【2022届走向高考】高三数学一轮(人教A版)基础巩固：第10章 第4节 事件与概率

第十章 第四节
一、选择题
1．(2022·济南调研)现釆用随机模拟的方法估量某运动员射击4次，至少击中3次的概率：先由计算器给出 0到9之间取整数值的随机数，指定0、1表示没有击中目标，2、3、4、5、6、7、8、9表示击中目标，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了 20组随机数：
7527 0293 7140 9857 0347 4373 8636 6947 1417 4698 0371 6233 2616 8045 6011 3661 9597 7424 7610 4281
依据以上数据估量该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为( ) A ． 0.852 B ． 0.8192 C ．0.8 D ． 0.75
[答案] D
[解析] 随机模拟产生的20组随机数，表示至少击中3次的组数为15，所以概率为P ＝15
20＝0.75.
2．(2022·浙江台州中学统练)甲、乙两人玩猜数字玩耍，先由甲心中想一个数字，记为a ，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b ，其中a 、b ∈{0,1,2,3,4,5}，若|a －b |≤1，则称甲乙“心相近”．现任意找两人玩这个玩耍，则他们“心相近”的概率为( )
A ．29
B ．718
C ．49
D ．19
[答案] C
[解析] 本题考查概率的基本学问．甲心中想一个数字，记为a ，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b ，其中a ，b ∈{0,1,2,3,4,5}，共有36种状况，而|a －b |≤1共有16种，所以，所求概率为P ＝1636＝4
9，
故选C ．
3．(2022·云南昆明检测)从分别写有1,2,3,4,5的五张卡片中任取两张，假设每张卡片被取到的概率相等，且每张卡片上只有一个数字，则取到的两张卡片上的数字之和为偶数的概率为( )
A ．45
B ．1625
C ．1325
D ．25
[答案] D
[解析] 方法一：从分别写有1,2,3,4,5的五张卡片中任取两张，总的状况为：
(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(3,5)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,5)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)共20种状况．
两张卡片上的数字之和为偶数的有：(1,3)，(1,5)，(2,4)，(3,1)，(3,5)，(4,2)，(5,1)，(5,3)共8种状况．∴从分别写有1,2,3,4,5的五张卡片中任取两张，这两张卡片上的数字之和为偶数的概率P ＝820＝2
5
.
方法二：由题意知本题是一个古典概率模型，试验发生包含的大事是从5张中随机地抽2张，共C 25＝10种结果．满足条件的大事分两种状况，一种为从1,3,5中任取两张，有C 23＝3种结果，另一种为从2,4中任取两张，有C 22＝1种，所以取到的两张卡片上的数字之和为偶数共有3＋1＝4种结果，∴P ＝410＝25
. 4．从一个三棱柱ABC －A 1B 1C 1的六个顶点中任取四点，这四点不共面的概率是( ) A ．1
5
B ．2
5
C ．35
D ．45
[答案] D
[解析] 从6个顶点中选4个，共有15种选法，其中共面的状况有三个侧面， ∴概率P ＝15－315＝4
5
.
5．(文)甲从正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，乙也从该正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，则所得的两条直线相互垂直的概率是( )
A ．318
B ．4
18
C ．518
D ．618
[答案] C
[解析] 甲从正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，乙也从该正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，所得的直线共有6×6＝36(对)，而相互垂直的有10对，故依据古典概型概率公式得P ＝1036＝5
18
.
(理)(2021·冀州中学检测)甲和乙等五名志愿者被随机地分到A 、B 、C 、D 四个不同的岗位服务，每个岗位
至少有一名志愿者，则甲和乙不在同一岗位服务的概率为( )
A ．110
B ．9
10
C ．14
D ．48625
[答案] B
[解析] 当甲乙二人在同一岗位时，接受捆绑法将甲乙看作一人，此时的支配方案有A 44
种，五人任意支配到四个岗位有
C 25A 4
4种，所以甲乙在一起的概率为A 44C 25A 44＝110，甲乙不在一起的概率为
1－110＝910
. 6．(文)(2021·黄冈一模)设集合A ＝B ＝{1,2,3,4,5,6}，分别从集合A 和B 中随机取数x 和y ，确定平面上的一个点P (x ，y )，我们记“点P (x ，y )满足条件x 2
＋y 2
≤16”为大事C ，则C 的概率为( )
A ．29
B ．112
C ．16
D ．12
[答案] A
[解析] 分别从集合A 和B 中随机取数x 和y ，得到(x ，y )的可能结果有36种状况，满足x 2＋y 2≤16的(x ，y )有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)这8种状况，故所求概率为P (C )＝836＝2
9
，故选A ．
(理)(2021·安庆一模)将一枚骰子投掷两次，第一次毁灭的点数记为a ，其次次毁灭的点数记为b ，设两条直线l 1：ax ＋by ＝2，l 2：x ＋2y ＝2平行的概率为P 1，相交的概率为P 2，则点P (36P 1,36P 2)与圆C ：x 2＋y 2＝2021的位置关系是( )
A ．点P 在圆C 上
B ．点P 在圆
C 外 C ．点P 在圆C 内
D ．不能确定 [答案] C
[解析] 易知当且仅当a b ≠12时两条直线相交，而a b ＝1
2的状况有三种：a ＝1，b ＝2，此时两直线重合；a ＝2，
b ＝4，此时两直线平行；a ＝3，b ＝6，此时两直线平行，而投掷两次的全部状况有36种，所以两条直线平行的概率P 1＝236＝118.两条直线相交的概率P 2＝1－336＝11
12
，
∴点P (2,33)，点P 与圆心(0,0)的距离为d ＝(2－0)2＋(33－0)2＝1093<2021，故点P 在圆C 内． 二、填空题
7．(文)抛掷甲、乙两枚质地均匀且四周上分别标有1,2,3,4的正四周体，其底面落于桌面，记所得的数字分别为x 、y ，则x
y
为整数的概率是________．
[答案] 1
2
[解析] 将抛掷甲、乙两枚质地均匀的正四周体所得的数字x 、y 记作有序实数对(x ，y )，共包含16个基本大事，其中x
y 为整数的有：(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)，(2,1)，(3,1)，(4,1)，(4,2)，共8个基本大事，故所求概
率为
P ＝816＝12
.
(理)(2022·广东)从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是6的概率为________． [答案] 16
[解析] 由题意从10个数中取7个数有C 710种方法，而中位数为6，则从0,1,2,3,4,5中取3个有C 36种，后
面三个只能是7,8,9，
∴概率＝C 36C 710＝C 36
C 310＝6×5×43×2×110×9×83×2×1
＝16
.
8．(文)(2022·江苏)从1、2、3、6这4个数中一次随机地取2个数，则所取2个数的乘积为6的概率是________． [答案] 13
[解析] 本题考查古典概型．
从1,2,3,6这4个数中任取2个数共有6种取法，其中乘积为6的有1,6和2,3两种取法，因此所求概率为P ＝26＝13
.
(理)(2021·洛阳统考)将一颗骰子投掷两次分别得到点数a ，b ，则直线ax －by ＝0与圆(x －2)2＋y 2＝2有公共点的概率为________．
[答案]
7
12
[解析] 圆心(2,0)到直线ax －by ＝0的距离d ＝
|2a |a 2＋b 2
，当d ≤2时，直线与圆相交，解
|2a |a 2＋b 2
≤2得
b ≥a ，满足题意的b ≥a 共有21种状况，又易知将一颗骰子投掷两次分别得到点数a 、b 的基本状况共有36种，因此直线ax －by ＝0与圆(x －2)2＋y 2＝2相交的概率为
P ＝2136＝712
.
9．(2021·宁波模拟)已知盒子中有散落的黑白棋子若干粒，已知从中取出2粒都是黑子的概率是1
7，从中取
出2粒都是白子的概率是12
35
，现从中任意取出2粒，恰好是同一色的概率是________．。