高一均值不等式补差材料

均值不等式的应用（七）
一．均值不等式
1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 22
2
≥+ (2)若R b a ∈,，则2
2
2b a ab
+≤
（当且仅当b
a =时取“=”）
2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥
+2
(2)若*
,R b a ∈，
则ab b a 2≥+（当且仅当b
a =时取“=”）
(3)若*
,R b a ∈，则2
2⎪⎭
⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”
） 3.若0x >，则12x x
+
≥ (当且仅当1x =时取“=”
）;若0x <，则12x x
+≤- (当且仅当
1x =-时取“=”）
若0x ≠，则11122-2x x x x
x
x
+≥+≥+≤即或 (当且仅当1-=x 时取“=”）
3.若0>ab ，则2≥+a
b b
a (当且仅当
b a =时取“=”）
若0ab ≠，则
22-2a b a b a b b
a
b
a
b
a
+
≥+
≥+
≤即
或
(当且仅当b a =时取“=”
） 4.若R b a ∈,，则2
)2
(
2
2
2
b a b a +≤
+（当且仅当b a =时取“=”）
注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．
（2）求最值的条件“一正，二定，三取等”
(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用．
例题
例1、设,x y 满足220x y +=的正数，则lg lg x y +的最大值是（ ） A.50 B.20 C.1lg 5+ D.1 练习1、已知01x <<，则()33x x -取得最大值时x 的值为（ ） A.1
3 B.
12
C.
34
D.
23
例2、已知01x <<，求函数y =的最大值.
练习、203
x <<
，求函数y =.
例3、已知正数,x y ，满足4
91x y
+
=，则xy 有（ ）
A.最小值12
B.最大值12
C.最小值144
D.最大值144 练习、已知0,0x y >>，且1
91x y
+
=，求x y +的最小值。

练习。

已知0,0x y >>且191x y
+=，求使不等式x y m +≥恒成立的实数m 的取值范围。

例4、.若实数满足2=+b a ，则b a 33+的最小值是 . 练习、若实数b a 、满足2=+b a ，则b
a
3
3
+的最小值是（ ）
A. 18
B. 6
C. 3
2
D. 2
4
3
例5、若1a b >>，P =，()1lg lg 2
Q a b =+，lg 2a b R
+⎛⎫= ⎪⎝⎭
，则下列不
等式成立的是（ ）
A.R P Q <<
B. P Q R <<
C. Q P R <<
D. P R Q << 例6、已知221x y +=，对于满足条件的,x y 恒有不等式0x y k +-≥成立，则k 的最大值为 ；
例7、 若正数a 、b 满足3++=b a ab ，则ab
的取值范围是 。

变式：已知a ，b 为正实数，2b ＋ab ＋a ＝30，求函数y ＝
1
ab
的最小值. 例8、（利用函数单调性）求函数
)
(4
522
R x x x y ∈++=
的最小值。

练习. 求函数4
12222
++=
x x y 的最小值。

例9、 已知
)
20[π
，∈x ，求函数+-=x y sin
1x
sin 12
-的最小值。

例10、设实数m
，n ，x ，y
满足42
2=+n
m ，9
2
2=+y
x ，求ny
mx
+的最大值。

例11、（分离法） 求2
710
(1)
1x x y x x ++=
>-+的值域。

练习．求下列函数的最小值，并求取得最小值时，x 的值.
（1）2
31
,(0)
x x y x x
++=
>
（2）12,3
3
y x x x =+
>-
(3)
12sin ,(0,)
sin y x x x
π=+
∈
例12.已知x ，y 为正实数，且x 2
＋y 2
2
＝1，求x 1＋y 2 的最大值.
例14、已知x ，y 为正实数，3x ＋2y ＝10，求函数W ＝3x ＋2y 的最值.
练习: 求函数15
)22
y
x =
<<
的最大值。