人教A版高中同步学案数学选择性必修第一册精品课件 第1章 第1课时 空间中点、直线和平面的向量表示

解 (1)∵n1=(-2,1,2),n2=(6,-3,-6)=-3(-2,1,2)=-3n1,
∴n1∥n2,∴α∥β(已知α,β不重合).
(2)∵n1=(1,2,3),n2=(3,6,9)=3(1,2,3)=3n1,
∴n1∥n2,∴α∥β(已知α,β不重合).
重难探究·能力素养全提升
探究点一
平面的法向量及其求法
· = 0,
的方程组为
· = 0.
3.[人教B版教材习题]设(2,-2,1),(3,-3,1)是空间直线l上的点,求直线l的一个
方向向量.
解 设A(2,-2,1),B(3,-3,1)是空间直线l上的点,
故 l 的一个方向向量为 v= =(1,-1,0).
4.[北师大版教材习题]分别写出Oxy平面,Oyz平面,Ozx平面的一个法向量
棱A1D1,A1B1,D1C1,B1C1的中点.求证:平面AMN∥平面EFBD.
证明 建立如图所示的空间直角坐标系,
则A(2,0,0),B(2,3,0),
M(1,0,4),N
∴ =
3
2, ,4
2
3
1, 2 ,0
点,则点 P 在直线 l 上的充要条件是存在实数 t,使得=ta,即=t .如图
2,取定空间中的任意一点 O,可以得到点 P 在直线 l 上的充要条件是存在实数
t,使 = +ta,①或 = +t .②
①式和②式都称为空间直线的向量表示式.
由此可知,空间任意直线由直线上一点及
与A1C1的中点,求证:MN∥面ADD1A1.
证明 以 A 为原点,, , 1 的方向分别为 x 轴、y 轴、z 轴正方向,
正方体的棱长为单位长度,建立如图所示的空间直角坐标系,
则B(1,0,0),A1(0,0,1),C1(1,1,1),
又因为 M 是 A1B 的中点,
所以 M 的坐标为
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基础落实·必备知识全过关
知识点1
空间中点、直线和平面的向量表示
1.点的位置向量
在空间中,我们取一定点O作为基点,那么空间中任意一点P就可以用向量
来表示.我们把向量 称为点P的位置向量.如图.
既包含方向,也包含距离
2.空间直线的向量表示式
如图 1,a 是直线 l 的方向向量,在直线 l 上取 =a,设 P 是直线 l 上的任意一
【例1】 [人教B版教材例题]如图所示,已知空间直角坐标系中的三棱锥O-
ABC中,O(0,0,0),A(a,0,0),B(0,b,0),C(0,0,c),其中abc≠0.求平面ABC的一个法
向量.
解 由已知可得
= − =(0,b,0)-(a,0,0)=(-a,b,0),
= − =(0,0,c)-(a,0,0)=(-a,0,c).
课 程 标 准
1.能用向量语言描述直线和平面,理解直线的方向向量与平面的法向量.
2.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系.
3.能用向量方法证明必修内容中有关直线、平面平行关系的判定定理.
4.能用向量方法证明空间中直线、平面的平行关系.
目录索引
基础落实·必备知识全过关
重难探究·能力素养全提升
2
⊥ ,
由图可知 MN 不在平面 ADD1A1 内,因此 MN∥面 ADD1A1.
规律方法 利用空间向量证明线面平行的方法
(1)利用共面向量法:证明直线的方向向量p与平面内的两个不共线向量a,b
是共面向量,即满足p=xa+yb(x,y∈R),则p,a,b共面,从而可证直线与平面平
行.
(2)利用共线向量法:证明直线的方向向量p与该平面内的某一向量共线,再
探究点二
利用向量方法证明线线平行
【例2】 在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=4,AD=3,AA1=2,P,Q,R,S分别是
AA1,D1C1,AB,CC1的中点.求证:PQ∥RS.
证明 (方法1)以点D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建
立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.
设平面 ABC 的一个法向量为 n=(x,y,z),
则
· = - + = 0,
· = - + = 0,
将 x 看成常数,可解得


y= x,z= x.
令 x=bc,则 y=ac,z=ab.
因此,n=(bc,ac,ab)为平面 ABC 的一个法向量.
规律方法 利用待定系数法求平面的法向量的解题步骤
变式训练1如图所示,已知四边形ABCD是直角梯形,AD∥BC,
∠ABC=90°,SA⊥平面ABCD,SA=AB=BC=1,AD=
(1)求平面ABCD的一个法向量;
(2)求平面SAB的一个法向量;
(3)求平面SCD的一个法向量.
1
,试建立适当的坐标系.
2
解 以点A为原点,AD,AB,AS所在的直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所
个点A和一个向量a,那么过点A,且以向量a为法向量的平面完全确定,可以
表示为集合{P|a· =0}.
名师点睛
1.设 O 是空间任意一点,M 是线段 AB 的中点,则 =
1
(
2
+ ).
2.已知点 A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),若点 M(x,y,z)为线段 AB 的中点,则
· = 0,
1 · = 0,
取 a=1,则 b=1,c=-1,故 =(1,1,-1).
易知1 =(-1,-1,1),∴=-1 ,
∴ ∥ 1 ,即 PQ∥BD1.
探究点三
利用向量方法证明线面平行
【例3】 [人教B版教材例题]已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是A1B
示的空间直角坐标系,
则点 A(0,0,0),B(0,1,0),C(1,1,0),D
1
, 0,0
2
,S(0,0,1).
(1)∵SA⊥平面 ABCD,
∴=(0,0,1)是平面 ABCD 的一个法向量.
(2)∵AD⊥AB,AD⊥SA,SA∩AB=A,∴AD⊥平面 SAB,
∴ =
1
,
0,0
2
是平面 SAB 的一个法向量.
结合线面平行的判定定理即可证明线面平行.
(3)利用法向量法:求出直线的方向向量与平面的法向量,证明方向向量与
法向量垂直,从而证明直线与平面平行.
变式训练3如图,在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD为正方形,侧棱SD⊥底面
ABCD,E,F分别为AB,SC的中点.求证:EF∥平面SAD.
证明 如图,以D为原点,DA,DC,DS所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间
类似地,可得 N
1+0 0+0 0+1
,
,
2
2
2
1 1
, ,1
2 2
=
1
1
,
0,
2

,即 M
.因此=
1 1
0, ,
2 2
.
1
1
,
0,
2
2
.
又因为 AB⊥面 ADD1A1,所以是平面 ADD1A1 的一个法向量,
而且=(1,0,0),因此
1
1
·=0×1+ ×0+ ×0=0,即
2
【例4】 [北师大版教材习题]如图,在正方体ABCD-A'B'C'D'中,点
E,F,G,H,M,N分别是该正方体六个面的中心,求证:平面EFG∥平面HMN.
证明 以点 D 为原点,, , '的方向分别为 x 轴、y 轴、z 轴的正方向建
立空间直角坐标系(图略).
设正方体的棱长为 a,
直角坐标系.
设 AB=a,SD=b,则 E

, , 0
2
,F

0, ,
2 2
,所以 =
由题意可知,CD⊥平面 SAD,
故 =(0,a,0)为平面 SAD 的一个法向量.
因为 · =0,EF⊄平面 SAD,
所以 EF∥平面 SAD.

−, 0,
2
.
探究点四
利用向量方法证明面面平行
(3)在平面 SCD 中, =
1
, 1,0
2
, =(1,1,-1).
设平面 SCD 的法向量是 n=(x,y,z),
1

2
+ = 0,
= -2,
· = 0,
则 n⊥ ,n⊥ ,∴
则
∴
· = 0,
+ - = 0, = -,
令 y=-1,得 x=2,z=1,∴n=(2,-1,1).
设μ是直线l的方向向量,n是平面α的法向量,l⊄α,则
l∥α⇔μ⊥n⇔μ·n=0
面面平行
设n1,n2分别是平面α,β的法向量,则α∥β⇔n1∥n2⇔∃λ∈R,使得
n1=λn2
名师点睛
1.空间平行关系的本质是线线平行,根据共线向量的定义,只需证明直线的
方向向量μ1∥μ2.此外,证明线面平行也可用共面向量的性质,即只要证明这
条直线的方向向量能够用平面内两个不共线向量线性表示即可.
2.利用直线的方向向量证明直线与直线平行、直线与平面平行时,要注意
向量所在的直线与所证直线或平面无公共点,证明平面与平面平行时也要
注意两平面没有公共点.
过关自诊
1.若已知平面外一直线的方向向量和平面的法向量,则这两向量满足什么
条件可说明直线与平面平行?
, =
1
1
, 0, 2
2
,
所以 ∥ .
所以 GE∥平面 HMN.
又 FG∩GE=G,所以平面 EFG∥平面 HMN.
规律方法 利用空间向量证明面面平行的方法
(1)转化为线面平行、线线平行,然后借助向量共线进行证明;
(2)通过证明两个平面的法向量平行证明.
变式训练4在长方体ABCD-A1B1C1D1中,DA=2,DC=3,DD1=4,M,N,E,F分别为
2
− ,
∴ = ,∴ ∥ ,即 RS∥PQ.
规律方法 向量法证明两条直线平行的方法
两直线的方向向量共线时,两直线平行或重合;否则两直线相交或异面.
变式训练2在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点P在线段A1D上,点Q在线段AC上,
线段PQ与直线A1D和AC都垂直,求证:PQ∥BD1.
则P(3,0,1),Q(0,2,2),R(3,2,0),S(0,4,1),
=(-3,2,1),=(-3,2,1),
∴ = ,∴ ∥ ,即 PQ∥RS.
(方法 2) = + =
= 1 + 1 =
1

2
1
1
2
+
− +
1

2
1
1 ,
1 + 2
1 +2
1 +2
x= 2 ,y= 2 ,z= 2 .
过关自诊
1.直线的方向向量如何确定?
提示 l 是空间一条直线,A,B 是 l 上任意两点,则 及与 平行的非零向量
均为直线 l 的方向向量.
2.如何确定平面的法向量?
提示 设 a,b 是平面 α 内两个不共线向量,n 为平面 α 的法向量,则求法向量
提示 可探究直线的方向向量与平面的法向量是否垂直,进而确定线面是否
平行.
2.[人教B版教材习题]设n1,n2分别是空间中两个不重合的平面α,β的法向量,
分别根据下列条件判断平面α,β的位置关系.
(1)n1=(-2,1,2),n2=(6,-3,-6);
(2)n1=(1,2,3),n2=(3,6,9).
直线的方向向量唯一确定.
3.空间平面的向量表示式
如图,取定空间任意一点O,空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在
实数x,y,使 = +x+y .我们把这个式子称为空间平面ABC的向量
表示式.由此可知,空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定.
4.平面的法向量
如图,直线l⊥α,取直线l的方向向量a,我们称向量a为平面α的法向量.给定一
则点 E
H
1
1
, , 0
2
2
1
1
, ,
2
2
则 =
,F
1
1
, 0,
2
2
,G
1
1
, ,
2
2
.
1
1
, 2 , 0
2
,=
1
1
, 2 , 0
2
.
,M
1
1
, ,
2
2
,N
1
1
0, ,
2
2
,
所以 ∥ .所以 FG∥平面 HMN.
又=
1
1
− 2 , 0, − 2
证明 以点D为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,
设正方体的棱长为1,
则D(0,0,0),A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),A1(1,0,1),D1(0,0,1),
∴1 =(1,0,1), =(-1,1,0),设 =(a,b,c),
+ = 0,
则
即
- + = 0,
的坐标.
解 平面Oxy、平面Oyz 、平面Ozx的一个法向量的坐标分别为
(0,0,1),(1,0,0),(0,1,0).(答案不唯一)
知识点2
空间中直线、平面平行的向量表示
位置关系
向量表示
线线平行
设μ1,μ2分别是直线l1,l2的方向向量,则l1∥l2⇔μ1∥μ2⇔∃λ∈R,使
得μ1=λμ2
线面平行