人教A版高中数学选修2-1课件3.2.3立体几何中的向量方法(三)新人教版.pptx
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（进行向量运算） （3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。
（回到图形）
向量的有关知识：
两向量数量积的定义：a·b=|a|·|b|·cos
〈a,b〉
两向量夹角公式：cos〈a,b〉=
a b a b
直线的方向向量：与直线平行的非零向量
平面的法向量：与平面垂直的向量
(课本第107页练习2)如图，60°的二面角的棱上有A、B两点，直
因此 2abcos a2 b2 c2 d 2 .
所以 cos a2 b2 c2 d 2 .
2ab
回到图形问题 库底与水坝所成二面角的余弦值为 a2 b2 c2 d 2 .
2ab
例1：如图3，甲站在水库底面上的点A处，乙站在水坝斜面上的点B处。 从A，B到直线（库底l 与水坝的交线）的距离AC和BD分别为 和a ,CDb的长为,AB的c长为。求库底d 与水坝所成二面角的余弦值。
∴二面角的D 大B小2C1等于C 〈〉方 属n于向“朝一面进外一，m出方,m向”n的朝情面况内C，，
∴ cos〈〉m,=n
m m
n二n 面角3等3于2法向量22夹角x
D
By A
即二面角的D 余B弦C1值 C为
2 2
巩固练习
1.已知正方体A的BC边D长为A21，B1C1 D1 O为AC和BD的交点，M为的DD中1 点
cos cos AB,CD ABCD
B
AB CD
A
C
D
L
2、二面角
②法向量法将二面角转化为二面角的两个面的法向量的夹角。如
图，向量，
n
，m
则二面角的大l 小＝〈〉
m, n
m, n
m
n
L
若二面角的大l 小 为,则
注意法向量的方向：同进 同出，二面角等于法向量 夹角的补角；一进一出， 二面角等于法向量夹角
D1
线的长，并且以同一顶点为端点的各棱间的夹角 A1 都相等，那么可以确定各棱之间夹角的余弦值吗？
分析：如图，设以顶点为端点A 的对角线 长为，d 三条棱长分别为各棱a，间b，夹c，角为。
D A
则d2
2
A1C
( AB
AC
CC1 )2
a2 c2 b2 2(ab bc ac)cos
cos d 2 a 2 b2 c2
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3.2.3立体几何中的向量 方法(三)课件新人教版
(选修2-1)
空间“角度”问题
ZPZ
一、复习引入
用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”。
（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向 量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何 问题转化为向量问题；（化为向量问题） （2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的 位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；
2(ab bc ac)
C1
B1 C B
（3）如果已知一个四棱柱的各棱长都等于，并且a以某一顶点为端
点的各棱间的夹角都等于，那么可以确定这个四棱柱相邻两个夹角
的余弦值吗？
D1
C1
分析：二面角 平面角 向量的夹角
A1
B1
回归图形
解：如图，在平面AB1内过A1作
D
A1E⊥AB于点E， 在平面AC内作CF⊥AB于F。 A E
平面ABC的法向量平移到A1B1C1位置，已知
BC CA CC1，取A1B1、A1C1的中点D1、F1，
求BD 与AF 所成的角的余弦值.
1
1
C 1
F 1
D
A1
1
C
A
B1 B
解：以点C为坐标原点建立空间直角坐标系如C 图 x所yz示，
设则：
CC 1 1
A(1, 0, 0), B(0,1, 0),
A
C
D
L
例1：如图3，甲站在水库底面上的点A处，乙站在水坝斜面上的点B处。 从A，B到直线（库底l 与水坝的交线）的距离AC和BD分别为 和a ,CDb的长为,AB的c长为。求库底d 与水坝所成二面角的余弦值。
解：如图，AC a，BD b，CD c，AB d. 化为向量问题
B
C
根据向量的加法法则 AB AC CD DB
线AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内，且CD的长.
uuur
uuur
uuur
解: CA 6 , AB 4 , BD 8
C
B
A
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
D
且 CA AB, BD AB , CA, BD 120o
n
2.线面角
r
r
设直线l的方向向量为a，平面的法向量为，且u直线与
平面所l 成的角为(),则
0≤ ≤
rr 2
au
u
a
sin r r
au
l
a
u
)
a2
cos 2
cos
1 cos
∴可以确定这个四棱柱相邻两个夹角的余弦值。
空间“夹角”问题
1.异面直线所成角
rr 设直线l, m 的方向向量分别为a, b
若两直线所l, 成m的角为,则
(0 ≤ ≤ )
2
rr ab
cos r r
ab
l
a
m
l
a
b m
例2 Rt ABC中，BCA 900 , 现将 ABC沿着
思考：
（1）本题中如果夹角可以测 出，而AB未知， 其他条件不变，可以计算出AB的长吗？
分析：由
2
AB
( AC
CD
DB)2
B
C D
A
图3
2
2
2
AB CD BD 2( AC CD AC DB CD DB)
a2 c2 b2 2abcos
∴可算出AB的长。
（2）如果已知一个四棱柱的各棱长和一条对角
2a 2
z C1
B1 A1
2
C1 (0,0,
2) 2
D(
3 , 1 ,0) 44
E
作于CEE,于BFC，1 DF BC1
F
则〈〉EC即, F为D 二面角的大小 D BC1 C
C
By
在中Rt，CC1B
C1E CC12 b2 1 EB BC2 a2 2
x
DA
即E分有向线段的C1比B 为
1 2
D
进行向量运算
A
d2
2
AB
( AC
CD
DB)2
图3
2
2
2
AB CD BD 2( AC CD AC DB CD DB)
a2 c2 b2 2 AC DB
a2 c2 b2 2CA DB
于是，得 2CA DB a2 b2 c2 d 2
设向量与CA的夹D角B为，就是库底与水坝所成的二面角。
（1）求证：直线面MBA1OC （2）求二面角的余B弦1 值MA C
D1
C1
A1 M
B1
D O
A
C B
2.线面角
设n为平面的 法向量，直线AB与平面所成
的角为，向 1量与n所A成B 的角为，
2
则
1
2
2
1
2
2
(0
1
2
,0
2
)
而利用可co求s，2 AB n
AB n
2
从而再求出 1
n
B
2 1
A
A(
3 a, 1 a,0) 22
B(0, a,0)
C1 (0,0, b)
B1 (0, a, b) D(
3 a, 1 a,0) 44
故 AB1 (
3 a, 1 a,b) 22
BC1 (0,a,b)
Q AB1 BC1,
则uA可uBur1设 uBuCu=aur11， 12，ab则2 Bb2(02,01,0)b
uuur uuur uuur uuur
∵ CD CA AB BD
∴
uuur2 CD
uuur2 CA
uuur2 AB
uuur2 BD
uuur 2CA
uuur AB
uuur 2AB
uuur BD
uuur 2CA
uuur BD
62 42 82 0 0 2 6 8 1 = 68
uuur
2
∴ CD 2 17 答: CD 的长为 2 17 .
uuuur
uuuur
A
AM (5, 2, 4), A1D (0,8, 4),
uuuur uuuur
xB
AM gA1D＝0 A1D AM .
Dy
C
2、二面角
①方向向量法将二面角转化为二面角的两个面的方
向向量（在二面角的面内且垂直于二面角的棱）的
夹角。如图（2），设二面角的大小l 为
其中AB l, AB ,CD l,CD
30 10
练习： 在长方体中AB，CD A1B1C1D1 AB= 5，AD 8,
AA1 4, M为B1C1上的一点,且B1M 2,点N在线段A1D上，
A1D AN. (1)求证：A1D AM .
z
A1 B1 M
D1 N
C1
A(0, 0, 0), A1(0, 0, 4),D(0,8,0), M (5, 2, 4)
注:利用本题中的向量关系我们还可以倒过来求二 面角的大小.
二面角的平面角
①方向向量法将二面角转化为二面角的两个面的方
向向量（在二面角的面内且垂直于二面角的棱）的
夹角。如图（2），设二面角的大小l 为
其中AB l, AB ,CD l,CD
cos cos AB,CD ABCD
B
AB CD
C BF
则 A1E CF a sin ，AE BF a cos
cos cos EA1 ，FC cos A1E，CF
|
A1E CF A1E || CF
|
( A1 A
AE ) (CB
a2 sin2
BF )
a2
cos
a2
cos
cos(
) a2 cos a2 sin2
cos(
3 , 1 ,0) 44
C1 (0,0,
2) 2
∴ C1D (
3 , 1 , 44
2) 2
DB ( 3 , 3 ,0) z 44
由得C1D m, DB m
C1
B1
uuuur ur 3 1 2
C1D m
4
x y 4
2
z 0,
DB m 3 x 3 y 0 44
A1
解得 x 3y 6 z 所以，可取m (3, 3, 6)
E(0, 1 , 2 ) 33
uuur EC
(0,
1
,
2)
33
由于且BD， 所AC以 CC1 面ABC
BD C1D
在中Rt，C同1B理D 可求 ∴ FD ( 3 , 1 , 2 )
444
F (0, 1 , 2 ) 24
z C1
B1 A1
∴ cos〈〉E=C, FD
1
EC FD 4 2
EC FD
3 6 2
34
即二面角D的余B弦C1 值 C为
C x
2 2
E
F By
DA
解法二：同法一，以C为原点建立空间直角坐标系C-xyz
Q 在C坐C1标B 平面yoz中
∴可取＝n(1,0,0)为面的法C向C1B量
设面的C1一BD个法向量为 m (x, y, z) 同法一，可求B(0,1,0)
D(
(0 )
rr uv
cos r r .
uv
例2正三棱柱中，ABDC是ACA的1B中1C点1 ，当时，求二
面角 AB1 BC1
D BC1 C
的余弦值。
C1
B1
A1
C D
B A
解法一：如图，以C为原点建立空间直角坐标系C-xyz。设底
面三角形的边长为a，侧棱长为b, 则C(0,0,0)
1
11
F1( , 0, a), D1( , ,1)
2
22
所以：
1 AF ( , 0,1),
1
2
z
C 1
F 1
D
A 1
1
C
A
B 1
By
11 BD1 ( , ,1)
22
cos
AF , 1
BD 1
|
AF BD
1
1
AF1 || BD1 |
x
1 1 4
5 3
30 . 10
42
所以与B所D1成角A的F1余弦值为
（回到图形）
向量的有关知识：
两向量数量积的定义：a·b=|a|·|b|·cos
〈a,b〉
两向量夹角公式：cos〈a,b〉=
a b a b
直线的方向向量：与直线平行的非零向量
平面的法向量：与平面垂直的向量
(课本第107页练习2)如图，60°的二面角的棱上有A、B两点，直
因此 2abcos a2 b2 c2 d 2 .
所以 cos a2 b2 c2 d 2 .
2ab
回到图形问题 库底与水坝所成二面角的余弦值为 a2 b2 c2 d 2 .
2ab
例1：如图3，甲站在水库底面上的点A处，乙站在水坝斜面上的点B处。 从A，B到直线（库底l 与水坝的交线）的距离AC和BD分别为 和a ,CDb的长为,AB的c长为。求库底d 与水坝所成二面角的余弦值。
∴二面角的D 大B小2C1等于C 〈〉方 属n于向“朝一面进外一，m出方,m向”n的朝情面况内C，，
∴ cos〈〉m,=n
m m
n二n 面角3等3于2法向量22夹角x
D
By A
即二面角的D 余B弦C1值 C为
2 2
巩固练习
1.已知正方体A的BC边D长为A21，B1C1 D1 O为AC和BD的交点，M为的DD中1 点
cos cos AB,CD ABCD
B
AB CD
A
C
D
L
2、二面角
②法向量法将二面角转化为二面角的两个面的法向量的夹角。如
图，向量，
n
，m
则二面角的大l 小＝〈〉
m, n
m, n
m
n
L
若二面角的大l 小 为,则
注意法向量的方向：同进 同出，二面角等于法向量 夹角的补角；一进一出， 二面角等于法向量夹角
D1
线的长，并且以同一顶点为端点的各棱间的夹角 A1 都相等，那么可以确定各棱之间夹角的余弦值吗？
分析：如图，设以顶点为端点A 的对角线 长为，d 三条棱长分别为各棱a，间b，夹c，角为。
D A
则d2
2
A1C
( AB
AC
CC1 )2
a2 c2 b2 2(ab bc ac)cos
cos d 2 a 2 b2 c2
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3.2.3立体几何中的向量 方法(三)课件新人教版
(选修2-1)
空间“角度”问题
ZPZ
一、复习引入
用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”。
（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向 量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何 问题转化为向量问题；（化为向量问题） （2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的 位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；
2(ab bc ac)
C1
B1 C B
（3）如果已知一个四棱柱的各棱长都等于，并且a以某一顶点为端
点的各棱间的夹角都等于，那么可以确定这个四棱柱相邻两个夹角
的余弦值吗？
D1
C1
分析：二面角 平面角 向量的夹角
A1
B1
回归图形
解：如图，在平面AB1内过A1作
D
A1E⊥AB于点E， 在平面AC内作CF⊥AB于F。 A E
平面ABC的法向量平移到A1B1C1位置，已知
BC CA CC1，取A1B1、A1C1的中点D1、F1，
求BD 与AF 所成的角的余弦值.
1
1
C 1
F 1
D
A1
1
C
A
B1 B
解：以点C为坐标原点建立空间直角坐标系如C 图 x所yz示，
设则：
CC 1 1
A(1, 0, 0), B(0,1, 0),
A
C
D
L
例1：如图3，甲站在水库底面上的点A处，乙站在水坝斜面上的点B处。 从A，B到直线（库底l 与水坝的交线）的距离AC和BD分别为 和a ,CDb的长为,AB的c长为。求库底d 与水坝所成二面角的余弦值。
解：如图，AC a，BD b，CD c，AB d. 化为向量问题
B
C
根据向量的加法法则 AB AC CD DB
线AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内，且CD的长.
uuur
uuur
uuur
解: CA 6 , AB 4 , BD 8
C
B
A
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
D
且 CA AB, BD AB , CA, BD 120o
n
2.线面角
r
r
设直线l的方向向量为a，平面的法向量为，且u直线与
平面所l 成的角为(),则
0≤ ≤
rr 2
au
u
a
sin r r
au
l
a
u
)
a2
cos 2
cos
1 cos
∴可以确定这个四棱柱相邻两个夹角的余弦值。
空间“夹角”问题
1.异面直线所成角
rr 设直线l, m 的方向向量分别为a, b
若两直线所l, 成m的角为,则
(0 ≤ ≤ )
2
rr ab
cos r r
ab
l
a
m
l
a
b m
例2 Rt ABC中，BCA 900 , 现将 ABC沿着
思考：
（1）本题中如果夹角可以测 出，而AB未知， 其他条件不变，可以计算出AB的长吗？
分析：由
2
AB
( AC
CD
DB)2
B
C D
A
图3
2
2
2
AB CD BD 2( AC CD AC DB CD DB)
a2 c2 b2 2abcos
∴可算出AB的长。
（2）如果已知一个四棱柱的各棱长和一条对角
2a 2
z C1
B1 A1
2
C1 (0,0,
2) 2
D(
3 , 1 ,0) 44
E
作于CEE,于BFC，1 DF BC1
F
则〈〉EC即, F为D 二面角的大小 D BC1 C
C
By
在中Rt，CC1B
C1E CC12 b2 1 EB BC2 a2 2
x
DA
即E分有向线段的C1比B 为
1 2
D
进行向量运算
A
d2
2
AB
( AC
CD
DB)2
图3
2
2
2
AB CD BD 2( AC CD AC DB CD DB)
a2 c2 b2 2 AC DB
a2 c2 b2 2CA DB
于是，得 2CA DB a2 b2 c2 d 2
设向量与CA的夹D角B为，就是库底与水坝所成的二面角。
（1）求证：直线面MBA1OC （2）求二面角的余B弦1 值MA C
D1
C1
A1 M
B1
D O
A
C B
2.线面角
设n为平面的 法向量，直线AB与平面所成
的角为，向 1量与n所A成B 的角为，
2
则
1
2
2
1
2
2
(0
1
2
,0
2
)
而利用可co求s，2 AB n
AB n
2
从而再求出 1
n
B
2 1
A
A(
3 a, 1 a,0) 22
B(0, a,0)
C1 (0,0, b)
B1 (0, a, b) D(
3 a, 1 a,0) 44
故 AB1 (
3 a, 1 a,b) 22
BC1 (0,a,b)
Q AB1 BC1,
则uA可uBur1设 uBuCu=aur11， 12，ab则2 Bb2(02,01,0)b
uuur uuur uuur uuur
∵ CD CA AB BD
∴
uuur2 CD
uuur2 CA
uuur2 AB
uuur2 BD
uuur 2CA
uuur AB
uuur 2AB
uuur BD
uuur 2CA
uuur BD
62 42 82 0 0 2 6 8 1 = 68
uuur
2
∴ CD 2 17 答: CD 的长为 2 17 .
uuuur
uuuur
A
AM (5, 2, 4), A1D (0,8, 4),
uuuur uuuur
xB
AM gA1D＝0 A1D AM .
Dy
C
2、二面角
①方向向量法将二面角转化为二面角的两个面的方
向向量（在二面角的面内且垂直于二面角的棱）的
夹角。如图（2），设二面角的大小l 为
其中AB l, AB ,CD l,CD
30 10
练习： 在长方体中AB，CD A1B1C1D1 AB= 5，AD 8,
AA1 4, M为B1C1上的一点,且B1M 2,点N在线段A1D上，
A1D AN. (1)求证：A1D AM .
z
A1 B1 M
D1 N
C1
A(0, 0, 0), A1(0, 0, 4),D(0,8,0), M (5, 2, 4)
注:利用本题中的向量关系我们还可以倒过来求二 面角的大小.
二面角的平面角
①方向向量法将二面角转化为二面角的两个面的方
向向量（在二面角的面内且垂直于二面角的棱）的
夹角。如图（2），设二面角的大小l 为
其中AB l, AB ,CD l,CD
cos cos AB,CD ABCD
B
AB CD
C BF
则 A1E CF a sin ，AE BF a cos
cos cos EA1 ，FC cos A1E，CF
|
A1E CF A1E || CF
|
( A1 A
AE ) (CB
a2 sin2
BF )
a2
cos
a2
cos
cos(
) a2 cos a2 sin2
cos(
3 , 1 ,0) 44
C1 (0,0,
2) 2
∴ C1D (
3 , 1 , 44
2) 2
DB ( 3 , 3 ,0) z 44
由得C1D m, DB m
C1
B1
uuuur ur 3 1 2
C1D m
4
x y 4
2
z 0,
DB m 3 x 3 y 0 44
A1
解得 x 3y 6 z 所以，可取m (3, 3, 6)
E(0, 1 , 2 ) 33
uuur EC
(0,
1
,
2)
33
由于且BD， 所AC以 CC1 面ABC
BD C1D
在中Rt，C同1B理D 可求 ∴ FD ( 3 , 1 , 2 )
444
F (0, 1 , 2 ) 24
z C1
B1 A1
∴ cos〈〉E=C, FD
1
EC FD 4 2
EC FD
3 6 2
34
即二面角D的余B弦C1 值 C为
C x
2 2
E
F By
DA
解法二：同法一，以C为原点建立空间直角坐标系C-xyz
Q 在C坐C1标B 平面yoz中
∴可取＝n(1,0,0)为面的法C向C1B量
设面的C1一BD个法向量为 m (x, y, z) 同法一，可求B(0,1,0)
D(
(0 )
rr uv
cos r r .
uv
例2正三棱柱中，ABDC是ACA的1B中1C点1 ，当时，求二
面角 AB1 BC1
D BC1 C
的余弦值。
C1
B1
A1
C D
B A
解法一：如图，以C为原点建立空间直角坐标系C-xyz。设底
面三角形的边长为a，侧棱长为b, 则C(0,0,0)
1
11
F1( , 0, a), D1( , ,1)
2
22
所以：
1 AF ( , 0,1),
1
2
z
C 1
F 1
D
A 1
1
C
A
B 1
By
11 BD1 ( , ,1)
22
cos
AF , 1
BD 1
|
AF BD
1
1
AF1 || BD1 |
x
1 1 4
5 3
30 . 10
42
所以与B所D1成角A的F1余弦值为