合肥一中2009冲刺高考最后一卷理科数学2009.5.29

合肥一中2009冲刺高考最后一卷
数学试题（理）
（考试时间：120分钟满分：150分）
参考公式：
如果事件A 、B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+ 如果事件A ，B 相互独立，那么()()()P A B P A P B ⋅=⋅
如事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概
率()(1)k k n k
n n P k C P P -=-
棱公式：13
V sh =
第Ⅰ卷（选择题 共55分）
一、选择题：（本大题共11小题，每小题5分，共55分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1已知全集
{0,1,3,5,7,9},(){1},{3,5,7}U A C B B ===，那么()()u u C A C B =
A ．{0，3，7}
B ．{0，9}
C ．φ
D ． {7}
2．已知复数Z ，映射:f Z Zi >——，则23i +的原象是
A ．32i -
B ．23i -
C ．32i +
D ．23i +
3．设函数1,1()1,01
x f x x ->⎧=⎨<≤⎩，则
()()()
(,,0)2a
a b a b f b a b a b +--≠>的值为 A ．a
B ．b
C ．a ，b 中较小的数
D ．a ，b 中较大的数
4．已知正方体1111ABCD A B C D -，过顶点1A 在空间作直线l ，使直线l 与直线AC 和1BC 所成的角都等于60°，这样的直线l 可以作
A ．4条
B ．3条
C ．2条
D ．1条
5．下列命题：
（1）已知a b c d R ∈，，，若a c ≠，或b d ≠，则a b c d +≠+． （2）3
2
,x N x x ∀∈+
（3）若1m >，则方程2
20x x m -+=无实数根． （4）存在一个四面体没有外接球． 其中是真命题的个数是 A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
6函数()ln(sin cos )f x x x =-的图象状是
7．若不等式|sin 2||sin 4|x x a -+->有解，则a 的取值范围是
A ．4a <
B ．4a ≥
C ．8a <
D ．8a ≤
8．O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足
O P O A λ=+⋅,[0,)s i n ||
s i n ||
A B
A C
B A B
C A C λ⎛⎫
+
∈+∞
⎪⎝⎭则P 的轨迹一定通过ABC ∆的 A ．外心
B ．内心
C ．重心
D ．垂心
9．在区间[11]-上任取两个数a b ，，则关于x 的方程2
0x ax b -+=的两根都是负数的概率
A ．
1
12
B ．
148
C ．
136
D ．
124
10．设12F F ，是椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的左、右焦点，A 和B 是以O 为圆心，以1||
OF 为半径的圆与该左半椭圆的两个交点，且2F AB ∆是等边三角形，则椭圆的离心率为
A ．
2
B ．
12
C ．
2
D 1-
11．如果存在1，2，3…，n 的一个排列123,,,
n a a a a ，使得(1,2,3,
,)k k a k n +=都是
完全平方数，就称n 为“滨湖数”．试问：在集合{11，13，15，17}中哪些是“滨湖数”
A ．11，13，15
B ．11，15
C ．11，13，17
D ．13，15，17
第Ⅱ卷（非选择题 共95分）
二、填空题：（本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在题中的横线上）
12．如图2009年五一晚会举办的青年歌手大赛上，七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为 ， 13．一个算法的程序框图如右图所示，若该程序输出的结果为4
5
，则判断框中应填入的条件是 ．
14．已知数列{}
n a 中，2
n a n n λ=-+，且{}n a 是递
减数列，求实数λ的取值范围是
15．P 是ABC ∆内部一点，直线AP 、BP 、CP 分别交BC 、CA 、AB 于D 、E 、F ，则
1P D P E P F
A D
B E
C F
++=．类比这一结论，在空间四面体ABCD 中，P 为空间四面体ABCD 内部一点，直线AP 、BP 、CP 、DP 分别交面BCD 、ACD 、ABD 、ABC 于E 、F 、G 、H ，则类似的结论
为： ． 16．参数方程cos (sin cos )
sin (sin cos )
x y θθθθθθ=+⎧⎨
=+⎩（θ为参数）
表示的曲线上的点与直线sin 2ρθ=的距离的最大 值是 ．
三、解答题：（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（12分）
在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，且8
3
ABC AB AC S ∆⋅=
（其中ABC S ∆为ABC ∆的面积）．
（1）求2
sin
cos 22
B C
A ++的值； （2）若2,b ABC =∆的面积3ABC S ∆=，求a 的值．
18．（12分）
一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为6的两个全等的等腰直角三角形．
（1）请画出该几何体的直观图，并求出它的体积；
（2）用多少个这样的几何体可以拼成一个棱长为6的正方体1111ABCD A B C D -？如何组拼？试证明你的结论；
（3）在（2）的情形下，E 、F 分别是正方体
1111ABCD A B C D -棱BC 、CD 上的点，且BE CF =．
（Ⅰ）当E 、F 在何位置时，11B F D E ⊥； （Ⅱ）G 是正方体1111ABCD A B C D -是棱1DD 上
的中点，求此时二面角1C EG C --的正弦值的取值范围．
19．（12分）
（1）已知a 、b 、c 是正常数，a ，b ，c 互不相等，(0,)x y z ∈+∞，，，
求证：2222
()a b c a b c x y z x y z
++++≥++，指出等号成立的条件； （2）利用（1）的结果，求函数29491
()((0,))1313
f x x x x x =++∈-+的最小值，并求出相应的x 的值．
20．（12分）
在合肥一中组织的一次优秀青年教师联谊活动中，有一个有奖竞猜的环节，主持人准备了A 、B 、C 三个相互独立的问题，并且宣布：幸运观众答对问题A 可获奖金1000元，答对问题B 可获奖金2000元，答对问题C 可获奖金3000元，先答哪个题由观众自由选择，但只有第一个问题答对，才能再答第二题、第二题答对才能再答第三题，否则终止答题，若你被选为幸运观众，且假设你答对问题A 、B 、C 的概率都
1
2
． （1）记先回答问题A 的奖金为随机变量X ，求X 的分布列及期望． （2）你觉得应先回答哪个问题才能使你获得更多的奖金?请说明理由．
21．（13分）
已知抛物线2
4y x =上两个动点B 、C 和点(1,2)A ，且直线BC 过点(5,2)P -， （1）求证直线AC 与直线AB 垂直
（2）试判断三角形ABC 的面积有无最大值，如果有求出最大值，如果没有说明理由．
22．（14分）
由原点O 向曲线3
2
:3(0)C y x ax bx a =-+≠引切线，切点111(,)P x y 不同于点O ，再由1P 引曲线C 的切线，切于不同于1P 的点222(,)P x y ，如此继续作下去，……，得到点列
{(,)}n n n P x y ．
（1）求1x ； （2）求n x 与1n x +的关系；
（3）若0a <，试比较n x 与a 的大小．
合肥一中2009冲刺高考最后一卷
数学（理）参考答案及部分解析
一、选择题： 1—5 BADBA
6—11 ACCBDD
二、填空题： 12．84．8 2．16
13．4i ≤？ 14．(,3)-∞ 1PE PF PG PH
AE BF CG DH
+++=
16．
32
17．解：（1）8
3ABC AB AC S ∆⋅=
81
cos sin 32bc A bc A ∴=⨯
3
tan 4
A ∴=
从而21cos 213cos 211sin cos 2cos 222222B C A A A A ++++=+==+
223(1tan )232(1tan )25
A A -=+
（6分）
（2）11
sin 2sin sin 3
22ABC S bc A c A c A ∆==⨯== 333
tan sin 545sin A A c A =∴=∴==
2224
cos 2cos 135
A a b c bc A =∴=+-=
a ∴=
（12分）
18．解：（Ⅰ）该几何体的直观图如图1所示，它是有一条侧棱垂直于底面的四棱锥，其中底面ABCD 是边长为6的正方
形，高为16CC =， 故所求体积是2
166723
V =⨯⨯=（3分）
（Ⅱ）依题意，正方体的体积是原四棱锥体积的3倍，故
用3个这样的四棱锥可以拼成一个棱长为6的正方体，其拼法如图2所示．
证明：∵面ABCD 、面11ABB A 、面11AA D D 为全等的正方形，
于是1111111C ABCD C ABB A C AA D D V V V ---==，故所拼图形成立． （6分）
（Ⅲ）
（1）设6BE CF x ==- 如图建立直角坐标系，则
11(600)(0,6,0)(6,6,0)(0,0,6)(0,6,6)A C B D C ，，
1(6,6,6)(0,,0)(,6,0)B F x E x
11(6,6,6),(,6,6)B F x D E x ∴=---=- 1166(6)360B F D E x x ∙=-+-+=
11B F D E ∴⊥
即无论E ，F 在何位置，只要BE CF =，从而有11B F D E ⊥ （2）由题设(003)G ，，
1(,6,3)(0,6,3)(0,6,3)EG x CG C G =--=-=-
设平面1C EG 的法向量为1111(,,)n x y z = 平面CGE 的法向量为2222(,,)n x y z =
则1111.630n EG xx y z =--+=
1111.630n C G y z =--=从而取112
(,1,2)n x
=-
- 2222222.630,.630n EG xx y z n CG y z =--+==-+=
从而取2(0,1,2)n =，设所求二面角度数为θ
12
1212cos
cos ,||||
n n n n n n θ==
=
⎛
(0,6]cos sin x θθ⎡⎫⎫∈∴∈∴=⎪⎪⎢⎪⎪⎣⎭⎣⎭ （12分）
19．（1）,,0,,,0x y z a b c >>，
∴ 222
()()a b c x y z x y z
++++
222222
2
2
2
xb ya zb yc za xc a b c y x y z x z
=+++++++
2
2
2
a b c ≥+++
222222a b c ab bc ac =+++++ 222()a b c =++
当且仅当,,xb ya zb yc za xc ===即
x y z
a b c
==时，等号成立。

（6分）
（2）22222
237(237)12()722131(2131)2
f x x x x x x x ++=
++≥==-++-++ (130,20,10)x x x ->>+>
当且仅当
2131237x x x -+==
即1
6
x =时，“=”成立，
min (())72f x ∴=
（12分） 20．（1）
17508
EX ==
（6分）
（2）先答C ，方法同上。

（12分）
21．（1）设1122(,),(,)B x y C x y 很明显,AB BC 斜率存在，
则1212122216
22(2)(2)
AB AC y y K K x x y y --=
=--++ （1分）
易得BC 方程为：211
221221
444
y x y y y y y y -
-=--，
即12124()0x y y y y y -++=
又P 在BC 上，12122()202y y y y ∴++=-．
由1°2°可得1,AB AC k k AB =-与AC 垂直
（8分）
（2）设BC
方程：(2)5x m y =++与2
4y x =联立得：2
4[(2)5]y m y =++ 即2
44(25)0y my m --+=
12124,4(25)y y m y y m ∴+==-+
则12|||3BC y y =-=
设A 到BC 距离为d ，则
d =
1
8|1|2
ABC S BC d m ∆∴=
⋅=+
设1m t +=则8||ABC S t ∆== 设43222
()613(3)4g t t t t t t ⎡⎤=++=++⎣⎦，由于2
0t >
()g t ∴无最大值，三角形ABC 的面积无最大值
（13分）
22．解（1）2
36y x ax b '=-+． 过点111(,)P x y 的切线1l 的方程是
3221111111(3)(36)(),(0)y x ax bx x ax b x x x --+=-+-≠．
32232111111111133(36),23(0),2
a
x ax bx x x ax b x ax x x -+-=--+∴=≠∴=
．（4分） （2）过点111(,)n n n P x y ++-的切线1n l +的方程是 322
111111(3)(36)()n n n n n n y x ax bx x ax b x x ++++++--+=-+-．
由n 1l +过曲线C 上点(,)n n n P x y 知
323221111113(3)(36)()n n n n n n n n n n x ax bx x ax bx x ax b x x ++++++-+--+=-+-，
2221111110,3()36n n n n n n n n n n x x x x x x a x x b x ax b ++++++-≠∴++-++=-+，
22
11123()0n n n n n n x x x x a x x ++++---=，
同除以1n n x x +-得1230n n x x a -+-=．（9分） （3）由（2）得11131
,()222
n n n n x x a x a x a ++=-+∴-=-． 故数列{}n x a -是以12a x a -=为首项，公比为1
2
-的等比数列，
111
(),[1()]222
n n n n a x a x a -∴-=-∴=--．
0,a <∴当n 为正偶数时，11
[1()][1()]22
n n n x a a a =--=->；
当n 为时，11[1()][1()]22
n n
n x a a a =--=+<…….. （14分）。