
⎝⎭
,则2log 5n n b a n ==-,则数列{}n b 为等差数列,
()245922n n n n n S +--∴==
,故92n S n
n -=, ()12
9417212
24
n n n n n S S S n -⎛⎫+ ⎪-⎝⎭∴+++==, 故答案为：
()174
n n -
15．设公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若数列{a n }满足：存在三个不同的正整数r,s,t,使得a r ,a s ,a t 成等比数列,a 2r ,a 2s ,a 2t 也成等比数列,则1990n
n
S S a +的最小值为__. 【答案】45 【解析】
根据题意,数列{a n }为等差数列,设a n ＝pn+q,
若存在三个不同的正整数r,s,t,使得a r ,a s ,a t 成等比数列,a 2r ,a 2s ,a 2t 也成等比数列, 则有22()()()(2)(2)(2)pr q pt q ps q pr q pt q ps q ⎧++=+⎨++=+⎩,即222222
()2?42()44?p rt pq t r p s pqs p rt pq t r p s pqs ⎧++=+⎨++=+⎩
联立两式,变形可得p 2rt ＝p 2s 2,
又由等差数列{a n }的公差不为0,即p≠0,则有rt ＝s 2, 可得pq （r+t ）＝2pqs,
又由r,s,t 互不相等且rt ＝s 2
,则r+t≠2s ,必有q ＝0,则a n ＝pn, 所以S 1＝a 1＝p,S n ＝
1()2n a a n +⨯＝(1)2
n n p
+, 故1990n n S S a +＝(1)9902
n n p p pn
++
＝990n +2n +12, 设f （n ）＝
990n +2n +1
2
, 则f （n ）＝
990n +2n +12
1
2
＝
12, 当且仅当n 2
＝1980时等号成立,此时n 不是正整数,不符合题意, 而44
45,
所以f （44）＝99044+442+12＝45,f （45）＝
990451
++4522
＝45, 则有f （45）＝f （44）,即1990n
n
S S a +的最小值为45
故答案为：45.
16．已知数列{}n a 的前n 项和23
()22
n n S t n =+-,1n n b a =,若对任意的*n N ∈,都有6n b b ≥,则实
数t 的取值范围为____________． 【答案】(5,4)-- 【解析】
由题意,知23
()22
n n S t n =+-,所以12(2)n n n a S S n t n -=-=+-≥,
当1n =时也满足上式,所以*2,n a n t n =+-∈N , 所以11
(2)n n
b a n t ==--, 又因为对任意的*n N ∈,都有6n b b ≥,所以627,t <-<且2t n ≠-, 所以54t -<<-.
故实数t 的取值范围为(5,4)--. 故答案为：(5,4)--.
四、解答题：本题共6小题,共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17．求数列的通项公式：
（1）已知数列{}n a 满足11a =,且112n
n n
a a a +=
+,求数列{}n a 的通项公式； （2）已知数列{}n a 满足13231n
n n a a +=+⨯+,13a =,求数列{}n a 的通项公式．
【答案】 （1）1
21
n a n =-； （2）1431
322
n n n a -+=⋅-． 【解析】 （1）将112n n n a a a +=
+两边倒过来变形可知1n a ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
是以1
11a 为首项,2为公差的等差数列．
根据等差数列通项公式可求出121n n a =-,从而可得1
21
n a n =-；
（2）将13231n
n n a a +=+⨯+两边同时除以13n +,得
11121
3333
n n n n n a a +++-=+,利用累加法可求得结果． （1） 由112n n n a a a +=
+得,
1121
12n n n n
a a a a ++==+, ∴
1112n n a a +-=是常数．又11a =,∴1n a ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭是以1
11a 为首项,2为公差的等差数列．
∴
1
1(1)221n n n a =+-⨯=-,∴121
n a n =-． （2）
将13231n
n n a a +=+⨯+两边同时除以13n +,得
11
121
3333
n n n n n a a +++=++, 则111
21
3333n n n n n a a +++-=+, ∴
11223211
112231213333333333
n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a ----------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 122212121213
333333333
n n n --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
()12221111
11333
33n n n n ---⎛⎫
=
+++++
+ ⎪⎝⎭
1211(1)2(1)3311313n n -⨯--=++-
2113223n
n =
+-⨯ 则12331431
332222
n n n n n n a -⨯+=+-=⋅-．
18．已知正项数列{}n a 满足121,2a a ==,且对任意的正整数n,211n a ++是2
n a 和22n a +的等差中
项,证明：{}22
1n n a a +-是等差数列,并求{}n a 的通项公式．
【答案】证明见解析；n a n =． 【解析】
证明：由题知222
212(1)n n n a a a +++=+,
得2222
211()()2n n n n a a a a +++---=,
所以{}221n n a a +-是以22
213a a -=为首项,公差为2的等差数列,
即22
13(1)221n n a a n n +-=+-=+,
当2n ≥时,22222
222112211()()()n n n n n a a a a a a a a ---=-+-++-+
2(1)
2(121)22
n n n n n n -=++-+=⨯
+=, 当1n =时,2
11a =也符合题意,
所以22
n a n =,又0n a >
所以n a n =.
19．已知n S 为数列{}n b 的前n 项和,且n b 是1和n S 的等差中项,求满足()12312311111
4
n n b b b b b b b b ++⋅⋅⋅+>+++⋅⋅⋅+的正整数n 的集合. 【答案】{1,2} 【解析】
因n S 为数列{}n b 的前n 项和,且n b 是1和n S 的等差中项,则21n n S b =-, 当2n ≥时,11(21)(21)n n n n n b S S b b --=-=---,整理得：12n n b b -=,而11121b S b ==-,即11b =,
因此得,数列{}n b 是公比为2,首项为1的等比数列,其通项为12n n b -=,n *∈N ,21n n S =-, 而11
1()2n n b -=,于是得1{}n b 是首项为1,公比为12的等比数列,则1231111n
b b b b ++⋅⋅⋅+
11
11
221212
n n --==--, 由()1231231
11114n n b b b b b b b b ++⋅⋅⋅+>+++⋅⋅⋅+得：111
2(21)24n n -->-,即12
242n -<=, 解得3n <,而n *∈N ,则1n =或2n =,
所以所求的正整数n 的集合是{1,2}.
20．数列{}n a 满足11a =-,且1323n n a a n -=-+（n *∈N 且2n ≥）．
（1）求2a 、3a ,并证明数列{}n a n -是等比数列；
（2）求数列{}n a 的通项公式．
【答案】（1）24a =-,315a =-,证明见解析；（2）1
23n n a n -=-⋅.
【解析】
（1）因为11a =-,且1323n n a a n -=-+（n *∈N 且2n ≥）,
则21314a a =-=-,323315a a =-=-,
由已知可得()1133331n n n a n a n a n ---=-+=--⎡⎤⎣⎦,
112a -=-,则对任意的n *∈N ,0n a n -≠,
所以当2n ≥时,()131n n a n
a n --=--,故数列{}n a n -是等比数列；
（2）由（1）可知,数列{}n a n -是等比数列,且首项为2-,公比为3, 所以,123n n a n --=-⨯,因此,1
23n n a n -=-⋅.
21．已知数列{}n a 的各项均为正数,记数列{}n a 的前n 项和为n S ,数列{}
2n a 的前n 项和为n T ,且2
32n n n T S S =+,N n *∈．
（1）求1a 的值及数列{}n a 的通项公式；
（2）若有11
1n n b a +=+,求证：2313
21n b b b ++⋯+<．
【答案】（1）11a =；12n n a ；（2）证明见解析．
【解析】
（1）当1n =时,211132T S S =+,即22
11132a a a =+,
化简整理,得2
110a a -=,
解得：11a =或10a =（舍去）,
当2n ≥时,由2
32n n n T S S =+,
可得2
11132n n n T S S ---=+,
两式相减可得22211322n n n n n a S S S S --=-+-,即()()()2
111322n n n n n n n n
a S S S S S S a ---=+-+=++
所以132n n n a S S -=++,
将2n =代入132n n n a S S -=++,
可得22112123224a S S a a a a =++=+++=+,
解得：22a =,
当3n ≥时,由132n n n a S S -=++,
可得11232n n n a S S ---=++,
两式相减可得1133n n n n a a a a ---=+,
整理得:12n n a a -=,且212a a =也满足上式,
所以数列{}n a 是以1为首项,2为公比的等比数列,
所以11
122n n n a --=⋅=；
（2）证明：111
1
1212n n n n b a +==
<++, 所以23231
11222n n b b b ++⋯+<++⋯+
21111111132212222112
n n -⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭==-<<-, 故231321
n b b b ++⋯+<． 22．设数列{a n }的前n 项和为S n .若对任意的正整数n,总存在正整数m,使得S n =a m ,则称{a n }是“H 数列”.
（1）若数列{a n }的前n 项和S n =2n （n∈N）,证明：{a n }是“H 数列”；
（2）设{a n }是等差数列,其首项a 1=1,公差d<0.若{a n }是“H 数列”,求d 的值；
（3）证明：对任意的等差数列{a n },总存在两个“H 数列”{b n }和{c n },使得a n =b n +c n （n∈N）成立.
【答案】（1）证明见解析；（2）-1；（3）证明见解析.
【解析】
（1）由已知,当n≥1时,a n+1=S n+1-S n =2n+1-2n =2n .
于是对任意的正整数n,总存在正整数m=n+1,使得S n =2n =a m ,
所以{a n }是“H 数列”.
（2）由已知得,S 2=2a 1+d=2+d.
因为{a n }是“H 数列”,所以存在正整数m,使得S 2=a m ,即2+d=1+（m-1）d, 于是（m-2）d=1.
因为d<0,所以m-2<0,故m=1,从而d=-1.
当d=-1时,a n =2-n,S n =(3)2
n n -是小于2的整数,n∈N *. 于是对任意的正整数n,总存在正整数m=2-S n =2-
(3)2n n -,使得S n =2-m=a m , 所以{a n }是“H 数列”,因此d 的值为-1.
（3）证明：设等差数列{a n }的公差为d,则a n =a 1+（n-1）d=na 1+（n-1）（d-a 1）（n∈N *）. 令b n =na 1,c n =（n-1）（d-a 1）,则a n =b n +c n （n∈N *）.下证{b n }是“H 数列”. 设{b n }的前n 项和为T n ,则T n =(1)2
n n +a 1（n∈N *）. 于是对任意的正整数n,总存在正整数m=
(1)2n n +,使得T n =b m ,所以{b n }是“H 数列”. 同理可证{c n }也是“H 数列”.
所以对任意的等差数列{a n },总存在两个“H 数列”{b n }和{c n },使得a n =b n +c n （n∈N *
）成立。