人教版高中数学选修4-5练习：第一讲1.1-1.1.1不等式的基本性质 Word版含解析

第一讲 不等式和绝对值不等式
1.1 不等式
1.1.1 不等式的基本性质
A 级 基础巩固
一、选择题
1．若m ＝2x 2＋2x ＋1，n ＝(x ＋1)2，则m ，n 的大小关系为( )
A ．m ＞n
B ．m ≥n
C ．m ＜n
D ．m ≤n
解析：因为m －n ＝ (2x 2＋2x ＋1)－(x ＋1)2＝2x 2＋2x ＋1－x 2－2x －1＝x 2≥0.
所以m ≥n .
答案：B
2．若a ＜b ＜0，则下列不等式关系中不能成立的是( ) A.1
a ＞1b
B.1a －b ＞1a C ．|a |＞|b | D ．a 2＞b 2
解析：取a ＝－2，b ＝－1，则1a －b
＝－1＜－12＝1a . 所以B 不成立．
答案：B
3．设a ， b ∈R ，若a ＋|b |＜0，则下列不等式中正确的是( )
A ．a －b ＞0
B ．a 3＋b 3＞0
C ．a 2－b 2＜0
D ．a ＋b ＜0
解析：当b ≥0时，a ＋b ＜0，当b ＜0时，a －b ＜0，所以a ＋b ＜0， 故选D.
答案：D
4．(2015·浙江卷)设a ，b 是实数，则“a ＋b ＞0”是“ab ＞0”的
( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
解析：当a ＝－2，b ＝3时，a ＋b ＞0，但ab ＜0；
当a ＝－1，b ＝－2时，ab ＞0，但a ＋b ＜0.
所以“a ＋b ＞0”是“ab ＞0”的既不充分又不必要条件．
答案：D
5．已知实数x ，y 满足a x ＜a y (0＜a ＜1)，则下列关系式恒成立的是( )
A.1x 2＋1＞1y 2＋1
B ．ln(x 2＋1)＞ln(y 2＋1)
C ．sin x ＞sin y
D ．x 3＞y 3
解析：由a x ＜a y (0＜a ＜1)，可得x ＞y .
又因为函数f (x )＝x 3在R 上递增，
所以f (x )＞f (y )，即x 3＞y 3.
答案：D
二、填空题
6．已知0＜a ＜1，则a ，1a
，a 2的大小关系是________． 解析：因为a －1a ＝（a ＋1）（a －1）a
＜0， 所以a ＜1a
. 又因为a －a 2＝a (1－a )＞0，
所以a ＞a 2，所以a 2
＜a ＜1a . 答案：a 2＜a ＜1a
7．若8＜x ＜10，2＜y ＜4，则x y
的取值范围是________． 解析：因为2＜y ＜4，
所以14＜1y ＜12
. 又8＜x ＜10，所以2＜x y
＜5. 答案：(2，5)
8．设a ＞0，b ＞0，则b 2a ＋a 2b
与a ＋b 的大小关系是________． 解析：b 2a ＋a 2b －(a ＋b )＝（a ＋b ）（a 2－ab ＋b 2）ab －(a ＋b )＝（a ＋b ）（a －b ）2ab
. 因为a ＞0，b ＞0，所以a ＋b ＞0，ab ＞0，(a －b )2≥0.
所以b 2a ＋a 2b
≥a ＋b . 答案：b 2a ＋a 2b
≥a ＋b 三、解答题
9．判断下列各命题的真假，并阐明理由．
(1)若a ＜b ，c ＜0，则c a ＜c b
； (2)若ac －3＞bc －3，则a ＞b ；
(3)若a ＞b ，且k ∈N *，则a k ＞b k ；
(4)若a ＞b ，b ＞c ，则a －b ＞b －c .
解：(1)因为a ＜b ，没有指出ab ＞0，故1a ＞1b
不一定成立， 因此不一定推出c a ＜c b
. 所以是假命题．
(2)当c ＜0时，c －3＜0，有a ＜b .所以是假命题．
(3)当a ＝1，b ＝－2，k ＝2时，显然命题不成立．所以是假命题．
(4)取a ＝2，b ＝0，c ＝－3满足a ＞b ，b ＞c 的条件，但是a －b ＝2＜b －c ＝3.所以是假命题．
10．已知a ＞b ＞0，比较a b 与a ＋1b ＋1
的大小． 解：a b －a ＋1b ＋1＝a （b ＋1）－b （a ＋1）b （b ＋1）＝a －b b （b ＋1）
. 因为a ＞b ＞0，
所以a －b ＞0，b (b ＋1)＞0.
所以a －b
b （b ＋1）
＞0. 所以a b ＞a ＋1b ＋1
. B 级 能力提升
1．若0＜x ＜y ＜1，则( )
A ．3y ＜3x
B ．log x 3＜log y 3
C ．log 4x ＜log 4y D.⎝ ⎛⎭⎪⎫14x ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫14y 解析：因为函数y ＝log 4x 是增函数，0＜x ＜y ＜1，
所以log 4x ＜log 4y .
答案：C
2．实数a ，b ，c ，d 满足下列三个条件：①d ＞c ；②a ＋b ＝c ＋d ；③a ＋d ＜b ＋c .试将a ，b ，c ，d 按照从小到大的顺序排列为__________．
解析：⎩⎨⎧a ＋d ＜b ＋c ⇒d －b ＜c －a ，a ＋b ＝c ＋d ⇒c －a ＝b －d ，
⇒⎩⎨⎧d －b ＜b －d ，a －c ＜c －a ⇒⎩⎨⎧d ＜b ，a ＜c .
又由d ＞c ，得a ＜c ＜d ＜b .
答案：a ＜c ＜d ＜b
3．已知c a ＞d b
，bc ＞ad ，求证：ab ＞0.
证明：⎩⎪⎨⎪⎧c a ＞d b ，bc ＞ad ⇒⎩⎪⎨⎪⎧c a －d b ＞0， ①bc －ad ＞0. ② 又bc ＞ad ，则bc －ad ＞0. 由②得bc －ad ＞0. 故ab ＞0.。