一元函数微分学典型例题

一元函数微分学典型例题

1. 有关左右极限题

求极限⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎣⎡+++→x x sin e e lim x x x 41

012 ● 根据左右极限求极限，

● 极限x

x e lim 1

→，

x x sin lim x 0

→，x tan lim x 2

π→，x cot lim x 0→，x cot arc lim x 0→，x arctan lim x 1

0→都不存在， ●

A )x (f lim A )x (f lim )x (f lim x x x =⇔==∞

→-∞

→+∞

→

● 【 1 】

2. 利用两个重要极限公式求1∞

型极限

x

sin x )

x (lim 20

31+→

● 0→)x (ϕ，e ))

x (lim()

x (=+ϕϕ1

1

●

A )x (f lim =0→)x (ϕ，A )x (f )

x (e ]))

x (lim[(=+ϕϕ11

● 【

6e 】

3. 等价无穷小量及利用等价代换求极限 当0x +

→

(A)

1-

(B) ln

(C) 1.

(D) 1-.

● 等价无穷小定义：如果1=α

β

lim

，则称β与α失等价无穷小，记为α∽β， ● 0→x 时，（1）n

x x a

x a x

x x x x x x x

x e x x x x x n

x x ≈

-+≈-≈-+≈-≈---+≈-≈+≈≈≈≈111112

1

16111112

3

ln )(cos sin )ln(arctan tan sin αα

● 当0→)x (ϕ时，)x (sin ϕ∽)x (ϕ，11-+n

)x (ϕ∽

n

)

x (ϕ∽∽

● 【 B 】

4. 利用单调有界准则求极限

设数列{}n x 满足n n x sin x ,x =<<+110π。证明：极限n n x lim ∞→存在，计算1

1n

x

n n n x x lim ⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛+∞→

● 利用单调有界准则球数列或者函数极限的步骤：1。证明数列或函数单调；2。证明

数列或函数是有界；3。等式取极限求出极限。

● 定理单调有界数列必有极限还可以叙述为单调递减有下界数列必有极限，或单调递

增有上界数列必有极限。 ●

61

1

2

-→=⎪⎭

⎫ ⎝⎛e x x sin lim x

x ● 【 0；6

1-

e

】

5. 判断函数连续与否以及利用函数的连续性解题 设函数f (x )在x =0处连续，下列命题错误的是：

(A) 若0()lim

x f x x →存在，则f (0)=0. (B) 若0()()

lim x f x f x x

→+-存在，则f (0)=0.

(C) 若0()lim x f x x →存在，则(0)f '存在. (D) 若0()()

lim x f x f x x

→-- 存在，则(0)f '存

在 【 】 ● 若()()00

x f x f lim

x x =→，则称函数()x f 在点0x 处连续。

● 左连续右连续则连续。

● 分段函数的分段点不一定是函数的间断点。

● 判断函数在某点是否连续的步骤：求函数在该点的极限；求函数在该点的函数值；判断

二者是否相等，相等则连续，否则间断。 6．导数的定义式相关题目 设函数

()x f 在

x=0某领域内有一阶连续导数，且

()()0

000≠'≠f ,f 。若

()()()02f h bf h af -+在0→h 时是比h 高阶的无穷小，试确定a, b.

● 函数在某一点导数的定义：

()()()x

x f x x f lim

x y

lim

x f x x ∆∆∆∆∆∆000

00-+=='→→ ()()()()()0

0000

00

x x x f x f lim h x f h x f lim

x f x

x h --=-+='→→

● 求函数在某一点导数的步骤：求出函数至的增量y ∆；求极限x

y lim

x ∆∆∆0→。

●

()x ϕ在x=0连续，若0→x 时, ()x ϕ∽x, 则()()[]()[]x

f x f lim

f x 000

ϕϕ-='→.

7. 利用左右导数判断函数在一点的可导性 设函数

()n n

n x

lim x f 31+=∞

→，则f(x)在实数集合内：A 处处可导；B 恰有一个不可导点；

C 恰有两个不可导点；

D 至少有三的步可导的点。

● 左导数，右导数和导数之间的关系，判断函数在某一点步可导的方法。 ● 函数x y =在x=0点不可导，x x y =在0点可导；

●

x x y p =当p>=0时在0点可导，p<0时不可导。

8．隐含数与参数方程所确定的函数求导数 已知函数y=y(x)由方程0162=-++x xy e

y

确定, 则()=''0y

● 一元函数隐函数的求导方法：方程两边同时对x 求导，解关于y '的方程；

方法二：令F(x,y)=方程的左边减右边，则y

F x

F dx

dy

∂∂∂∂-=。

● 由参数方程确定的函数求导方法：

dt

dx

dt dy dx dy =，二阶导数

dt

dx

dx dy dt d dx dy dx d dx y d ÷⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=2

2

9．一元函数的极值相关题

设函数f(x)在全体实数内连续，其到函数的图形如图，则有

A 一个极小值点和两个极大值点；

B 两个极小值点和一个极大值点；

C 两个极小值点和两个极大值点；

D 三个极小值点和一个极大值点。

● 函数极值是一个局部性的概念，它只是局部的最值，函数的极大值甚至比极小值小；而

最值是一个区间上的整体性质，有时函数极值正是函数的最值。 ● 利用函数极值的定义和机制的第一充分条件与第二充分条件来判断； ● 导数为零的点即驻点或者导数不存在的点都可能是极值点。 10．函数不等式的证明