云南省高三数学第二次毕业生复习统一检测试题 文(云南省二模,含解析)新人教A版

2013年云南省第二次高中毕业生复习统一检测
文科数学质量分析报告
一、抽样统计分析
1．抽样全卷基本情况
2．抽样分数段
3．各小题抽样情况（1）选择题
题号满
分
值
正
确
选
项
A
人
数
A
比
例%
B
人
数
B
比
例%
C
人
数
C
比
例%
D
人
数
D
比
例%
未
（多）
选人数
未
（多）
选比
例%
1 5 C 9 1.04 25 2.9 811 93.97 1
2 1.39 6 0.7
2 5 A 540 62.57 100 11.59 78 9.04 139 16.11 6 0.7
3 5 B 67 7.76 68
4 79.26 46 5.33 60 6.9
5
6 0.7
4 5 D 65 7.53 65 7.53 117 13.56 607 70.34 9 1.04
5 5 C 20 2.32 88 10.2 717 83.08 31 3.59 7 0.81
6 5 B 84 9.73 645 74.74 73 8.46 55 6.3
7 6 0.7
7 5 A 472 54.69 71 8.23 179 20.74 132 15.3 9 1.04
8 5 D 105 12.17 139 16.11 79 9.15 533 61.76 7 0.81
9 5 D 17 1.97 10 1.16 168 19.47 660 76.48 8 0.93 1
0 5 B
166 19.24 228 26.42 290 33.6 171 19.81 8 0.93
1 5 C 69 8 100 11.59 655 75.9 3
2 3.71 7 0.81
（2）填空题
（3）解答题
（4）第II 卷
选考题数据统计
二、各题质量分析
一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的．
第1题：已知集合{}10，
=S ，集合{}0=T ，Φ表示空集，那么=T S Y （A ）Φ
（B ）{}0
（C ）{}10，
（D ）{}010，，
本题考查集合的概念和运算.
解: ∵{}10，
=S ，{}0=T ， ∴=T S Y {}10，
. 故选C ．
第2题：抛物线2
8
1x y =的焦点坐标为 （A ）)2,0( （B ）)32
1,0(
（C ）)0,2(
（D ）)0,32
1
(
本题考查抛物线的标准方程. 解: ∵28
1x y =
, ∴y y x 4282
⨯==. ∴2
8
1x y =
的焦点坐标为)2,0(. 故选A.
答题分析：解答本题首先要把抛物线的方程2
8
1x y =化为标准方程28x y =，这样才能得出正确答案.这也是考生容易出错的地方.
第3题：一个由正数组成的等比数列，它的前4项和是前2项和的5倍，则此数列的公比为 （A ）1 （B ）2
（C ）3
（D ）4
本题考查等比数列的概念及其相关运算.
解:设此数列的公比为q ，根据题意得0>q ，且q
q a q q a --=--1)
1(51)1(2141，
解得2=q . 故选B.
答题分析：考生容易忽视条件“一个由正数组成的等比数列”，如果改为填空题，考生容易得出错误答案2q =±.
第4题：已知平面向量)2,1(=，)1,(x =，如果向量2+与-2平行，那么
与的数量积⋅等于
（A ）2-
（B ）1-
（C ）
2
3
（D ）
2
5 本题考查向量的概念及其与运算，考查向量平行，考查两个向量的数量积.
解:∵)2,1(=，)1,(x =，
∴)4,212x +=+（,)3,2(2x -=-.
∵ 2+与-2平行，∴0)2(4)21(3=--+x x ,解得2
1
=
x . ∴)1,21
(
=.∴b a ⋅2
5=. 故选D.
第5题：如图是一个空间几何体的三视图，其中正视图和侧视图都是半径为1的半圆，俯视图是半径为1的圆，则该几何体的体积等于 （A ）π4
（B ）34π
（C ）32π
（D ）3
π
本题以半球为载体，考查由三视图还原几何体的能力. 解: 由三视图知几何体是半球，
体积为3
2314213ππ=
⨯⨯. ∴故选C ．
第6题：曲线x x x x y ln 3)2)(1(---=在点)0,1(处的切线方程为 （A ）044=--y x （B ）044=-+y x
（C ）033=--y x
（D ）033=-+y x
本题考查导函数的求法，考查曲线上一点处的切线方程的求法. 解: ∵x
x x x x x y 3
])2)(1[()2)(1(-
'--+--=' x
x x x x x x 3)1()2()2)(1(-
-+-+--=， ∴当1=x 时，4-='y .
∴曲线x x x x y ln 3)2)(1(---=在点)0,1(处的切线方程为044=-+y x .
∴故选
B.
正视图 俯视图
侧视图
答题分析：1.题中涉及三项乘积的导数的求法，一些考生不能把它转化为两项乘积的导数来求解.
2.
也
可
以
把
三
项
的
乘
积
展
开
后
再
求
导
数
，
即
[](1)(2)x x x '--()()2
3223232362x x x x x x x x ''⎡⎤=-+=-+=-+⎣⎦
. 第7题：已知i 是虚数单位，如果复数z 满足i z z +=+1，那么=z （A ）i
（B ）i -
（C ）i +1 （D ）i -1
本题考查复数，考查复数的基本运算，考查方程的思想方法. 解: 设yi x z +=，x 、y 都是实数，则yi x y x z z +++=+22，
∵i z z +=+1，
∴⎩⎨⎧=++=1122x y x y ，解方程得⎩
⎨⎧
=++=112
2x y x y . ∴=z i . ∴故选A.
答题分析：本题解题方法是利用复数相等条件来列等式，求出未知数．复数 不能比较大小，但复数可以相等．本题体现了这一思想．
第8题：已知直线l 经过点)3,2(M ，当l 截圆9)3()2(2
2
=++-y x 所得弦长 最长时，直线l 的方程为 （A ）042=+-y x （B ）01843=-+y x
（C ）03=+y （D ）02=-x
本题考查直线和圆的基本知识.
解: ∵l 截圆9)3()2(2
2
=++-y x 所得弦长最长，
∴直线l 经过圆9)3()2(2
2
=++-y x 的圆心)3,2(-. 由已知得直线l 经过点)3,2(M 和圆心)3,2(-. ∴直线l 的方程为02=-x . ∴故选D.
第9题：从分别写有1，2，3，4，5的五张卡片中任取两张，假设每张卡片被 取到的概率相等，且每张卡片上只有一个数字，则取到的两张卡片上的数字之和 为偶数的概率为
（A ）
5
4 （B ）
25
16 （C ）
25
13 （D ）
5
2 本题考查概率的古典概型，考查用枚举法求概率.
解: 从分别写有1，2，3，4，5的五张卡片中任取两张，总的情况为： )2,1(，)3,1(，)4,1(，)5,1(，)1,2(，)3,2(，)4,2(，)5,2(，
)1,3(，)2,3(，)4,3(，)5,3(，)1,4(，)2,4(，)3,4(，)5,4(， )1,5(，)2,5(，)3,5(，)4,5(共20种情况．
两张卡片上的数字之和为偶数的有：)3,1(，)5,1(， )4,2(，)1,3(，)5,3(，
)2,4(，)1,5(，)3,5(共8种情况.
∴从分别写有1，2，3，4，5的五张卡片中任取两张，这两张卡片上的数字之和为偶数的概率5
2208==P . 故选D.
第10题：已知)(x f 是定义域为实数集R 的偶函数，01≥∀x ，02≥∀x ，若21x x ≠，则
0)()(1212<--x x x f x f ．如果43
)31(=f ，3)log (48
1>x f ，那么x 的取值范围为
（A ）)2
1
,0(
（B ）)2,2
1
(
（C ）),2(]1,2
1
(
∞+Y （D ）)2,2
1
()81,
0(Y 本题综合考查函数的奇偶性、单调性. 解:∵01≥∀x ，02≥∀x ，21x x ≠，则
0)
()(1
212<--x x x f x f ,
∴定义在实数集R 上的偶函数)(x f 在),0[∞+上是减函数.
∵3)log (48
1>x f , ∴43)log (8
1>
x f , 即)31()log (8
1f x f >. ∴,31log ,0log 8181⎪⎩⎪⎨⎧<≥x x 或,31log ,
0log 8
181⎪⎩⎪⎨⎧-
><x x 解得121≤<x 或21<<x . ∴22
1
<<x . 故选B ．.
答题分析：1.本题首先要看出函数)(x f 在),0[∞+上是减函数.
2.根据函数的单调性“去f ”：∵3)log (48
1>x f , ∴4
3
)log (8
1>
x f , 即)31
()log (8
1f x f >，但这个不等式并不等价于181log 3x <，原因是函数)(x f 在)
,0[∞+上是减函数，但在(),0-∞上却是增函数.
事实上，∵)(x f 是定义域为实数集R 的偶函数，∴上式可化为18
1log 3f x f ⎛⎫⎛⎫
> ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭
⎝
⎭
，
即18
1
log 3
x >
，接下来分类讨论去绝对值即可. 第11题：某学校高一年级、高二年级、高三年级共有学生3500人，其中高三年级学生数是高一年级学生数的两倍，高二年级学生比高一年级学生多300人，现按年级用分层抽样的方法从高一年级、高二年级、高三年级抽取一个学生样本. 如果在这个样本中，有高三年级学生32人，那么为得到这个样本，在从高二年级抽取学生时，高二年级每个学生被取到的概率为 （A ）
201
（B ）
301
（C ）50
1
（D ）100
1
本题考查统计中分层抽样的计算. 解: 设高三学生数为x ，则高一学生数为
2x ，高二学生数为3002
+x
， ∴有35003002
2=+++
x
x x ，解得1600=x ,高三学生数为1600. ∵在这个样本中，高三年级学生有32人，
∴每个学生被抽到的概率为.50
1
160032= 故选C ．
答题分析：本题不是求高二年级这一层将抽到多少学生，这是与以往不同的地方.我们所学习的三种抽样方法都是等概率抽样，即每个个体被抽到的概率都相等，据此便可解答本题.
第12题：在三棱锥ABC P -中，PC PB PA ==，底面ABC ∆是正三角形，M 、
N 分别是侧棱PB 、PC 的中点. 若平面⊥AMN 平面PBC ，则侧棱PB 与平面
ABC 所成角的正切值是
（A ）
5
2
（B ）3
2
（C ）
22 （D ）
63
本题考查空间线面的位置关系，考查线面角的求法.
解: 设MN 的中点为D ，BC 的中点为E ，连接AD ，AE ，PE ．
∵PC PB PA ==,
∴P 在平面ABC 内的射影是等边ABC ∆的中心O . ∴PBO ∠是侧棱PB 与平面ABC 所成的角.
由已知得AN AM =，设MN 的中点为D ，则MN AD ⊥. ∵平面⊥AMN 平面PBC ， ∴⊥AD 平面PBC .
∵M ，N 分别是侧棱PB ，PC 的中点， ∴D 是PE 的中点. ∵⊥AD PE ， ∴AE PA =.
O
设等边ABC ∆的边长为a ，侧棱长为b ，则a b 2
3=
. ∵6
153,3322
a a
b PO a BO =
-==, ∴2
5
tan ==∠BO PO PBO . ∴故选A.
答题分析：1.本题的关键在于对空间线面位置关系进行正确而有效的转化，只要哪一步思维卡壳，就很难做下去了.
2.首先要找到侧棱PB 与平面ABC 所成角PBO ∠.
接下来要用面面垂直推出线面垂直，进而推出线线垂直.然后再逆用等腰三角形的性质，得出AE PA =.从而找到底面正三角形边长a 和侧棱长b 之间的等量关系.
最后才是计算PBO ∠的正切值.
3.本题的难点在于：首先要找出所求的线面角，其次如何根据条件找到底面边长a 和侧棱长b 的等量关系.
二．填空题：本大题共4小题，每小题5分．
第13题：如果执行下列程序框图，那么输出的S = ．
本题考查程序框图，考查等差数列前n 项和的求法
.
解:根据程序框图的意义，得()212202021420S =⨯+++=⨯=L ． 第14题：已知ABC ∆的面积等于S ，在ABC ∆的边AB 上任取一点P ，则PBC ∆的面积不小于7
S
的概率等于 ．
本题考查几何概型的计算.
解:设ABC ∆底边AB 上的高为h ，1P 在ABC ∆的边AB 上，且7
1AB
B P =
， 7
61AB
AP =
. 则有1111111..227727P BC AB S PB h h AB h S ∆=
⋅⋅==⋅⋅⋅=， 同理有16
7
P AC
S S ∆=． ∵PBC ∆的面积不小于7
S
，
∴点P 只能在线段1AP 上. ∴PBC ∆的面积不小于
7
S
的概率等于76.
答题分析：１．几何概型是将概率问题转化为几何图形问题．本题是将面积概率问题转化为
线段长问题，由于线段1CP 上有无数个点P ，在线段1CP 上任取一点P ，都有7PBC S
S ∆>．由于总面积S 相当于线段长BC ，PBC S ∆相当于线段长1
PC ，所以得PBC ∆的面积不小于7
S
的概率等于7
6
.解题时应注意体会几何概型事件的无限性与古典概型事件的有限性．
２．有的考生填写的是1
7
，可能是把“不小于”看成了“小于”.这提示我们，读题要
慢，审题要细，只有这样才能减少失分.
第15题：设1F 、2F 为双曲线1222=-y a
x 的两个焦点，点P 在此双曲线上，021=⋅PF PF ，
如果此双曲线的离心率等于
2
5
，那么点P 到x 轴的距离等于 ． 本题考查双曲线，考查双曲线的焦点三角形，离心率等知识和方法.
解法一: ∵ 12
22=-y a
x 的离心率等于25，
∴
4
5
122=+a a . ∴42
=a . ∵021=⋅PF , ∴21PF PF ⊥. ∴21PF PF ⊥.
∵点P 在双曲线14
22
=-y x 上， ∴16)(2
21=-PF PF . ∴162212
2
2
1=-+PF PF PF PF .
∴162)14(421=-+⨯PF PF . ∴221=PF PF .
设点P 到x 轴的距离等于d ，则21142PF PF d =⨯+. ∴5
5
=
d . 解法二（方程思想）:∵12
22=-y a
x ，∴()1,0F c -，()2,0F c .
∵ 12
22=-y a
x 的离心率等于25，∴4512
2=+a a ，42=a ，c =∴，双曲线方程为2
2
44x y -=. 设(),P m n ，则
2244m n -=
①
由021=⋅PF 得()()2
2
,,50c m n c m n m n ---⋅--=-+= ②
解得5n =±
，从而点P 到x 轴的距离等于5
.
第16题：已知a 、b 、c 分别为ABC ∆三个内角A 、B 、C 的对边，若
12
22=-+bc a c b
，1
2
c b =+B tan 的值等于 ． 本题考查解三角形，涉及正余弦定理、三角变换.
解: 根据余弦定理得：2
1
2cos 222=-+=
bc a c b A . ∵A 是三角形的内角， ∴3
π
=
A .
在ABC ∆中，B B A C -=
--=3
2π
π. ∴B B C sin 2
1
cos 23sin +=
. 根据正弦定理和已知得：
32
1sin sin 21
cos 23sin sin +=+=B B
B B
C . ∴B B cos 2
3
sin 3=. ∴2
1tan =
B . 答题分析：1.解答本题的一个关键是要从
12
22=-+bc
a c
b 看出这是关于角A 的余弦定理，可得出3
π
=
A .
2.因为
(
)sin 120sin 1sin sin 2
B c
C b B B ︒-===+，这个式子展开后，
得cos 11
2sin 22
B B +=+，解之即可.
三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 第17题：（本小题满分12分）
已知2
1cos 2sin 23)(2+-=
x x x f ． （Ⅰ）写出)(x f 的最小正周期T ；
（Ⅱ）若)(x f y =的图象关于直线m x =对称，并且65<<m ，求m 的值． 本题考查三角函数的化简计算，考查三角函数的周期性和对称性. 解:（Ⅰ）∵)(x f )6
2sin(2cos 212sin 23π
-=-=
x x x , ∴)(x f 的最小正周期ππ
==2
2T .
（Ⅱ）∵)(x f y =的图象关于直线m x =对称，
∴2
6
2π
ππ
+
=-k m ，Z k ∈.
∴3
2π
π+=
k m ，Z k ∈. ∵65<<m ,∴6
11π
=m .
第18题：（本小题满分12分）
某投资公司年初用98万元购置了一套生产设备并即刻生产产品，已知与生产产品相关的各种配套费用第一年需要支出12万元，第二年需要支出16万元，第三年需要支出20万元，……，每年都比上一年增加支出4万元，而每年的生产收入都为50万元．假设这套生产设备投入使用n 年，*
∈N n ，生产成本等于生产设备购置费与这n 年生产产品相关的各种配套费用的和，生产总利润)(n f 等于这n 年的生产收入与生产成本的差. 请你根据这些信息解决下列问题：
（Ⅰ）若0)(≥n f ，求n 的值；
（Ⅱ）若干年后，该投资公司对这套生产设备有两个处理方案：
方案一：当年平均生产利润取得最大值时，以26万元的价格出售该套设备； 方案二：当生产总利润)(n f 取得最大值时，以8万元的价格出售该套设备． 你认为哪个方案更合算？请说明理由．
本题考查考生的阅读和建模能力，综合考查考生运用函数、数列、均值不等式等知识和
方法解决实际问题能力.
解:（Ⅰ）由题意知该公司这n 年需要支出与生产产品相关的各种配套费用是以12为首项，4为公差的等差数列的前n 项和．
∴()5098[1216(48)]f n n n =--++++L 984022-+-=n n . 由()0f n ≥得0984022≥-+-n n ，解得51105110+≤≤-n . ∵*∈N n ，∴3=n ，4，5，……，17. ∴0)(≥n f 的解集为{}
173,≤≤∈*n N n n .
（Ⅱ）(1) 由已知得年平均生产利润为
)49
(240)(n
n n n f +-=. ∵
122840)49
(240)(=-≤+-=n
n n n f , “=”成立⇔)(49
*∈=N n n
n ，即7=n ,
∴当7=n 时，年平均生产利润取得最大值，若执行方案一，总收益为
11026127=+⨯（万元）.
(2) ∵)(n f 984022-+-=n n 102)10(22
+--=n ，*∈N n ， ∴当10=n 时，生产总利润取得最大值，若执行方案二，总收益为
1108102=+（万元）.
∴无论执行方案一还是方案二，总收益都为110万元. ∵107<，∴从投资收益的角度看，方案一比方案二更合算.
注：第（Ⅱ）问答案不唯一，只要言之有理即可.
答题分析：1.由于文字叙述较长，很多考生对题意不甚了了，所建立的函数模型也是错误百出，从而导致本题的得分是很低的.
2.第（Ⅰ）问中，很多考生在求()f n 的时候，都把等差数列的前n 项和错误理解为第
n 项n a 了，即()()5098[1241]f n n n =--+-.
3.第（Ⅱ）问中，一些考生不理解“年平均生产利润取得最大值”、“生产总利润)(n f 取得最大值”的含义，从而无法建立模型.
4. 第（Ⅱ）问中，所建立的模型是对的，并且也求出了n 分别等于7和11，但之后就不知道应该选择哪一个量作为标准，来判断哪个方案更好.
第19题：（本小题满分12分）
如图，在长方体ABCD D C B A -1111中，a AB =，b AD =，c AA =1，M 是线
段11D B 的中点．
（Ⅰ）求证：//BM 平面AC D 1； （Ⅱ）求平面AC D 1把长方体
ABCD D C B A -1111分成的两
部分的体积比．
本题考查空间线面位置关系，考查线面平行，考查三棱锥体积的求法. （Ⅰ）证明：设AC 的中点为O ，连接1OD ，BD .
根据题意得AC BD O ⋂=, BO 1//MD ，且BO 1MD =. ∴四边形M BOD 1是平行四边形. ∴1//OD BM .
∵⊄BM 平面AC D 1，⊂1OD 平面AC D 1， ∴//BM 平面AC D 1.
（Ⅱ）解：∵6
3111abc
D D S V ADC ADC D =
⨯⨯=
∆-， abc D D DC AD V D C B A ABCD =⨯⨯=-11111，
∴空间几何体ABC D C B A 1111的体积=V ADC D D C B A ABCD V V ---11111
6
56abc
abc abc =
-
=. ∴5:1:1=-V V ADC D 或1:5:1=-ADC D V V ，即平面AC D 1把长方体
ABCD D C B A -1111分成的两部分的体积比为5:1或1:5.
答题分析：1. 第（Ⅰ）问有一点难度，需要作辅助线，这几乎是用几何法证明线面平行、线面垂直的必经之路了，对此考生要有意识.
2.第（Ⅱ）问的解决比较简单，并且不依赖于第（Ⅰ）问，有的考生第（Ⅰ）问没有做
D 1
C 1
B 1
A 1
A
B
C
D
M
D 1
C 1
A 1
A
B
C
O
D
M
出来，但第（Ⅱ）问做出来了，这是一种好的现象，说明考生能够把会做的做对了. 第20题：（本小题满分12分）
已知1F 、2F 分别是椭圆E : )0(122
22>>=+b a b y a x 的左、右焦点，点)
3,2(P 在直线b
a x 2
=上，线段1PF 的垂直平分线经过点2F ．直线m x k y +=与椭圆E 交于不
同的两点A 、B ，且椭圆E 上存在点M ，使λ=+，其中O 是坐标原点，λ是实数．
（Ⅰ）求λ的取值范围；
（Ⅱ）当λ取何值时，ABO ∆的面积最大？最大面积等于多少？ 本题综合考查直线和椭圆的相关问题，综合考查考生的运算求解能力. 解:（Ⅰ）设椭圆E 的半焦距为c ，根据题意得
⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧+=+-====,,3)2()2(,
22
222
2222212
c b a c PF c F F b a 解方程组得⎪⎩⎪⎨⎧===.2,1,1a b c
∴椭圆E 的方程为12
22
=+y x ． 由⎩⎨⎧=++=2
2,2
2y x m kx y ，得0224)21(2
22=-+++m kmx x k ． 根据已知得关于x 的方程0224)21(2
22=-+++m kmx x k 有两个不相等的实数根. ∴0)21(8)22)(21(4162
22222>-+=-+-=∆m k m k m k ，
化简得：2
221m k >+．
设),(11y x A 、),(22y x B ，
则⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧
+-=+-=+.2122,21422
21221k m x x k km x x
2
21212122)(k m
m x x k y y +=
++=+．
（1）当0=λ时，点A 、B 关于原点对称，0=m ，满足题意； （2）当0≠λ时，点A 、B 关于原点不对称，0≠m .
由OA OB OM λ+=u u r u u u r u u u r ，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=),(1),(12121y y y x x x M M λλ
即⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧+=+-=.)21(2,)21(422k m y k km x M M λλ
∵M 在椭圆E 上，∴
1])
21(2[])21(4[212222=+++-k m
k km λλ， 化简得：)21(42
2
2k m +=λ． ∵2221m k >+，∴2224m m λ>． ∵0≠m ，
∴42<λ，即22<<-λ且0≠λ．
综合（1）、（2）两种情况，得实数λ的取值范围是)2,2-（．
（Ⅱ）当0=λ时，0=m ，此时，A 、B 、O 三点在一条直线上，不构成ABO ∆.
∴为使ABO ∆的面积最大，0≠λ.
∵⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧
+-=+-=+，22
212212122,214k m x x k km x x ∴212
212
4)(1x x x x k
AB -++=2
2
222121122k m k k +-++=.
∵原点O 到直线m x k y +=的距离2
1k
m d +=
，
∴AOB ∆的面积d AB S ⋅=2
1
2
2
221212k
m k m +-+=
．
∵)21(42
2
2
k m +=λ，0≠λ，
∴2
2
2
421λ
m k =
+.
∴4
424
1
4
2442422
2
2
2
2
2
2
λλλλλλ-=
-=
-=
m
m m m
S )4(4222λλ-=． ∵22
4)4(2
22
2
=-+≤
-λλλλ，
∴2
2
≤
S ． “=” 成立⇔224λλ-=，即2±=λ． ∴当2±=λ时，ABO ∆的面积最大，最大面积为2
2．
答题分析：1.由于题目较长，一些考生不能识别有效信息，未能救出椭圆E 的方程求. 2. 第（Ⅰ）问，求λ的取值范围.其主要步骤与方法为：由0∆>，得关于k 、m 的不等式2221m k >+……
①.
由根与系数的关系、λ=+，M 在椭圆E 上，可以得到关于k 、m 、λ的等式)21(42
2
2
k m +=λ…… ②．
把等式②代入①，可以达到消元的目的，但问题是这里一共有三个变量，就是消了m ，那还有关于k 和λ的不等式，如何求出λ的取值范围呢？这将会成为难点.
事实上，在把等式②代入①的过程中，k 和m 一起被消掉，得到了关于λ的不等式.解之即可.
3.第（Ⅱ）问要把ABO ∆的面积函数先求出来.用弦长公式求底，用点到直线的距离
公式求高，得到AOB ∆的面积d AB S ⋅=2
1
2
2
221212k
m k m +-+=
，函数中有两个自变
量k 和m ，如何求函数的最大值呢？这又成为难点.
这里很难想到把②代入面积函数中，因为②中含有三个变量，即使代入消掉一个后，面积函数依然有两个自变量.但这里很巧合的是：代入消掉k 后，事实上，m 也自动地消除了，
于是得到了面积S 和自变量λ的函数关系S )4(4
222λλ-=
，再由第（Ⅰ）中所得到的
λ的取值范围
)2,2-（，利用均值不等式，即可求出面积的最大值了. 4.解析几何的难点在于运算的繁杂，本题较好地体现了解解析几何题设题要求.对此，考生要有足够的心理准备.
5.解答本题给我们的启示：不能死抱一些“结论”，比如两个未知数需要两个方程才能解出来等等.事实上，当那方程比较特殊的时候，即便是有多个未知数，也是可以把所有未知数都解出来的.很多时候的巧，会给我们山重水复疑无路，柳暗花明又一村的惊喜！
第21题：（本小题满分12分）
已知常数a 、b 、c 都是实数，函数16)(2
3-++=x c x b x a x f 的导函数为)(x f '，
0)(≥'x f 的解集为{}32≤≤-x x ．
（Ⅰ）若)(x f 的极大值等于65，求)(x f 的极小值；
（Ⅱ）设不等式06)(≥+'x a x f 的解集为集合T ，当T x ∈时，函数
16)()(+-=ma x f x F 只有一个零点，求实数m 的取值范围．
本题通过导数综合考查函数的单调性、极值、零点、比较大小等知识. 解:（Ⅰ）
∵16)(2
3-++=x c x b x a x f ，∴c bx ax x f ++='23)(2.
∵不等式0)(≥'x f 的解集为{}
32≤≤-x x ， ∴不等式0232≥++c bx ax 的解集为{}
32≤≤-x x .
∴⎪⎪⎪⎩
⎪
⎪⎪⎨⎧
=⨯--=+-<,
332,3232,0a c a b a 即⎪
⎩⎪⎨⎧-=-=<.18,23,0a c a b a ∴16182
3)(2
3---
=ax x a x a x f ， )2)(3(31833)(2+-=--='x x a a ax ax x f .
∴当)2,(-∞-∈x 或),3(∞+∈x 时，0)(<'x f ，即)(x f 为单调递减函数； 当)3,2(-∈x 时，0)(>'x f ，即)(x f 为单调递增函数. ∴当3=x 时，)(x f 取得极大值，当2-=x 时，)(x f 取得极小值.
由已知得6516542
2727)3(=---
=a a
a f ，解得2-=a . ∴163632)(2
3
-++-=x x x x f . ∴)(x f 的极小值60)2(-=-f .
（Ⅱ）∵0<a ，a ax ax x f 1833)(2--='，06)(≥+'ax x f ，
∴062≤-+x x ，解得23≤≤-x ，即{}
23≤≤-=x x T . ∵16)()(+-=ma x f x F ，∴)()(x f x F '='.
∴当)2,(-∞-∈x 或),3(∞+∈x 时，0)(<'x F ，即)(x F 为单调递减函数； 当)3,2(-∈x 时，0)(>'x F ，即)(x F 为单调递增函数. ∴当)2,3(--∈x 时，)(x F 为单调递减函数； 当)2,2(-∈x 时，)(x F 为单调递增函数. ∵ma a
ma f F -=
+--=-2
2716)3()3(， ma a ma f F --=+-=3416)2()2(，0<a ，
∴)2()3(F F <-.
∴)(x F 在]2,3[-上只有一个零点⎩
⎨⎧≥<-⇔,0)2(,
0)3(F F 或0)2(=-F .
由⎩⎨
⎧≥<-,
0)2(,0)3(F F 得227
34<≤-m ；
由0)2(=-F ，即016)2(=+--ma f ，得22=m . ∴实数m 的取值范围为2
27
34<
≤-m 或22=m .
∴当2
27
34<≤-m 或22=m 时，函数16)()(+-=ma x f x F 在]2,3[-上只有一个零点.
答题分析：1.第（Ⅰ）的解答还是要破费周折的. 首先要求出导函数c bx ax x f ++='23)(2.
然后根据0)(≥'x f 的解集为{}32≤≤-x x ，通过解混合组,得到⎪
⎩⎪⎨⎧-=-=<.
18,23,0a c a
b a 进而得到16182
3)(2
3---=ax x a x a x f .
接下来通过研究函数()f x 的单调性，由)(x f 的极大值等于65，可解得2-=a ，这样就可以求出()f x 的极小值60)2(-=-f .
2.第（Ⅱ）问先由不等式06)(≥+'x a x f 的解集为集合T ，可以解得
{}23≤≤-=x x T .
然后研究16)()(+-=ma x f x F 的单调性，值得注意的是)()(x f x F '='，换句话说方程两边对x 求导数，m 、a 应看作是常数.
单调性弄清楚后，还要比较(3)F -、(2)F 的大小.然后根据()F x 只有一个零点，列出
(3)0,
(2)0,
F F -<⎧⎨
≥⎩或0)2(=-F ，最后解之即可.值得注意的是，很多考生漏了0)2(=-F . 第22题：（本小题满分10分）选修14-：几何证明选讲
如图，四边形ABCD 的外接圆为⊙O ，EA 是⊙O 的切线，CB 的延长线与EA 相交于点E ，AD AB =．
求证：CD BE AB ⋅=2
．
本题考查平面几何中的三角形相似以及圆的相关知识，考查推理论证能力
证明:连结AC ． ∵EA 是⊙O 的切线， ∴ACB EAB ∠=∠．
∵AD AB =，∴ACB ACD ∠=∠． ∴EAB ACD ∠=∠．
∵⊙O 是四边形ABCD 的外接圆， ∴ABE D ∠=∠． ∴CDA ∆∽ABE ∆． ∴
BE
DA
AB CD =
，即CD BE DA AB ⋅=⋅. ∵AD AB =， ∴CD BE AB ⋅=2．
答题分析：作辅助线往往是解答平面几何证明的关键，本题也不例外. 第23题：（本小题满分10分）选修44-：坐标系与参数方程
已知曲线C 的参数方程为35cos ,
5sin ,
x y θθ=+⎧⎨
=⎩θ(是参数)，P 是曲线C 与y 轴正半轴的
交点．以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求经过点P 与曲线C 只有一个公共点的直线l 的极坐标方程．
本题考查圆的参数方程和普通方程，考查直线的直角坐标方程和极坐标方程的互化. 解:把曲线C 的参数方程35cos ,
5sin ,
x y θθ=+⎧⎨=⎩θ(是参数)化为普通方程得
25)3(2
2
=+-y x .
∴曲线C 是圆心为)0,3(1P ，半径等于5的圆. ∵P 是曲线C 与y 轴正半轴的交点， ∴)4,0(P .
根据已知得直线l 是圆C 经过点P 的切线. ∵3
41-
=PP k , ∴直线l 的斜率4
3=
k .
∴直线l 的方程为01643=+-y x .
∴直线l 的极坐标方程为016sin 4cos 3=+-θρθρ. 第24题：（本小题满分10分）选修54-：不等式选讲
已知13-≥x ，关于x 的不等式0132151023≥+-+++--a x x x 的解集不是空集，求实数a 的取值范围．
本题考查绝对值不等式，考查绝对值函数最大值的求法，考查绝对值不等式恒成立问题. 解:设=)(x f 151023+++--x x x (13-≥x )，
则228,135,
()28,53,2, 3.x x f x x x x +-≤≤-⎧⎪
=-+-<≤⎨⎪>⎩
∴当513-≤≤-x 时，18)(2≤≤x f ； 当35≤<-x 时，18)(2<≤x f ； 当3>x 时，2)(=x f .
∴=)(x f 151023+++--x x x (13-≥x )的最大值为18.
∵关于x 的不等式0132151023≥+-+++--a x x x 的解集不是空集的充要条件是)(x f 132+≥a 的解集不是空集，而)(x f 132+≥a 的解集不是空集的充要条件是)(x f 的最大值132+≥a ，即13218+≥a .
解13218+≥a ，得422-≤≤-a . ∴实数a 的取值范围为422-≤≤-a .
答题分析：1.本题解法是采用分离变量的方法进行的，分离之后，可以求出()f x 的最大值.
2.一些考生对不等式的解集不是空集理解有误，有的甚至求成了()f x 的最小值.实际上)(x f 132+≥a 的解集不是空集，所以)(x f 的最大值132+≥a ，即13218+≥a ，解之即可.
三、教学建议
1．回归基础：掌握基本知识、基本方法和基本题型.
在最后的复习阶段，考生要回归课本，理清数学的知识主线，构建思想方法体系，熟记数学概念、公理、定理、性质、法则、公式．考生应该把课本上的基本知识、基本方法和基本题型系统全面地再梳理一遍，并针对盲区和易错点及时查缺补漏．
2.高度重视运算能力.
近年来的高考数学试题，对运算能力的要求都有所加强，在云南省第二次统一测试中也得到了较好地反映，比如第20题解析几何中的复杂运算，第21题函数中的代数变形，第18题概率大题中的繁杂数字计算等．因此要高度重视运算能力的培养．然而由于运算能力的培养并非一日之功，因此要坚持长期训练培养，在平时的学习中，凡是复杂计算，都必须认真演算完毕，而不能是懂算理算法后就停止了，平时不训练有素，考场上肯定是快不起来的，考试也一定是要吃大亏的.
3．整理反思已做过的题.
临近高考，一味地做新题、难题将得不偿失．事实上，学生已经做过很多试题了（试卷已经有厚厚的一打），但是否真正掌握吃透了呢？你应该拿出你以前做过的习题来进行归纳总结：拿到一道题必须立即判断其题型、考点 ( 知识背景 ) ，常用解法及特殊解法，解法的具体步骤，解法的关键步，解法的易错步，此题的常见变式及其解决办法等，以上几点如果你在一两分钟内无法回答出来，则说明你还未真正掌握此类问题．在高三最后的冲刺阶段，这样的整理和反思训练远比埋头做题来得重要．具体可如下实施：
(1)应把过去做过的题目分类梳理、整理．做这项工作时最好按照知识点的板块进行，同时兼顾按题型划分．
(2)做好分类后，找出自己在基础知识方面的薄弱环节，同时应做专项练习，提高熟练程度．
(3)最基础的定理、公式要熟记．此时的复习应做到回归课本，但回归课本不是简单地拿着书本翻阅，而是带着自己在梳理知识中遇到的问题去有重点地看课本．
(4)找出自己做错的地方，认真反思错误原因，并记忆错误原因，争取做到在高考中不犯同样的错误．错误有很多种，有知识不足的问题，有概念不清的问题、有题型模式认识不清的问题、也有分类不清的问题，当然还有做题马虎的问题等等．考生要在前进中反思，在反思中前进．
4.关注考试心理和考试技巧.
数学难题、怪题千千万万，高考考场上遇到一些新题是再正常不过的，考场上需要保持一个平和的心态.比如本次省统测，选做题每题都只有一个问，这跟往常所见的很不一样，此时不能因为这种“新颖”就把自己给搞紧张了.要树立一个心态：考场上见到什么都是可能的！
再比如，第9题，求递推数列的通项公式，由于一下子没能把等比数列或等差数列给配凑出来，会不会自己就紧张到连取特殊值排除验证的方法都抛到九霄云外了呢？
5．答题时一般来说应该是先易后难，从前往后．
有的考生喜欢先做大题，再做选择、填空题．我们认为这是不妥当的．通常试题的难易分布是按每一类题型从前向后，由易到难的．因此，解题顺序也宜按试卷题号从小到大，从前至后依次解答．当然，中间有难题出现时，可以先跳过去，总之，总的原则是要先把容易得到的分数拿到手，先易后难，先选择、填空题，后解答题．
6．字迹清晰，合理规划．
这对任何一科考试都很重要，尤其是对“精确度”较高的数学，若字迹不清、较难辨认，极易造成阅卷教师的误判．例如写得较快时，数字1和7极易混淆等等．若不清晰就可能使本来正确的失了分．另外，答题卡上书写的位置和大小要计划好，尽量让卷面安排做到合理整洁，特别地，要在指定区域作答．总之，对于解答题，书写要规范，布局要合理，论述既要简明，又不能跳跃过大.只有这样才能避免“自己做对了”，但阅卷却被扣了分这种现象.。