高考数学命题区间七概率与统计-教学课件

(2)6 次中前两次均出现正面，且要使 2≤S6≤4，则后 4 次 中有 2 次正面，2 次反面或 3 次正面 1 次反面，设其概率为 P2，N＝64，由(1)，知前两次均出现正面且 2≤S6≤4 的情 况有 10 种，所以 P2＝1604＝352.
[例5] (2012·洛阳模拟)某学校共有高一、高二、高三学 生2 000名，各年级男、女人数如下图：
甲班 乙班 合计
优秀 10 20 30
非优秀 45 30 75
总计 55 50 105
(2)根据列联表中的数据，得到 k＝105×55×105×0×303－0×207×5452≈6.109>3.841，因此有 95%的 把握认为“成绩与班级有关系”．
[例 4] 设连续掷两次普通立方体骰子得到的点数分别为 m、n，令平面向量 a＝(m，n)，b＝(1，－3)． (1)求使得事件“a⊥b”发生的概率； (2)求使得事件“|a|≤|b|”发生的概率； (3)求使得事件“直线 y＝mn x 与圆(x－3)2＋y2＝1 相交”发 生的概率．
解析：根据分层抽样的等比例性，所抽取的样本也成等
差数列，设为a1，a2，a3，a4，则a2＝30，根据等差数列 的性质，a1＋a3＝2a2＝60，又a1＋a2＋a3＋a4＝150，故 a4＝60. 答案：60
2．某班级有男生20人，女生30人，从中抽取10个人的样
本，恰好抽到了4个男生、6个女生．给出下列命题：
3．如图所示，是某环卫工人在革命公园9天内捡到的矿泉
水瓶的数据所绘制出来的茎叶图，去掉一个最高个数
和一个最低个数，则他在每天可捡到的矿泉水瓶方差
为
()
79 8 44467 9 136
A.467
B．9
38
80
C. 7
D. 7
解析：去掉一个最高个数和一个最低个数，剩下的数据的 平均数为17(84＋84＋84＋86＋87＋91＋93)＝87，所以方差 s2＝17[(84－87)2＋(84－87)2＋(84－87)2＋(86－87)2＋(87－ 87)2＋(91－87)2＋(93－87)2]＝870. 答案：D
考试，按照大于等于85分为优秀，85分以下为非优秀
统计成绩后，得到如下的列联表.
甲班 乙班 合计
优秀 10
非优秀 30
总计 105
已知在全部105人中随机抽取1人为优秀的概率为. (1)请完成上面的列联表： (2)根据列联表的数据，若按95%的可靠性要求，能否认为 “成绩与班级有关系”；
解：(1)表格如下：
10

xi＝17，则 yi 的值等于
i＝1
i＝1
()
A．3 C．0.4
B．4 D．40
解析：依题意 x ＝1170＝1.7，而直线^y＝－3＋2x 一定经过( x ，
10
y )，所以 y ＝－3＋2 x ＝－3＋2×1.7＝0.4，于是yi＝10 y ＝
i＝1
10×0.4＝4. 答案：B
6．(2011·广东高考全真模拟卷)有甲乙两个班级进行数学
[解] (1)由题意，知 m∈{1,2,3,4,5,6}，n∈{1,2,3,4,5,6}，故 (m，n)所有可能的取法共 36 种，使得 a⊥b，即 m＝3n 的 取法共有 2 种，为(3,1)，(6,2)，所以使得事件“a⊥b”发生 的概率 P＝326＝118.
(2)|a|≤|b|，即 m2＋n2≤10. 共有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(3,1)这 6 种情况， 故使得事件“|a|≤|b|”发生的概率 P＝366＝16.
[理]现在要从第6小组的学生中，随机选出2人参加“毕业 运动会”，已知该组a、b的成绩均很优秀，求两人至少有 1人入选的概率．
解：(1)第 6 小组的频率为 1－(0.04＋0.10＋0.14＋0.28＋0.30) ＝0.14， ∴此次测试总人数为0.714＝50(人)． ∴第 4、5、6 组成绩均合格，人数为(0.28＋0.30＋0.14)×50 ＝36(人)．
(2)直方图中中位数两侧的面积相等，即频率相等．前三组的 频率和为 0.28，前四组的频率和为 0.56， ∴中位数位于第 4 组内． (3)[文]设第 5 小组应抽取 x 人，则1x5＝1500，解得 x＝3. 即第 5 小组应抽取 3 人． [理]a，b 均不入选的概率为CC2725，a，b 至少有 1 人入选的概率 为 1－CC2725＝2111.
(3)因为 y＋z＝500，y≥245，z≥245，所以基本事件有： (245,255)，(246,254)，(247,253)，(248,252)，(249,251)，(250,250)， (251,249)，(252,248)，(253,247)，(254,246)，(255,245)，共 11 个基本事件． 其中女生比男生多，即 y>z 的基本事件有： (251,249)，(252,248)，(253,247)，(254,246)，(255,245)共 5 个 基本事件， 故女生比男生多的概率为151.
解：(1)S4＝2，需 4 次中有 3 次正面 1 次反面．设其概率为 P1，再设正面向上为 a，反面向上为 b.则基本事件空间为
Ω＝{aaaa，aaab，aaba，abaa，baaa，bbbb，bbba， bbab，babb，abbb，aabb，bbaa，baab，abba，abab，baba}， 所以 P1＝146＝14.
[解] (1)设抽到不相邻两组数据为事件 A，因为从 5 组数据 中选取 2 组数据共有 10 种情况，每种情况都是等可能出现 的，其中抽到相邻两组数据的情况有 4 种， 所以 P(A)＝1－140＝35. (2)由数据，求得 x ＝12， y ＝27. 由公式，求得 b＝52，a＝ y －b x ＝－3.
[解析] 设低收入家庭被抽取的户数为 x，由每个家庭被抽 取的概率相等得12255＝9x5，解得 x＝19. [答案] 19
1．今年“3·5”，某报社做了一次关于“什么是新时代 的雷锋精神？”的调查，从A，B，C，D四个单位 回收的问卷数依次成等差数列，共回收1 000份，因 报道需要，再从回收的问卷中按单位分层抽取容量 为150的样本，若在B单位抽30份，则在D单位抽取的 问卷是________份．
4．某市为了了解今年高中毕业生的体能状况，从本市某 校高中毕业班中抽取一个班进行铅球测试，成绩在8.0 米以上的为合格．把所得数据进行整理后，分成6组画 出频率分布直方图的一部分(如图)，已知从左到右前5 个小组的频率分别为0.04,0.10,0.14,0.28,0.30.第6小组的 频数是7.
(1)求这次铅球测试成绩合格的人数； (2)若由直方图来估计这组数据的中位数，指出它在第几 组内，并说明理由； (3)[文]现欲从这个班的同学中抽取10人来调查他们的体育 锻炼时间与他们的铅球测试成绩之间是否有关系，则第5 小组应抽取几人？
所以 y 关于 x 的线性回归方程为^y＝52x－3. (3)当 x＝10 时，^y＝52×10－3＝22，|22－23|<2； 同样，当 x＝8 时，^y＝52×8－3＝17，|17－16|<2. 所以，该研究所得到的线性回归方程是可靠的．
5．已知变量 x 与 y 之间的回归直线方程为^y＝－3＋2x，若
[例3] (2012·南通模拟)某农科所对冬季昼夜温差大小与 某反季节大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究， 他们分别记录了12月1日至12月5日的每天昼夜温差与实验 室每天每100颗种子中的发芽数，得到如下资料：
日期 12月1日 12月2日 12月3日 12月4日 12月5日
温差x(℃) 10
在 x 轴上的双曲线方程的概率为
()
A.12
B.47
2
3
C.3
D.4
解析：方程xm2－yn2＝1(其中 m，n∈{－1,2,3})表示圆锥曲线 时，对应的(m，n)共有以下 7 种可能情况：(－1，－1)，(2， －1)，(2,2)，(2,3)，(3，－1)，(3,2)，(3,3)．其中(2,2)，(2,3)， (3,2)，(3,3)对应的方程表示焦点在 x 轴上的双曲线的方程， 因此所求概率为47. 答案：B
[解析] 样本总量为0.04000080·500＝10 000， 由图知 S＝A2＋A3＋A4＋A5＋A6 而 A2、A3、A4、A5、A6 中频率分别为 0．2,0.15,0.125,0.075,0.05. ∴S＝10 000(0.2＋0.15＋0.125＋0.075＋0.05) ＝6 000. [答案] 6 000
11
13
12
8
发芽数y(颗) 23
25
30
26
16
该农科所确定的研究方案是：先从这五组数据中选取2组，
用剩下的3组数据求线性回归方程，再对被选取的2组数据进
行检验．
(1)求选取的2组数据恰好是不相邻2天数据的概率； (2)若选取的是12月1日与12月5日的两组数据，请根据12月2 日至12月4日的数据，求出y关于x的线性回归方程＝bx＋a； (3)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的 误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的， 试问(2)中所得的线性回归方程是否可靠？
部分内容高频考点是：随机抽样、用样本估计总体、变量
间的相关关系及统计案例、概率初步、计数原理[理]、随机
变量及其分布等[理]．
——丁一嘉
[例1] (2012·广州调研)某社区有500个家庭，其中高收入 家庭125户，中等收入家庭280户，低收入家庭95户．为了 调查社会购买力的某项指标，采用分层抽样的方法从中抽 取1个容量为若干户的样本，若高收入家庭抽取了25户， 则低收入家庭被抽取的户数为________．
9．某人抛掷一枚硬币，出现正反面的概率都是12，构造数列 {an}，使得 an＝1－当1第 当第 n次n次出出现现正反面面时时，， 记 Sn＝a1＋ a2＋a3＋…＋an(n∈N*)． (1)若抛掷 4 次，求 S4＝2 的概率； (2)已知抛掷 6 次的基本事件总数是 N＝64，求前两次均 出现正面且 2≤S6≤4 的概率 .
第
命
二
题
部
区
分
间
七
命
题 热 点
概 率
大
与
揭
统
秘
计
命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点四 命题热点五 命题热点六 命题热点七
概率与统计作为考查考生应用意识的重要载体，也是
高中数学中占有课时最多的一个知识板块，已成为近几年
新课标高考的一大亮点和热点．它与其他知识融合、渗透，
情境新颖，充分体现了概率与统计的工具性和交汇性．本
①该抽样可能是简单的随机抽样；②该抽样一定不是
系统抽样；③该抽样女生被抽到的概率大于男生被抽
到的概率．其中真命题的个数为
()
A．0
B．1
C．2
D．3
解析：只有命题①正确．看似分层抽样，实际上哪种方 法都可能出现这个结果． 答案：B
[例2] (2012·豫南九校)下图甲是某市有关部门根据对当 地干部的月收入情况调查后画出的样本频率分布直方图， 已知图甲中从左向右第一组的频数为4 000.在样本中记月 收入在[1 000,1 500)，[1 500,2 000)，[2 000,2 500)，[2500， 3 000)，[3 000,3 500)，[3 500,4 000)的人数依次为A1、A2、 …、A6.图乙是统计图甲中月工资收入在一定范围内的人数 的算法流程图，图乙输出的S＝________.(用数字作答)
已知在全校学生中随机抽取1名，抽取高二年级女生的概率是 0.19. (1)求x的值； (2)现用分层抽样的方法在全校抽取60名学生，问应在高三年 级抽取多少名？ (3)已知y≥245，z≥245，求高三年级中女生比男生多的概率．
[解] (1)由已知得2 0x00＝0.19.∴x＝380. (2)由(1)知高二学生 750 人，又高一学生 750 人，所以高三 男女生共 500 人，按分层抽样，高三年级应抽取2 60000×500 ＝15 人．
解析：设正方形的边长为 1，则圆的半径为 22， ∴正方形的面积为 1，圆的面积为12π. ∴点 Q 取自正方形 ABCD 内部的概率等于11 ＝π2.
2π 答案：π2
8．从xm2－yn2＝1(其中 m，n∈{－1,2,3})所表示的圆锥曲线(椭
圆、双曲线、抛物线)方程中任取一个，则此方程是焦点
(3)由直线与圆的位置关系，得 d＝ m|32m＋| n2<1， 即mn < 42，共有13，14，15，16，26这 5 种情况， 所以直线 y＝mn x 与圆(x－3)2＋y2＝1 相交的概率 P＝356.
7．正方形ABCD内接于圆O，若在圆O内部随机取一 个点Q，则点Q取自正方形ABCD内部的概率等于 ________．