福建省惠安惠南中学2018届高三上学期期中考试数学理试

惠南中学2017年秋季期中考试卷
高三数学（理科） 命题人：
考试时间：120分钟 满分：150分 2017.11.9
班级 座号 姓名
一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，每题只有一个正确选项） 1．设集合
，集合
，则
等于（ ）
A ．（1，2）
B ．（1，2]
C ．[1，2）
D ．[1，2] 2．已知向量和
，若
，则（ ）
A ．64
B ．8
C ．5
D ．
3．函数()ln(2)f x x x
2
=
--的零点所在的大致区间为（ ） A ．()1,2 B ．()2,3 C ．()3,4 D ．()4,5 4．如图，已知是边长为1的正六边形，则
的值为
（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
5．已知角α的终边过点P （﹣8m ，﹣6sin30°），且cos α=﹣，则m 的值为（ ）
A ．﹣
B ．
C ．﹣
D ．
6. 已知f (x )在R 上是奇函数，且满足f (x ＋4)＝f (x )，当x ∈(0,2)时，f (x )＝2x 2
， 则f (7)＝( )
A.－2
B.2
C.－98
D.98
7．将函数sin ()y x x x R +∈的图象向右平移θ（θ＞0）个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则θ的最小值是 A ．
12
π
B ．
6π C ．3π D ．56
π
8．已知函数f (x )＝cos x (x ∈(0,2π))有两个不同的零点x 1，x 2，且方程f (x )＝m 有两个不同的实根x 3，x 4．若把这四个数按从小到大排列构成等差数列，则实数m 的值为 ( )
A ．
12 B ．－12 C ．－2 D ． 2
9．已知2
1()ln (0)2
f x a x x a =+
>，若对任意两个不等的正实数12,x x ，都有1212
()()
2f x f x x x ->-恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．[1,)+∞
B ．(1,)+∞
C ．(0,1)
D ．(0,1]
10. 在数列{}n a 中，已知1221n n a a a ++⋅⋅⋅+=-，则22212n a a a ++⋅⋅⋅+等于（ ）
A.2
(21)n
- B. 413n - C.41n
- D. 2(21)3
n -
11．设函数
的图象在点处切线的斜率为，则函数的
部分图象为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
12.已知函数()g x 满足1
2
1()(1)(0)2
x g x g e
g x x -'=-+
，且存在实数0x 使得不等式021()m g x -≥成立，则m 的取值范围为
A.(],2-∞
B. (],3-∞
C. [)0,+∞
D. [)1,+∞
二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，满分20分.请把答案填在答题纸的相应位置. 13. 设复数z 满足i(z ＋1)＝－3＋2i(i 为虚数单位)，则z= 14、数列{}n a 中，若11,121
n
n n a a a a +=
=+则6a 等于
15.设2
0lg ,0,(),0.a
x x f x x t dt x >⎧⎪
=⎨+≤⎪⎩
⎰若[(1)]9f f =，则a = 16. 一艘海轮从A 处出发，以每小时40海里的速度沿东偏南50°方向直线航行，30分钟后到达B 处，在C 处有一座灯塔，海轮在A 处观察灯塔，其方向是东偏南20°，在B 处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B 、C 两点间的距离是 海里．
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．（本题满分12分）如图,在ABC ∆中，已知点D E 、分别在边AB BC 、上，且3AB AD =，
2BC BE =.（1）用向量AB 、AC 表示DE ；
（2）设6AB =, 4AC =, 60A =︒,求线段DE 的长.
18. （本题满分12分）已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且2
2
2
a b c ab +-=
(1) 求角C ；
(2) 若c ＝7，△ABC 的周长为5＋7，求△ABC 的面积S.
19．（本题满分12分）如图，平面直角坐标系xOy 中，3
ABC π
∠=，6
ADC π
∠=
，AC =BCD ∆
（Ⅰ）求AB 的长；
（Ⅱ）若函数()sin()f x M x ωϕ=+（0M >，0ω>，
2
π
ϕ<
）的图象经过A ，B ，C 三点，其中A ，B
是()f x 图象与x 轴相邻的两个交点，求A ，B ，
C 的坐标及()f x 的解析式．
20、（本题满分12分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知12a =，28a =，1145n n n S S S +-+=（2n ≥），n T 是数列{}2log n a 的前n 项和． （1）证明数列{}n a 是等比数列，并求通项公式； （2）求满足231111009
(1)(1)(1)2016
n T T T ---≥
…的最大正整数n 的值．
21．（本题满分12分）已知函数()2
ln f x ax b x =-在点()()
1,1f 处的切线为1y =．
（1）求实数a ，b 的值； （2）是否存在实数m ，当(]0,
1x ∈时，
函数()()()2
1g x f x x m x =-+-的最小值为0，若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由． （3）若120x x <<，求证：21
221
2ln ln x x x x x -<-．
22．（本题满分10分）在极坐标系中，圆C 的极坐标方程为：ρ2
=4ρ（cos θ+sin θ）-3．若以极点O 为原点，极轴所在直线为x 轴建立平面直角坐标系． （Ⅰ）求圆C 的参数方程；
（Ⅱ）在直角坐标系中，点P（x，y）是圆C上动点，试求x+2y的最大值，并求出此时点P 的直角坐标．
惠南中学2017年秋季期中考试卷参考答案
一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，每题只有一个正确选项） 1-5 BCCAB 6-10 ADCAD 11-12 BD
二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，满分20分.请把答案填在答题纸的相应位置.
13.1+3i 14.
1
11
15. 3 16. 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．
18. 解：(1) 由余弦定理，得cos C ＝12，∴ C＝π
3
. ……………………4分
(2) ∵ a＋b ＋c ＝5＋7且c ＝7，∴ a＋b ＝5. ……………………5分 由余弦定理，得a 2
＋b 2
－2abcos C ＝c 2
，……………………7分 ∴ (a＋b)2
－2ab －2abcos C ＝7，……………………9分 ∴ 52
－3ab ＝7，……………………11分
∴ ab＝6，S △A BC ＝12absin C ＝33
2.……………………12分
19．解：（Ⅰ）因为3
ABC π
∠=
，6
ADC π
∠=
，所以6
BCD π
∠=
，23
CBD π
∠=
，BC BD =．
法一：又因为BCD ∆212sin 23BCD S BD BC π∆=⋅⋅==
所以2BC =．在ABC ∆中，AC 3
ABC π
∠=
，
由余弦定理得：2222cos
3AC AB BC AB BC π
=+-⋅⋅，即221
74222
AB AB =+-⨯⨯， 整理得2230AB AB --=．所以3AB =或1AB =-（舍去），所以AB 的长为3．
法二：在BOC ∆中，sin
3
CO BC π
=⋅=
，1
cos 32BO BC BC π=⋅=．
又因为BCD ∆212BCD S BD CO ∆=
⋅==
所以2BD BC ==，故CO =，1BO =．直角三角形AOC 中，2OA ． 故3AB BO OA =+=．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，(2,0)A ，(1,0)B -，C ．
因为函数()sin()f x M x ωϕ=+的图象经过A ，B ，C 三点，其中A ，B 是()f x 图象与x 轴相邻的两个交点，所以函数()f x 的半个周期为
32T =，对称轴为1
2
x =．所以26T πω==． 因为0ω>，所以3π
ω=，所以1232k ππϕπ⨯+=+（k ∈Z ），所以3
k π
ϕπ=+（k ∈Z ）． 又因为2
π
ϕ<
，所以3π
ϕ=
，所以()sin()33
f x M x ππ
=+．
又因为(0)sin
3
f M π
==
= 所以2M =，从而函数()f x 的解析式为()2sin()33f x x ππ
=+．
20、解：（Ⅰ）∵当2n ≥时，1145n n n S S S +-+= ∴114()n n n n S S S S +--=- ∴14n n a a += ∵12a =，28a = ∴214a a =
∴数列{}n a 是以2为首项，公比为4的等比数列，
∴121242n n n a --=⨯= ………………………………………………5分 （2）由（1）得：21
22log log 2
21n n a n -==-， ………………………………6分
∴21222log log log n n T a a a =+++…
13(21)n =+++-… ………………………………………7分
(121)
2
n n +-=
…………………………………………………8分
2n =． …………………………………………………………9分
所以12111
(1)(1)(1)n
T T T -
--…222111(1)(1)(1)23n =---… ………………10分
22222222213141
1234
n n
----=⋅⋅⋅⋅2222
132435(1)(1)1
2342n n n n n ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-++==⋅⋅⋅⋅……， 令
11009
22016
n n +≥，解得1008n ≤． 故满足条件的最大正整数n 的值为1008．………………………………………12分 21．（1）解：∵()2
ln f x ax b x =-，其定义域为()0,+∞，
∴()2b
f x ax x '=-. ……1分
依题意可得(1)1,
(1)20.
f a f a b ==⎧⎨'=-=⎩ ……2分
解得1,2a b ==. ……4分 （2）解：2()()(1)(1)2ln ,(0,1]g x f x x m x m x x x =-+-=--∈，
∴22
()mx g x m x x
-'=-
=
. ……5分 ①当0m ≤时，()0g x '<，则()g x 在(0,1]上单调递减，
∴min ()(1)0g x g ==. ……6分
② 当
2
1m
≥即02m <≤时，2()
()0m x m g x x
-
'=≤，则()
g x 在(0,1]上单调递减,
∴min ()(1)0g x g ==. ……7分 ③当2
01m <
<即2m >时，则20,x m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '<；2,1x m ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()0g x '>， ∴()g x 在20,m ⎛⎫ ⎪⎝
⎭上单调递减，在2,1m ⎛⎤ ⎥⎝⎦
上单调递增. 故当2x m =
时，()g x 的最小值为2g m ⎛⎫ ⎪⎝⎭
. ∵2(1)0g g m ⎛⎫
<= ⎪⎝⎭
.
∴min ()0g x ≠. ……8分 综上所述，存在(,2]m ∈-∞满足题意 ……9分
（3）证法1：由（2）知，当1m =时，()12ln g x x x =--在(0,1)上单调递减,
∴(0,1)x ∈时，()(1)0g x g >=, 即12ln x x ->. ……10分 ∵ 120x x <<, ∴1
2
01x x <
<. 112212ln x x x x -> 即12
122
2(ln ln )x x x x x ->-. ……11分 ∵ 21ln ln x x >, ∴
21
221
2ln ln x x x x x -<-. ……12分
证法2：
设2222()2(ln ln )(0)x x x x x x x x ϕ=--+<<， 则22
22()1x x x x x x
ϕ-'=-
+=
. 当2(0,)x x ∈，()0x ϕ'<， ∴()x ϕ在2(0,)x 上单调递减 ……10分 ∴2()()0x x ϕϕ<=.
∴2(0,)x x ∈时，2222(ln ln )x x x x x -<-. ……11分 120x x <<Q , ∴221212(ln ln )x x x x x -<-.
21ln ln x x >Q , ∴
21
221
2ln ln x x x x x -<-. ……12分
22．解：（Ⅰ）∵圆C 的极坐标方程为：ρ2
=4ρ（cos θ+sin θ）﹣3． ∴直角坐标方程为：x 2
+y 2
﹣4x ﹣4y+3=0，
即（x ﹣2）2
+（y ﹣2）2=5为圆C 的普通方程．……………………2分 利用同角三角函数的平方关系可得：圆C 的参数方程为（θ为参数）．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，设点P （2+cos θ，2+sin θ），
∴x+2y=2+cos θ+2（2+）=6+5
设sin α=
，则
，……………………5分
∴x+2y=6+5sin （θ+α），
当sin （θ+α）=1时，（x+2y ）max =11，此时，θ+α=，k ∈Z ． (7)
分
∴sin θ=cos α=
，cos θ=sin α=
．…………………… 9分
点P的直角坐标为（3，4）时，x+2y取得最大值11．……………………10分。