2019年河南省、河北省重点高中高考数学考前预测试卷(理科)(6月份)(有答案解析)

2019年河南省、河北省重点高中高考数学考前预测试卷（理科）
（6月份）
题号一二三总分
得分
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1.若全集U={x|x2-2x-8＜0}，集合A={x|1＜3x＜27}，则∁U A=（）
A. （0，3）
B. （-2，0）∪（3，4）
C. （-2，0]∪[3，4）
D. （-2，1]∪[2，4）
2.已知复数z=3+4i，则的虚部是（）
A. B. C. -4 D. 4
3.中国铁路总公司相关负责人表示，到2018年底，全国铁路营业里程达到13.1万公里，其中高铁
营业里程2.9万公里，超过世界高铁总里程的三分之二，如图是2014年到2018年铁路和高铁运营里程（单位：万公里）的折线图，以下结论不正确的是（）
A. 每相邻两年相比较,2014年到2015年铁路运营里程增加最显著
B. 从2014年到2018年这5年,高铁运营里程与年价正相关
C. 2018年高铁运营里程比2014年高铁运营里程增长以上
D. 从2014年到2018年这5年,高铁运营里程数依次成等差数列
4.若，则tan2θ=（）
A. B. C. D.
5.在△ABC中，，，则=（）
A. 1
B.
C.
D. 2
6.过双曲线的左焦点作倾斜角为30°的直线l，若l与y轴的交点坐标为（0，
b），则该双曲线的标准方程可能为（）
A. B. C. D.
7.设曲线y=a（x-1）-ln x在点（1，0）处的切线方程为y=3x-3，则a=（）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
8.若x，y满足约束条件，则x2+y2的最大值是（）
A. B. C. 13 D.
9.已知点A在抛物线y2=2px（p＞0）上，且A为第一象限的点，过A作y轴的垂线，垂足为B，F
为该抛物线的焦点，，则直线BF的斜率为（）
A. B. C. -1 D. -2
10.已知函数，其图象关于直线对称，为了得到函数
的图象，只需将函数f（x）的图象上的所有点（）
A. 先向左平移个单位长度，再把所得各点横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标保持不变
B. 先向右平移个单位长度，再把所得各点横坐标缩短为原来的，纵坐标保持不变
C. 先向右平移个单位长度，再把所得各点横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标保持不变
D. 先向左平移个单位长度，再把所得各点横坐标缩短为原来的，纵坐标保持不变
11.一个几何体的三视图如图所示，正视图、侧视图和俯视图都是由
一个边长为a的正方形及正方形内一段圆弧组成，则这个几何体
的表面积是（）
A.
B.
C.
D.
12.已知a1，a2，a3∈{2，4，6}，记N（a1，a2，a3）为a1，a2，a3中不同数字的个数，如：N（2，
2，2）=1，N（2，4，2）=2，N（2，4，6）=3，则所有的（a1，a2，a3）的排列所得的N（a1，a2，a3）平均值为（）
A. B. 3 C. D. 4
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.已知f（x）为偶函数，当x＜0时，f（x）=e-x-x，则f（ln2）=______．
14.西周初数学家商高在公元前1000年发现勾股定理的一个特例：勾三，股四，弦五．此发现早于
毕达哥拉斯定理五百到六百年．我们把可以构成一个直角三角形三边的一组正整数称为勾股数．现从3，4，5，6，7，8，9，
10，11，12，13这11个数中随机抽取3个数，则这3个数能构成勾股数的概率为______．15.如图，在△ABC中，BC=2，，，点E在边AB上，且∠ACE=∠BCE，将射线
CB绕着C逆时针方向旋转，并在所得射线上取一点D，使得，连接DE，则△CDE 的面积为______．
16.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4，点E为CC1的中点，点F为线段DD1上靠近D1的四
等分点，平面BEF交AA1于点G，则AG的长为______．
三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）
17.已知等差数列{a n}的公差为d（d≠0），等差数列{b n}的公差为2d，设A n，B n分别是数列{a n}，
{b n}的前n项和，且b1=3，A2=3，A5=B3．
（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；
（2）设，数列{c n}的前n项和为S n，证明：．
18.如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，点E是边AD上一点，且AE＝2ED，点H是BE的中
点，将△ABE沿着BE折起，使点A运动到点S处，且满足SC＝SD．
（Ⅰ）证明：SH⊥平面BCDE；
（Ⅱ）求二面角C—SB—E的余弦值．
19.为践行“绿水青山就是金山银山”的发展理念和提高生态环境的保护意识，高二年级准备成立
一个环境保护兴趣小组．该年级理科班有男生400人，女生200人；文科班有男生100人，女生300人．现按男、女用分层抽样从理科生中抽取6人，按男、女分层抽样从文科生中抽取4人，组成环境保护兴趣小组，再从这10人的兴趣小组中抽出4人参加学校的环保知识竞赛．（1）设事件A为“选出的这4个人中要求有两个男生两个女生，而且这两个男生必须文、理科生都有”，求事件A发生的概率；
（2）用X表示抽取的4人中文科女生的人数，求X的分布列和数学期望．
20.已知椭圆的右焦点为F2，过F2作x轴的垂线交椭圆E于点A（点A在x
轴上方），斜率为k（k＜0）的直线交椭圆E于A，B两点，过点A作直线AC交椭圆E于点C，且AB⊥AC，直线AC交y轴于点D．
（1）设椭圆E的离心率为e，当点B为椭圆E的右顶点时，D的坐标为，求e的值．（2）若椭圆E的方程为，且，是否存k在使得成立？如果存在，
求出k的值；如果不存在，请说明理由．
21.设函数f（x）=ax2-（a-2）x-ln x（a∈R）．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）若函数f（x）恰有两个零点，求a的取值范围．
22.在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为，（t为参数）．以坐标原点为极点，x
轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2+2ρcosθ-8=0．
（1）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；
（2）若点P是直线l的一点，过点P作曲线C的切线，切点为Q，求|PQ|的最小值．
23.己知a＞0，函数f（x）=|x-a|．
（1）若a=2，解不等式f（x）+f（x+3）≤5；
（2）若函数g（x）=f（x）-f（x+2a），且存在x0∈R使得成立，求实数a的取值范围．
-------- 答案与解析 --------
1.答案：C
解析：解：全集U={x|x2-2x-8＜0}，集合A={x|1＜3x＜27}，
解得：U={x|-2＜x＜4}，A={x|0＜x＜3}，
所以C U A=（-2，0]∪[3，4）．
故选：C．
分别解出U、A两集合，利用补集的定义求解即可．
本题考查集合的运算，考查运算求解能力．
2.答案：A
解析：【分析】
把z=3+4i代入，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．
【解答】
解：由z=3+4i，得，
∴的虚部为．
故选：A．
3.答案：D
解析：【分析】
本题考查统计的知识，考查数据处理能力和应用意识，属中档题．
先对图表信息进行处理，再结合等差数列的概念及简单的推理逐一检验即可得解．【解答】
解：由2014年到2018年铁路和高铁运营里程（单位：万公里）的折线图可知：选项A，B显然正确；
对于选项C，因为，
即选项C正确；
1.6，1.9，
2.2，2.5，2.9不是等差数列，
即选项D错误.
故选D．
4.答案：C
解析：解：因为，
所以，
解得tanθ=7，
从而．
故选：C．
由已知利用两角差的正切函数公式可求tanθ的值，根据二倍角的正切函数公式即可求解．
本题考查三角恒等变换在三角函数化简求值中的应用，考查运算求解能力，属于基础题．
5.答案：B
解析：解：因为，所以△ABC为直角三角形，
所以，所以．
故选：B．
判断三角形的形状，利用向量的数量积，转化求解即可．
本题考查平面向量的夹角与模，以及平面向量数量积的运算，考查运算求解能力．
6.答案：A
解析：解：直线l的方程为，令x=0，得．因为，所以a2=c2-b2=3b2-b2=2b2，
只有选项A满足条件．
故选：A．
利用直线方程，结合l与y轴的交点坐标为（0，b），推出a、b关系，然后判断选项的正误．
本题考查直线与双曲线的位置关系以及双曲线的标准方程，考查运算求解能力．
7.答案：D
解析：解：因为，且在点（1，0）处的切线的斜率为3，所以a-1=3，即a=4．
故选：D．
求出函数的导数，得到切线的斜率，以及已知条件列出方程求解即可．
本题考查导数的几何意义，考查运算求解能力．
8.答案：C
解析：解：x2+y2表示可行域内的点（x，y）到坐标原点的距离的平方，画出不等式组表示的可行域，如图，
点A（-2，3）到坐标原点（0，0）的距离最大，即．
故选：C．
由已知画出可行域，利用目标函数的几何意义求最大值．
本题考查线性规划问题，考查数形结合的数学思想以及运算求解能力．
9.答案：B
解析：解：设A（x0，y0），因为，
所以，解得，代入抛物线方程得，
所以，，，
从而直线BF的斜率为：．
故选：B．
可以已知条件，设出A的坐标，通过抛物线的方程，求出直线的斜率即可．
本题考查抛物线的性质，考查运算求解能力．
10.答案：D
解析：解：函数，其图象关于直线对称，
由函数f（x）的图象关于直线对称，得，即，解得m=1，
所以，
∴g（x）=2cos2x．
故只需将函数f（x）=2cos（x-）的图象上的所有点“先向左平移个单位长度，可得y=2cos x的图象，
再将横坐标缩短为原来的，纵坐标保持不变”即可得到g（x）=2cos2x的图象，
故选：D．
由题意根据正弦函数的图象的对称性求得m的值，可得f（x）、g（x）的解析式，再利用函数y=A sin
（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．
本题主要考查三角函数的图象与性质，考查运算求解能力，函数y=A sin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．
11.答案：C
解析：解：这个几何体的直观图如图所示，它是由一个正方体中挖掉个球而形成的，所以它的表面积为．
故选：C．
画出三视图对应几何体的直观图，利用三视图的数据求解表面积即可．
本题考查三视图以及几何体的表面积的计算，考查空间想象能力和运算求解能力．
12.答案：A
解析：【分析】
本题考查排列组合知识的应用，考查推理论证能力和应用意识,属中档题．
根据分类计数原理可得平均数的定义即可求出，
【解答】
解：由题意可知，（a1，a2，a3）所有的排列数为33=27，
当N（a1，a2，a3）=1时，有3种情形，即（2，2，2），（4，4，4），（6，6，6）；
当N（a1，a2，a3）=2时，有种；
当N（a1，a2，a3）=3时，有种，
那么所有27个（a1，a2，a3）的排列所得的N（a1，a2，a3）的平均值为．
故选：A．
13.答案：2+ln2
解析：解：根据题意，f（x）为偶函数，则f（ln2）=f（-ln2），
又由当x＜0时，f（x）=e-x-x，
则f（ln2）=f（-ln2）=e ln2e-（-ln2）=2+ln2，
故答案为：2+ln2．
根据题意，由偶函数的性质可得f（ln2）=f（-ln2），结合函数的解析式分析可得答案．
本题考查函数的奇偶性，涉及函数值的计算，属于基础题．
14.答案：
解析：解：从11个数中随机抽取3个数有种不同的方法，
其中能构成勾股数的有共（3，4，5），（6，8，10），（5，12，13）三种，
所以，所求概率为．
故答案为：．
从11个数中随机抽取3个数有种不同的方法，其中能构成勾股数的有共3种，代入古典概型概
率公式即可．
本题考查古典概型与数学文化，考查数据处理能力和应用意识，属于基础题．
15.答案：
解析：【分析】
本题考查正弦定理、余弦定理在解三角形中的应用，考查运算求解能力和转化思想，属于中档题．由已知利用余弦定理可求AC的值，由正弦定理可求的值，利用正弦定理求得CE的值，可求∠ECD为直角，根据三角形的面积公式即可求解．
【解答】
解：由AB2=AC2+BC2-2AC•BC cos∠ACB，
得AC2+2AC-2=0，解得．
因为，
所以，，
所以
，
又因为，
所以．
因为，
所以．
故答案为.
16.答案：1
解析：解：作DD1的中点H，连接AH，EH，则AH∥BE．
又GF∥BE，
所以GF∥AH，
由于AA1∥DD1，
所以四边形AHFG为平行四边形，
所以AG=HF=2-1=1．
故答案为：1．
作DD1的中点H，连接AH，EH，说明四边形AHFG为平行四边形，推出结果．
本题考查点线面的位置关系及线段的计算，考查空间想象能力和运算求解能力．
17.答案：解：（1）因为数列{a n}，{b n}是等差数列，且A2=3，A5=B3，
所以2a1+d=3，5a1+10d=9+6d．
解得a1=d=1，
所以a n=a1+（n-1）•d=n，即a n=n，
b n=b1+（n-1）•2d=2n+1，即b n=2n+1．
综上a n=n，b n=2n+1．
（2）证明：由（1）得，
所以，
即．
解析：（1）运用等差数列的通项公式和求和公式，解方程可得首项和公差，即可得到所求通项公式；（2）求得，运用数列的求和公式和裂项相消求和，计算可
得所求和．
本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的分组求和和裂项相消求和，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
18.答案：（1）证明：取CD的中点M，连接HM，SM，
由已知得AE=AB=2，∴SE=SB=2，
又点H是BE的中点，∴SH⊥BE．
∵SC=SD，点M是线段CD的中点，∴SM⊥CD．
又∵HM⊥BC，∴HM⊥CD，从而CD⊥平面SHM，得CD⊥SH，
又CD，BE不平行，∴SH⊥平面BCDE；
（2）解：（方法一）取BS的中点N，BC上的点P，使BP=2PC，
连接HN，PN，PH，
可知HN⊥BS，HP⊥BE．
由（1）得SH⊥HP，∴HP⊥平面BSE，则HP⊥SB，
又HN⊥BS，∴BS⊥平面PHN，
∴二面角C-SB-E的平面角为∠PNH．
又计算得NH=1，，，
∴．
（方法二）由（1）知，过H点作CD的平行线GH交BC于点
G，
以点H为坐标原点，HG，HM，HS所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系H-xyz，
则点B（1，-1，0），C（1，2，0），E（-1，1，0），，
∴，，．
设平面SBE的法向量为，
由，令y1=1，得．
设平面SBC的法向量为，
由，令z2=1，得．
∴cos＜＞==．
∴二面角C-SB-E的余弦值为．
解析：（1）取CD的中点M，连接HM，SM，分别证明SH⊥BE，CD⊥SH，可得SH⊥平面BCDE；（2）（方法一）取BS的中点N，BC上的点P，使BP=2PC，连接HN，PN，PH，结合（1）证明二面角C-SB-E的平面角为∠PNH．求解三角形即可得到二面角C-SB-E的余弦值．
（方法二）由（1）知，过H点作CD的平行线GH交BC于点G，以点H为坐标原点，HG，HM，HS所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系H-xyz，然后分别求出平面SBE 与平面SBC的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角C-SB-E的余弦值．
本题考查直线与平面垂直的判定，考查二面角的求法，训练了利用空间向量求解空间角，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．
19.答案：解：（1）因为学生总数为1000人，该年级分文、理科按男女用分层抽样抽取10人，则抽取了理科男生4人，女生2人，文科男生1人，女生3人．
所以．
（2）X的可能取值为0，1，2，3，，，，，X的分布列为
X0123
P
．
解析：（1）该年级分文、理科按男女用分层抽样抽取10人，则抽取了理科男生4人，女生2人，
文科男生1人，女生3人．所以．
（2）X可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望．
本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
20.答案：解：（1）因为，，AB⊥AD，所以，
整理得a2-3ac+2c2=0，
解得a=2c或a=c（舍去），
所以．
（2）由（1）知，，即，
联立，消去y，得．
设点B的横坐标为x B，由韦达定理得，即，
所以．
因为，所以，
同理，．
若有，则，
即，而△＜0，所以此方程无解，故不存在符合条件的．
解析：（1）求出，，通过AB⊥AD，转化求解椭圆的离心率即可．
（2）设出直线，联立，消去y，由韦达定理得求出B的坐标，利用弦
长公式，转化求解即可．
本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力．
21.答案：解：（1）因为f（x）=ax2-（a-2）x-ln x，其定义域为（0，+∞），
所以．
①当a≥0时，令f′（x）＜0，得；令f′（x）＞0，得，
此时f（x）在上单调递减，在上单调递增．
②当-2＜a＜0时，令f′（x）＜0，得或；令f′（x）＞0，得，
此时f（x）在，上单调递减，在上单调递增．
③当a=-2时，f′（x）≤0，此时f（x）在（0，+∞）上单调递减．
④当a＜-2时，令f′（x）＜0，得或；令f′（x）＞0，得，
此时f（x）在，上单调递减，在上单调递增．
（2）由（1）可知：①当a≥0时，．
易证ln x≤x-1，所以f（x）=ax2-（a-2）x-ln x≥ax2-（a-1）x+1．
因为，，f（1）=2＞0．
所以f（x）恰有两个不同的零点，只需，解得a＞4+4ln2．
②当-2＜a＜0时，，不符合题意．
③当a=-2时，f（x）在（0，+∞）上单调递减，不符合题意．
④当a＜-2时，由于f（x）在，上单调递减，在上单调递增，
且，又，由于，，
所以，函数f（x）最多只有1个零点，与题意不符．
综上可知，a＞4+4ln2，即a的取值范围为a∈（4+4ln2，+∞）．
解析：（1）求函数的导数，讨论a求函数的单调性．
（2）由（1）可知：①当a≥0时，．函数f（x）恰有两个零点转换成f （x）=ax2-（a-2）x-ln x≥ax2-（a-1）x+1．只需，分类讨论，解得a＞4+4ln2．
本题主要考查导数法研究函数的单调性，基本思路：当函数是增函数时，导数大于等于零恒成立，当函数是减函数时，导数小于等于零恒成立，然后转化为求相应函数的最值问题．考查函数的零点问题，属于难题．
22.答案：解：（1）将l的参数方程（t为参数）消
去参数t，得3x-4y-17=0．
把代入ρ2+2ρcosθ-8=0，
可得曲线C的直角坐标方程为（x+1）2+y2=9；
（2）由（1）知曲线C是以（-1，0）为圆心，3为半径的圆，设
圆心为A，
则圆心A到直线l的距离，
∴l与圆A相离，且|PA|≥4．
连接AQ，AP，在Rt△APQ中，|PQ|2=|PA|2-|AQ|2≥42-32=7，
∴，即|PQ|的最小值为．
解析：本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，考查直线与圆位置关系的应用，是中档题．
（1）将l的参数方程中的参数t消去，可得直线l的普通方程．把代入ρ2+2ρcosθ-8=0，
可得曲线C的直角坐标方程；
（2）由（1）知曲线C是以（-1，0）为圆心，3为半径的圆，设圆心为A，利用圆心到直线的距离大于半径可得l与圆A相离，再由勾股定理及点到直线的距离求解|PQ|的最小值．
23.答案：解：（1）当a=2时，
，
当x＜-1时，由1-2x≤5，解得-2≤x＜-1；
当-1≤x＜2时，由3≤5，解得-1≤x＜2；
当x≥2时，由2x-1≤5，解得2≤x≤3；
综上可知，原不等式的解集为{x|-2≤x≤3}；
（2）g（x）=f（x）-f（x+2a）=|x-a|-|x+a|，
存在x0∈R使得成立，
等价于；
又因为|x-a|-|x+a|≤|x-a-x-a|=2a，
所以2a≥a2-2a，即a2-4a≤0，
解得0≤a≤4，结合a＞0，
所以实数a的取值范围为（0，4]．
解析：本题考查了含有绝对值的不等式解法与应用问题
（1）利用分段函数表示f（x）+f（x+3）的解析式，再解不等式，把最终答案写成解集形式；
（2）由题意求出g（x）的最大值g（x）max，再解关于a的不等式．。