人教版高中数学选修2-3课时跟踪检测(十七)回归分析的基本思想及其初步应用

课时追踪检测（十七）回归剖析的基本思想及其初步应用
一学水平达
1．在两个量x， y 行性回剖析，有以下步：
① 所求出的回直方程作出解；
②采集数据 ( x i， y i)， i＝ 1,2，⋯， n；
③求性回方程；
④求有关系数；
⑤依据所采集的数据制散点．
假如依据可行性要求能作出量x， y 拥有性有关的，在以下操作序中正
确的是()
A．①②⑤③④B．③②④⑤①
C．②④③①⑤D．②⑤④③①
分析：D两个量行回剖析，第一采集数据(x i， y i)， i＝ 1,2，⋯， n；根据所采集的数据制散点．察散点的形状，判断性有关关系的弱，求有关系数，
写出性回方程，最后依照所求出的回直方程作出解；故正确序是②⑤④③①，
故 D．
2．有以下法：
①在残差中，残差点比均匀地落在水平的状地区内，明用的模型比适合；
②R2来刻画回的成效， R2越大，明模型的合成效越好；
③比两个模型的合成效，能够比残差平方和的大小，残差平方和越小的模型，
合成效越好．
此中正确命的个数是()
A． 0 C． 2B． 1 D． 3
分析：D① 用的模型能否适合与残差点的散布有关；于②③，R2的越大，明残差平方和越小，随机差越小，模型的合成效越好．
3．下是依据量x， y的数据( x i， y i)( i＝ 1,2，⋯， 10)获得的散点，由些散
点能够判断量x， y 拥有有关关系的是()
A．①②B．①④
C．②③D．③④
分析：选 D 依据散点图中点的散布状况，可判断③④中的变量x，y 拥有有关的关系．4．(重庆高考 )已知变量 x 与 y 正有关，且由观察数据算得样本均匀数x ＝ 3， y ＝ 3．5，则由该观察数据算得的线性回归方程可能为()
^^
A． y＝ 0． 4x＋ 2．3 B． y＝ 2x－ 2． 4
^^
C． y＝－ 2x＋9． 5 D． y＝－ 0． 3x＋ 4． 4
分析：选 A 依题意知，相应的回归直线的斜率应为正，清除 C，D．且直线必过点 (3,3．5)代入 A，B 得 A 正确．
5．为认识某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机检查了该社区 5 户家庭，得到以下统计数据表：
收入 x(万元 )8．2 8．6 10．0 11．3 11． 9
支出 y(万元 )6．2 7．5 8．08．59． 8
依据上表可得回归直线方程
^ ^^^^ －^－
．据此估计，该社y＝ bx＋ a，此中 b＝ 0． 76， a＝ y－ b x
区一户年收入为 15万元家庭的年支出为()
A． 11． 4 万元B． 11． 8 万元
C． 12． 0 万元D． 12． 2 万元
分析：选B由题意知，x＝ 8.2＋ 8.6＋ 10.0＋ 11.3＋ 11.9＝10，
5
y＝ 6.2＋ 7.5＋ 8.0＋ 8.5＋ 9.8＝8，
5
∴
^＝－．×＝．，a 8 0 76 10 0 4
^
∴当 x＝ 15 时， y＝ 0． 76×15＋ 0． 4＝ 11． 8(万元 )．
6．以下是某地域的降雨量与年均匀气温的一组数据：
年均匀气温 (℃ )12． 5112． 8412． 8413． 6913． 3312． 7413． 05年降雨量 (mm)542507813574701432464依据这组数据能够推测，该地域的降雨量与年均匀气温________有关关系．(填“拥有”或“不拥有”)
分析：画出散点图，察看可知，降雨量与年均匀气温没有有关关系．
答案：不拥有
7．在一本数据(x1， y1)， (x2， y2 )，⋯， (x n， y n)(n≥2， x1， x2，⋯， x n不全相等 )的
散点中，若全部本点 (x i， y i)( i＝ 1,2，⋯， n)都在直 y＝1
x＋ 1 上，本数据的2
真有关系数 ________．
分析：依据真有关系数的定可知，当全部本点都在直上，有关系数 1．答案： 1
8．以下法正确的命是________(填序号 )．
①回直本点的中心( x ， y )；
② 性回方程的直^ ^ ^
(x1，y1)，(x2，y2)，⋯，(x n，y＝ bx＋ a起码其本数据点
y n) 中的一个点；
③在残差中，残差点散布的状地区的度越，其模型合的精度越高；
④在回剖析中，R20． 98 的模型比R20． 80 的模型合的成效好．
分析：由回剖析的观点知①④正确，②③ ．
答案：①④
9．某工厂了新研的一种品行合理订价，将品按预先定的价钱行
，获得以下数据：
价 x(元 )88． 2 8．4 8．6 8．89
量 y(件 )908483807568
(1)
^ ^ ^^^^
求回直方程 y＝ bx＋ a，此中 b＝－20， a＝ y－ b x ；
(2)在此后的售中，量与价仍旧听从(1)中的关系，且品的成本是 4 元 /件，使工厂得最大利，品的价定多少元？(利＝售收入－成本)
解： (1) x ＝1
6(8＋ 8． 2＋ 8． 4＋ 8． 6＋ 8． 8＋ 9)＝ 8． 5， y ＝
1
6(90＋ 84＋ 83＋ 80＋ 75＋
68)＝ 80，
^
进而 a ＝ y ＋ 20 x ＝ 80＋ 20×8． 5＝ 250,
^
故 y＝－ 20x＋ 250．
(2) 由意知，工厂得利
＝－＝－
20x 2＋ 330x－ 1 000＝－ 20x－ 332＋ 361．25，所以当 x＝
33
＝ 8．25 ，
z ( x4)y
44 z max＝ 361． 25(元 )．
即当品的价定8． 25 元，工厂得最大利．
10．对于 x 与 y 有以下数据：
y
30
40
60
50
70
已知 x 与 y 线性有关，由最小二乘法得 ^
b ＝ 6． 5，
(1) 求 y 与 x 的线性回归方程；
(2) 现有第二个线性模型： ^
＝ 7x ＋ 17，且 R 2＝ 0． 82．
y
若与 (1)的线性模型比较，哪一个线性模型拟合成效比较好，请说明原因．
解： (1)依题意设 y 与 x 的线性回归方程为
^ ^ ．
y ＝ 6． 5x ＋ a x
＝ 2＋4＋ 5＋ 6＋ 8＝ 5， 5
y
＝ 30＋ 40＋ 60＋ 50＋70＝ 50， 5
∵^＝ ．
＋^
经过
， ，
y 6 5x a ( x y )
^ ^
∴ 50＝ 6． 5×5＋ a ，∴ a ＝ 17． 5，
∴ y 与 x 的线性回归方程为 ^
y ＝ 6． 5x ＋17． 5．
(2) 由 (1)的线性模型得 ^
y 的关系以下表：
y i － y i 与 y i －
^
－0．5 －3．5
10
－6．5 0．5
y i － y i
i － y － 20 － 10
10
0 20
y
5 ^ 2
2 2
102 ＋ (－ 6．5) 2 ＋ 0．5 2
．
所以
(y i － y i ) ＝ (－ 0． 5) ＋(－3． 5) ＋
＝ 155 i ＝ 1
5
(y i － y )2＝ (－ 20)2＋ (－ 10)2＋ 102＋ 02＋ 202＝ 1 000．
i ＝
1
5 ^ 2
i ＝
1
y i － y i
＝ 1－
155
＝ 0． 845．
所以 R 12＝ 1－
5
1 000
y i － y
2
i ＝ 1
因为 R 21＝ 0． 845， R 2＝ 0． 82 知 R 21>R 2，
所以 (1)的线性模型拟合成效比较好．
层级二
应试能力达标
1．在成立两个变量
y 与
x 的回归模型中，分别选择
4 个不一样模型，求出它们相对应的
R 2 如表，则此中拟合成效最好的模型是
(
)
R 2
0． 67 0． 85 0． 49 0． 23
A ．模型 1
B ．模型 2
C ．模型 3
D ．模型 4
分析： 选 B 线性回归剖析中，有关系数为
r ，|r|越靠近于 1, 有关程度越大；
|r|越小，
有关程度越小，故其拟合成效最好
．应选B ．
2．假如某地的财政收入 x 与支出 y 知足线性回归方程
y ＝ bx ＋ a ＋ e(单位：亿元 )，此中
b ＝ 0．8，a ＝ 2，|e| ≤0．5，假如今年该地域财政收入为
10 亿元，则年支出估计不会超出
()
A ．10亿
B ． 9 亿
C ． 10．5 亿
D ．9．5 亿
分析： 选 C
∵ x ＝ 10 时， y ＝ 0． 8×10＋ 2＋ e ＝ 10＋ e ，
又∵ |e|≤0． 5，∴ y ≤10． 5．
3．某咖啡厅为了认识热饮的销售量
y(个 )与气温 x(℃ )之间的关系，随机统计了某
4 天
的销售量与气温，并制作了比较表：
气温 (℃) 18 13 10 － 1
销售量 (个 )
24
34
38
64
由表中数据，得线性回归方程 ^
)
y ＝－ 2x ＋ a ．当气温为－ 4 ℃时，展望销售量约为 (
A ． 68
B ． 66
C ． 72
D ． 70
分析：选 A
∵ x ＝ 1(18＋ 13＋ 10－ 1)＝ 10， y ＝1
(24＋ 34＋ 38＋ 64)＝ 40，∴ 40＝－
4
4
2×10＋ a ，∴ a ＝ 60，当 x ＝－ 4 时， y ＝－ 2×(－ 4)＋ 60＝ 68．
4．甲、乙、丙、丁 4 位同学各自对
A ，
B 两变量进行回归剖析，分别获得散点图与残
^ 2
以下表：
差平方和 n
(y i － y i )
i ＝
1
甲
乙
丙
丁
散点图
残差平方和 115
106
124 103
哪位同学的试验结果表现拟合 A ， B 两变量关系的模型拟合精度高 (
)
A ．甲
B ．乙
C ．丙
D ．丁
分析：选 D依据线性有关的知识，散点图中各种本点条状散布越均匀，同时保持残
n
(y i－ y )2为确立的数，则残差差平方和越小 (对于已经获得的样本数据，R2的表达式中
i＝ 1
平方和越小， R2越大 )，由回归剖析成立的线性回归模型的拟合成效越好，由试验结果知丁
要好些．应选 D．
5．在研究两个变量的有关关系时，察看散点图发现样本点集中于某一条指数曲线y＝
bx ＋
a^^
e的四周，令 z＝ ln y，求得回归直线方程为 z＝ 0． 25x－ 2． 58，则该模型的回归方程为
________．
^^025x－ 2 58
分析：因为 z＝ 0． 25x－ 2． 58， z＝ ln y，所以 y＝ e ．．．
答案：y＝e0． 25x－ 2． 58
6．检查了某地若干户家庭的年收入x(单位：万元 )和年饮食支出y(单位：万元 )，检查显示年收入 x 与年饮食支出y 拥有线性有关关系，并由检查数据获得y 对 x 的回归直线方程：
^
1万元，年饮食支出均匀
y＝ 0． 254x＋ 0． 321．由回归直线方程可知，家庭年收入每增添
增添 ________万元．
^^
分析：以 x＋ 1 代 x，得 y＝ 0． 254(x＋ 1)＋ 0． 321，与 y＝ 0． 254x＋ 0． 321 相减可得，年饮食支出均匀增添0． 254 万元．
答案： 0． 254
7．下表是某年美国旧轿车价钱的检查资料．
使用年数12345678910均匀价钱
2 651 1 94
3 1 49
4 1 087765538484290226204 (美元 )
察看表中的数据，试问均匀价钱与使用年数间存在什么样的关系？
解：设 x 表示轿车的使用年数，y 表示相应的均匀价钱，作出散点图．
由散点图能够看出y 与 x 拥有指数关系，
令 z＝ ln y，变换得
x12345678910 z7．8837．5727．3096．9916．6406．2886．1825．6705．4215．318作出散点图：
由图可知各点基本上处于向来线，由表中数据可求出线性回归方程：
^
z ＝ 8． 166－ 0． 298x ．
因为旧车的均匀价钱与使用年数拥有指数关系，
其非线性回归方程为
^ 8 166－0 298x y ＝e ． ． ．
8．某企业收益 y(单位：千万元 )与销售总数
x(单位：千万元 )之间有以下对应数据：
x
10 15 17
20 25
28
32
y 1
1．3 1．8 2
2．6 2．7 3．3
(1) 画出散点图； (2) 求回归直线方程；
(3) 估计销售总数为 24 千万元时的收益．解： (1)散点图如图：
(2) 列下表，并利用科学计算器进行有关计算
．
i 1 2 3 4 5 6 7 x i 10 15
17
20 25
28
32
y i
1
1．3 1． 8 2
2．6 2．7 3． 3
x ＝ 21， y ＝ 2． 1
7
7
x i 2＝ 3 447， x i y i ＝ 346． 3
i ＝
1
i ＝
1
^ 346.3－ 7×21×2.1
于是 b ＝ 3 447－ 7×212 ≈0． 104．
^
a ＝ 2． 1－ 0． 104×21＝－ 0． 084，
^
所以回归直线方程为 y ＝ 0． 104x － 0． 084．
(3) 当 x ＝ 24 时， y ＝ 0． 104 ×24－ 0． 084＝ 2． 412(千万元 )．。