梯度、散度和旋度

梯度、散度和旋度
(2011-09-12 20:36:08)
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分类：电⼦技术
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旋度
散度
梯度
⽮量场
拉普拉斯算⼦
波动⽅程
梯度、散度和旋度是⽮量分析⾥的重要概念。

之所以是“分析”，因为三者是三种偏导数计算形式。

这⾥假设读者已经了解了三者的定义。

它们的符号分别记作如下：
从符号中可以获得这样的信息：
①求梯度是针对⼀个标量函数，求梯度的结果是得到⼀个⽮量函数。

这⾥φ称为势函数；
②求散度则是针对⼀个⽮量函数，得到的结果是⼀个标量函数，跟求梯度是反⼀下
的；
③求旋度是针对⼀个⽮量函数，得到的还是⼀个⽮量函数。

这三种关系可以从定义式很直观地看出，因此可以求“梯度的散度”、“散度的梯度”、“梯度的旋度”、“旋度的散度”和“旋度的旋度”，只有旋度可以连续作⽤两次，⽽⼀维波动⽅程具有如下的形式
(1)
其中a为⼀实数，于是可以设想，对于⼀个⽮量函数来说，要求得它的波动⽅程，只有求它的“旋度的旋度”才能得到。

下⾯先给出梯度、散度和旋度的计算式：
(2)
(3)
(4)
旋度公式略显复杂。

这⾥结合麦克斯韦电磁场理论，来讨论前⾯⼏个“X度的X度”。

I.梯度的散度：
根据麦克斯韦⽅程有：
⽽
(5)
则电势的梯度的散度为
这是⼀个三维空间上的标量函数，常记作
(6)
称为泊松⽅程，⽽算符▽2称为拉普拉斯算符。

事实上因为定义
所以有
当然，这只是⼀种记忆⽅式。

当空间内⽆电荷分布时，即ρ=0，则称为拉普拉斯⽅程
当我们仅需要考虑⼀维情况时，⽐如电荷均匀分布的⽆限⼤平⾏板电容器之间（不包含极板）的电场，我们知道该电场只有⼀个指向，场强处处相等，于是该电场满⾜⼀维拉普拉斯⽅程，即
这就是说如果那边平⾏板电容器的负极板接地，则板间⼀点处的电压与该点距负极板的距离呈线性关系。

II.散度的梯度：
散度的梯度，从上⾯的公式中可以看到结果会⽐较复杂，但是它的物理意义却是很明确的，因为从麦克斯韦⽅程可以看出空间某点处电场的散度是该点处的电荷密度，那么再求梯度就是空间中电荷密度的梯度。

这就好⽐说清⽔中滴⼊⼀滴红墨⽔，起初⽔⾯红⾊浓度最⾼，杯底浓度最低，这样⽔⾯与杯底形成⼀个浓度梯度，红墨⽔由⽔⾯向杯底扩散，最后均匀。

在半导体中，载流⼦分布的不均匀会导致扩散电流。

散度的梯度这个概念其实不常⽤，因为计算复杂，但在后⾯讲⽤它来推导⼀个⽮量恒等式。

III.梯度的旋度：
对于梯度的旋度，直接把(2)式代⼊(4)式中，有
由于势函数在空间⼀点的领域内往往是有⼆阶连续混合偏导数的，因此上式的结果为0.所以说梯度的旋度为零，它的物理意义也是很明确的。

⽐如⼀个⼈从海平⾯爬到⼀座⼭上，⽆论它是从⼭的陡坡爬上去还是从缓坡爬上去，亦或者坐直升机上去，重⼒对他所做的功总是相等的，即⼒场的做⼯只与位移有关，⽽与路径⽆关，这样的场称为保守场，⽽保守场是⽆旋场。

再⽐如绘有等⾼线的地图，如果某点只有⼀个⼀根等⾼线穿过，那么该点有⼀个确定的相对⾼度。

如果该点有两条或以上的等⾼线穿过，则这个点处在悬崖边上，这个点处是不可微，也就没有求梯度的意义。

IV.旋度的散度：
求旋度的散度也是将(4)式代⼊(3)式即可。

若令
(7)
则
从⽽
将上⾯三式相加结果也为零。

所以说旋度的散度为零，这就意味着⼀个散度场任意叠加上⼀个有旋场不会改变其散度，也就是说光凭⽮量场的散度⽆法唯⼀地确定这个⽮量场。

⽽光凭⽮量场的旋度也⽆法唯⼀地确定这个⽮量，这是因为有旋场可以叠加上这么⼀个⽮量场⽽不改变其旋度，⽽这个⽮量场是⼀个标量函数的梯度。

V.旋度的旋度：
旋度的旋度将是本⽂的重点。

若所研究的空间范围内是⽆源的，即ρ=0，J=0，则根据麦克斯韦⽅程有：
(8)
(9)
(10)
(11)
对(9)式两端取旋度
(12)
再将(8)式代⼊(12)式有
(13)
看到这⾥容易让⼈想到式(1)，前⾯说式(1)的⽅程为⼀维波动⽅程，那么跟(13)式有什么联系呢？棘⼿的问题是算旋度已经够复杂了，算旋度的旋度岂不是更费周折？幸好有⽮量恒等式可以利⽤来帮助简化计算，这⾥要⽤到前⾯所讲的散度的梯度。

即有：
(14)
这⾥拉普拉斯算⼦作⽤于⼀个⽮量函数时，意义变得不明确了，它和前⾯的⼏个“X度的X度”都不⼀样，实际上它有这样的定义：
(15)
为了验证式(14)还是要对计算“旋度的旋度”，但以后可以直接利⽤该式。

还是做(7)式那样的处理，即令
则
于是
(16)
⽽令
(17)
两式相减有
(18)
类似地有
由于所关⼼的空间内是⽆源的，所以式(13)变成
(19)
这个⽅程很重要，称为三维波动⽅程，这也从理论上揭⽰了电磁波的存在。

它的各分量展开后⽐较复杂，实际上我们⽆法绘制出⼀个向四⾯⼋⽅传播的波的振动图像，但好在可以画出⼀维和⼆维的波，从⽽了解波的性质。

有些事物我们⽆法在现实世界中呈现，或绘制出图形，但是数学上却可以计算且有确切的物理意义，⽐如⾼于三维的空间，不得不感叹数学的神奇，感叹我们⽣活的世界的神奇。

VI.⼏个⽮量恒等式：
前⾯已经介绍了⼀个⽮量恒等式，还有其他⼏个重要的恒等式。

由于三种“度”是三种不同微分算法，虽然有些场合可以把▽当做⼀个普通的⽮量来处理，但并不总是正确的，这⼀点需要引起注意。

①
②
这⾥“×”乘的优先级⾼于“·”乘对于普通三个不共⾯的⽮量A、B、C则有A·B×C=C·A×B=B·C×A。

得到的结果是令三个⽮量共起点，以三个⽮量的模为棱构成的六⾯体的体积或它的负值。

但是对于▽算⼦，则⼀般
但是⼀般有
实际上上⾯的⽮量恒等式就是上式的扩展
上两式相减有
记忆上式的⽅法是记住下标的顺序是xyz，yzx和zxy。

③
这个等式相对容易证明，但前提是要在直⾓坐标下。

旋度
为了反映某⼀点处是否存在涡旋源以及涡旋⾯的⽅向和涡旋源的强度，定义了旋度。

下⾯给出旋度的计算公式，希望对你有所帮助。

1.旋度计算公式：
注：图⽚格式，请耐⼼加载
2.度量系数h及其满⾜关系：
3.3
旋度的性质
1）⽮量场的旋度师⼀个⽮量场。

2）旋度的量纲师环量⾯密度，表⽰涡旋⾯单位⾯积上的环量
3）rot（A） = 0 表⽰该场为⽆旋场，也称为保守场
梯度，散度，旋度的形象解释
梯度: 运算的对像是纯量,运算出来的结果会是向量在⼀个纯量场中,梯度的计算结果会是"在每个位置都算出⼀个向量,⽽这个向量的⽅向会是在任何⼀点上从其周围(极接近的周围,学过微积分该知道甚么叫极限吧?)
纯量值最⼩处指向周围纯量值最⼤处.
⽽这个向量的⼤⼩会是上⾯所说的那个最⼩与最⼤的差距程度"
举例⼦来讲会⽐较简单,如果现在的纯量场⽤⼀座⼭来表⽰,
纯量值越⼤的地⽅越⾼,反之则越低.经过梯度这个运操作数的运算以后,
会在这座⼭的每⼀个点上都算出⼀个向量,这个向量会指向每个点最陡的
那个⽅向,⽽向量的⼤⼩则代表了这个最陡的⽅向到底有多陡.
散度: 运算的对像是向量,运算出来的结果会是纯量
散度的作⽤对像是向量场,
如果现在我们考虑任何⼀个点(或者说这个点的周围极⼩的⼀块区域),
在这个点上,向量场的发散程度,
如果是正的,代表这些向量场是往外散出的.
如果是负的,代表这些向量场是往内集中的.
⼀样,举例⼦:
因为散度的作⽤对像是向量场,所以就不能⽤上⾯所讲的⼭来想象,
这次要想象⼀个⼤⼴场⾥挤了很多⼈,如果每个⼈都在到处⾛动,
是不是可以把每个⼈的⾏动都看成是⼀个向量,
假如现在某⼈放了⼀个屁,周围的⼈(可能包含他⾃⼰)都想要赶快闪远⼀点,
就会发现,在这块区域的⼈都往这⼩块区域以外的⽅向移动.
对啦..这就是散度(你也可以想说是闪远⼀点的闪度....冷....),
⼤家如果散得越快,散得⼈越多,这个散度算出来就就越⼤.
旋度: 运算的对像是向量,运算出来的结果会是向量
旋度的作⽤对象也是向量场,这次直接⽤上⾯的例⼦来讲:
如果现在散开的众⼈都是直直的往那个屁的反⽅向散开,
这时候你看到这些⼈的动线是不是就是⼀个标准的幅射状??
不过事实上,每个⼈在闻到屁的时候是不会确切的知道
屁到底是来⾃哪个⽅向的.
⽽可能会⾛错⽅向,试过之后才发现不对劲,越找越臭.
这时候你看到众⼈的⾛向不见得就是⼀个幅射状(⼤家都径向移动),
⽽可能有⼀些切向移动的成份在(以屁发点为中⼼来看)
旋度对应的就是这些切向移动的情况,相对来讲,
散度对应的其实就是径向移动的情况.
⽽⼀个屁,虽然可能会像上述的造成⼀些切向的移动,
但理论上来讲,并不会使散开的众⼈较趋向于顺时钟转,或逆时钟转.
在这种情况,顺时钟转的情况可以看作与逆时钟转的情况抵消,
因此,在这情况下,旋度仍然是零.
也就是说,⼀个屁能造成散度,⽽不会造成旋度....
⽽甚么时候是有旋度的呢??
如果这时候⾳乐⼀放,
⼤家开始围着中间的营⽕⼿拉⼿跳起⼟风舞(当然是要绕着营⽕转的那种啦)这时候就会有旋度没有散度啦.(刚刚⼀直放屁的那位跑出去找厕所的除外)以上这三个,有⼀点⼀定要记得的.
不论是梯度,散度,旋度,都是⼀种local的量(纯量,向量),
所考虑的都是任何⼀点(其周围极接近,极⼩的⼩范围)的情况.
以上举的例⼦因为要容易了解,所以都是针对⼆度空间向量为例,
⽽且都是很⼤的东西,但⼴场是⼀个点,营⽕晚会也是⼀个点,
纳须弥于芥⼦,这就请⾃⾏想象吧.。